книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

п узловыми перемещениями всей оболочки {Д} = {AfuiAjpiA? . . .

. . . АкОкД^рк. . . AjjUnAJip,,} в общей системе координат:

с направлением компонентов вектора перемещений оболочки {А|, что имеет место в данном случае, то

ао

ai °2

ао

(43.20)

ai «2

«1 а2

где подматрицы равны

1

1

1

1

(43.21)

1

1 |

1

1

Решая систему уравнений (43.16), находим узловые перемещения оболочки {А}, а следовательно, с помощью зависимостей (43.19)

Зная перемещения и усилия в элементе, нетрудно определить напряжения и все интересующие нас элементы изгиба оболочки.

284

§ 44

Матрица жесткости конического элемента оболочки вращения при осесимметричной деформации

С помощью приведенных в предыдущем параграфе зависимостей получим матрицу жесткости для конического элемента оболочки

(рис. VII.5).

Рис. VII.5. Комический элемент тонкой оболочки вращения: а — узловые перемещения; 6 — узловые усилия.

Запишем зависимость (43.5) в развернутой форме [47]:

д

285

Используя закон Гука для ортотропного материала, получаем следующую зависимость для определения компонентов напряжения в произвольной точке элемента оболочки в форме (43.6):

образующей элемента; v1( v2— коэффициенты Пуассона в направ­ лении образующей элемента и по кольцевому направлению соответ­ ственно; у — отстояние рассматриваемой точки от срединной по­ верхности оболочки элемента.

Проводя далее выкладки в соответствии с (43.7)—(43.12), на­ ходим значения коэффициентов матрицы жесткости элемента обо­ лочки \Kq\, которая устанавливает связь между узловыми реактив­ ными усилиями и узловыми перемещениями конечного элемента

286

после разложения подынтегральной функции в ряд по степеням

вследствие его малости по сравнению с единицей, что лежит в пре­ делах точности исходных предпосылок метода.

Для определения эквивалентных узловых усилий действующую на элемент поверхностную нагрузку q следуёт разложить по направ­ лению образующей конуса (qs), по кольцевому направлению (цф) и по нормали к срединной поверхности (q„). Тогда узловые усилия,

288

Выше уже отмечалось, что в качестве основных неизвестных удобнее принять узловые перемещения в основной системе коорди­

нат: A*, vK, А*, р*. Такой выбор неизвестных приводит к автома­

кового давления.

т о ч н о е р е ш е - пне;

р а с ­ чет по М К Э при р а з ­ б и в к е па 10 к о н е ч н ы х

э л е м е н то в ;

---------------------М К Э при

5 0 к о н е ч н ы х э л е м е н ­ т а х .

Матрица жесткости элемента оболочки по отношению к пере­ мещениям {А} определяется с помощью формулы (43.15), эквива­ лентные же поверхностной нагрузке узловые усилия для /с-го ко­ нечного элемента оболочки в общей системе координат

а элементы вектора \Rq\ определяются по формулам (44.9).

Пример. На рис. VII. 6 приведены результаты расчетов для круговой цилиндри­

ческой свободно опертой оболочки, находящейся под действием бокового равномер­ ного давления интенсивностью q.

Сплошной линией показана кривая изменения прогиба оболочки согласно точ­ ному решению [31 ]; пунктиром и штрих пунктиром показаны прогибы той же обо­ лочки при использовании метода конечных элементов соответственно при числе ко­ нечных элементов п — 10 и п = 50.

Видим, что уже при /1 = 10 метод конечных элементов приводит практически

к точному результату в отношении прогибов оболочки.

§ 45

Расчет оболочек вращения средней толщины при осесимметричном напряженном состоянии

При расчете на изгиб оболочек средней толщины необходимо считаться с влиянием поперечного сдвига по толщине оболочки. Влияние деформаций поперечного сдвига при расчете по МКЭ обо­ лочек вращения учитывалось в работах [58, 131 ].

Ниже для осесимметричного напряженного состояния элемента дается вывод матрицы жесткости конического элемента оболочки вращения с учетом деформаций поперечного сдвига согласно гипо­ тезе прямой линии.

Перемещения срединной поверхности, как и ранее, аппрокси­ мируем зависимостями (43.3).

Компоненты деформации оболочки, согласно гипотезе прямой

1

290

или, в матричном виде,

В матрице (45.1) введены следующие дополнительные обозначе­ ния: ysn— средний угол сдвига по толщине оболочки между направ­ лением вдоль образующей и нормалью к срединной поверхности;

Будем полагать, что напряжения поперечного сдвига распреде­ лены по толщине оболочки по закону квадратичной параболы

Тогда связь между'перерезывающей силой Ns и средним углом сдвига

С другой стороны, воспользовавшись уравнениями равновесия бесконечно малого элемента конической оболочки вращения средней толщины [29], можно получить

Откуда, если учесть, что

и принять во внимание зависимости (45.1),

Приравнивая правые части (45.5) и (45.8), получаем уравнение для определения функции срх:

В практических расчетах размеры конечного элемента обычно таковы, что s cos ■&<£ гк. Это приводит к существенному упрощению уравнения (45.9), которое принимает вид

Правая часть уравнения (45.10), если принять во внимание (43.3), будет степенным полиномом второй степени. Это дает нам основа­ ние искать решение уравнения (45.10) в следующем виде:

Подставляя (45.12) и выражение для w (s) из (43.3) в (45.10), можно получить систему трех линейных алгебраических уравнений относительно искомых параметров Ь0