книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

На рис. VII. 8 показано влияние изменения модуля поперечного сдвига G13

на нормальные прогибы оболочки. Здесь же приведены некоторые результаты точ­ ного решения задачи, полученные с помощью интегрирования дифференциального уравнения изгиба рассматриваемой оболочки.

х

Рис. VII.7. Жестко заделанная тонкая цилиндрическая обо­ лочка.

Л

Видим, что использование МКЭ позволяет получить, по существу, точное решение рассматриваемой задачи. Оболочка разбивалась по длине на 20 равных ко­ нечных элементов.

Рис. VII.8 . Распределение по длине оболочки (см. рис. VII.6 ) прогиба с учетом сдвига

§ 46

Плоский треугольный элемент в местной системе координат для расчета оболочек произвольных очертаний

Предполагается, что напряженное состояние оболочки может быть определено в рамках линейной теории оболочек с использова­ нием гипотезы Кирхгоффа. Это приводит к тому, что напряженное

294

состояние в срединной плоскости элемента может быть описано

на базе обычной теории изгиба жестких пластин.

Рассмотрим плоский треугольный элемент, подверженный воздей­ ствию усилий, вызывающих в нем одновременно плоское напряжен­

Между этими двумя векторами можно установить зависимость вида

где [/С] — матрица жесткости конечного элемента в местной системе координат.

Полагая, что перемещения оболочки малы по сравнению с ее толщиной, при выводе матрицы жесткости можно использовать аппарат линейной теории плоской задачи теории упругости и ли­ нейной теории изгиба жестких пластин. Это позволяет узловые усилия, действующие в срединной плоскости конечного элемента, связать с соответствующими узловыми перемещениями с помощью

295

матрицы жесткости (25.25) для треугольного элемента, которая была получена ранее при решении плоской задачи теории упругости:

Индексом «п» обозначается плоское напряженное состояние. Используя далее матрицу жесткости (38.49), можно установить

связь между узловыми усилиями и узловыми перемещениями, свя­ занными с изгибом плоского треугольного элемента:

296

точек вокруг оси z ие включены в число неизвестных узловых пере­ мещений при решении плоской задачи теории упругости.

Путем перестановки некоторых строк и столбцов в матрице жесткости (46.8) нетрудно получить выражение для матрицы же­ сткости (46.3), где векторы узловых усилий и перемещений рассма­ триваемого конечного элемента определяются соответственно выра­ жениями (46.1) и (46.2).

Векторы (46.1) и (46.2) для удобства дальнейших выкладок пере­

— векторы узловых усилий и перемещений в t'-й узловой точке конечного элемента соответственно.

Используя введенные выше обозначения (46.11) и (46.12), зави­ симость (46.3) можно переписать в виде

——

Использование построенной матрицы жесткости (46.13) при анализе напряженного состояния произвольных оболочек не при­ водит к каким-либо затруднениям. Исключением является частный случай, когда в отдельных узлах оболочки все сходящиеся конечные элементы лежат в одной плоскости. Жесткость такой оболочки при вращении относительно общей оси z будет равна нулю, и общая матрица жесткости становится особенной (ее определитель равен нулю). В этом случае при анализе напряженного состояния по методу конечных элементов в упомянутых узловых точках следует ввести дополнительные кинематические закрепления, препятству­ ющие вращению вокруг нормали к оболочке в этих узловых точках.

297

щений углов поворота вокруг нормалей к срединной поверхности элемента

при определении его матрицы жесткости для плоской задачи теории упругости. Такой путь приводит к увеличению числа степеней свободы конечного элемента, а следовательно, и к увеличению трудоемкости вычислительных операций.

Заслуживает внимания предложение О. Зинкевича [155] о вве­ дении в расчет некоторой конечной жесткости элемента при повороте узловых точек вокруг оси 2 согласно зависимости

Видим, что элементы матрицы жесткости «вращения» выбраны так, что обеспечивают выполнение уравнения равновесия моментов

Заметим, что узловые повороты ft^ не входят в выражения для определения компонентов напряжения. Параметр а в числовых рас­ четах, на основании рекомендации О. Зинкевича, можно принять равным 0,03.

Усилия и перемещения j - г о узла в местной и общей системах координат связываются с помощью матрицы преобразования [L]:

где

[/1 0

(47.2)

0 [1\

298

— векторы узловых перемещений и усилий в i-м узле в общей си стеме координат;

к рассматриваемому конечному элементу, можно выписать следу­ ющие зависимости перехода от общей системы координат к местной:

— квазидиагональная матрица преобразования узловых усилий конечного элемента из общей к местной системе координат.

По аналогии с зависимостью (47.8) можно выписать матричное уравнение связи между узловыми перемещениями конечного эле­ мента в общей и местной системах координат:

299

Непосредственно из выражений (47.8) и (47.10) с учетом зависи­ мости (46.3) можно установить связь между вектором узловых усилий и вектором узловых перемещений конечного элемента в общей системе координат:

— искомая матрица жесткости конечного элемента в общей системе координат.

Рис. VII. 10. Идеализация произвольной тонкой оболочки плос­ кими треугольными элементами: а — оболочка в общей системе координат; б — треугольный элемент в общей и местной систе­

мах координат.

При определении местной системы координат возможны в ряде случаев некоторые упрощения. Пусть местная и общая системы

элемента необходимо знать лишь расположение осей местной си­ стемы координат, т. е. матрицу [/]. Таким образом, именно для этого частного случая при определении положения точек элемента в мест­ ной системе координат можно воспользоваться зависимостью (47.13).

Приведем необходимые зависимости, позволяющие на основании информации о положении узловых точек конечного элемента в общей системе координат определить значения направляющих косинусов для местной системы.

Пусть произвольная оболочка идеализирована совокупностью треугольных элементов (рис. VII. 10). Рассмотрим какой-либо конеч­ ный элемент, например элемент i//c. Условимся в дальнейшем нуме­ рацию узловых точек конечного элемента производить в направле­

300

нии против часовой стрелки при взгляде на элемент, например, извне оболочки.

Уравнение плоскости, проходящей через узловые точки ijtc конечного элемента [1551, в общей системе координат может быть представлено так.-

Направляющие косинусы нормали к плоскости рассматриваемого элемента (ось г) определяются по известным формулам аналитиче­ ской геометрии:

Далее следует выбрать оставшиеся две оси х и у. Можно поло­ жить, что ось х параллельна плоскости х'у’. Тогда в качестве оси х можно принять, в частности, прямую, определяемую уравнением.

Направляющие косинусы прямой (47.19), т. е. оси х,

1хг. = cos (х, г’) = 0.

Из условия перпендикулярности осей х, у, г следуют две извест ные зависимости для направляющих косинусов

30i

получаем три уравнения для определения направляющих косинусов оси у. Окончательно

_______________ А С ________________

Направляющие косинусы, получаемые по приведенным выше формулам, будут определять правую систему координат xyz.

Необходимо заметить, что если А = В = 0, т. е. плоскость ко­ нечного элемента параллельна плоскости ху, то за оси х и у можно принять два любых взаимно перпендикулярных направления в пло­ скости ху.

Итак, направляющие косинусы для каждой из осей местной системы координат конечного элемента можно теперь считать извест­ ными величинами. Это позволяет далее определить значение матрицы [Г], а следовательно, и получить матрицу жесткости конечного элемента оболочки в общей системе координат.

§ 48

Некоторые дополнительные замечания по расчету оболочек произвольной формы при использовании треугольного плоского элемента

Определение узловых нагрузок. Для определения узловых нагру­ зок, эквивалентных поверхностной нагрузке, действующей на рас­ сматриваемый конечный элемент оболочки, можно воспользоваться формулами приведения, основанными на равенстве работы внешних нагрузок работе узловых усилий на возможном перемещении конеч­ ного элемента. При этом нетрудно получить формулы, аналогичные тем, которые приводились выше в главах по плоской задаче теории упругости и изгибу жестких пластин. Однако в практических расче­ тах узловые усилия можно принимать равными 1/ 3 от соответству­ ющих результирующих составляющих внешней нагрузки, действу­ ющей на элемент. Получаемые при этом узловые усилия, эквива­ лентные по своему действию поверхностной внешней нагрузке, направлены по осям местной системы координат.

Обозначим матрицу внешних узловых усилий в г-м узле рас­ сматриваемого элемента в местной системе координат через \Р\Г Вектор тех же усилий в общей системе координат определится на

•основании зависимости (47.1):

3 0 2

Уравнения равновесия. Уравнение равновесия t'-ro узла соста­ вляется на основе того, что внешние узловые силы должны быть уравновешены суммой реакций от элементов, сходящихся в этом узле:

Суммирование в выражении (48.2) производится по всем элемен­ там, сходящимся в 1-м узле.

Дальнейшая процедура составления общей системы уравнений оболочки аналогична изложенной выше при решении плоской за­ дачи теории упругости.

Определение компонентов напряжений. Зная компоненты узловых перемещений i-ro элемента в местной системе координат, без особых затруднений можно определить напряженное состояние этого эле­ мента. .

Напряжения на внешних поверхностях элемента оболочки вы-

где ст", о", т",,— цепные напряжения; о”, о)), х'хУ— фибровые на­ пряжения изгиба.

— матрица узловых перемещений элемента, характеризующая его изгиб.

303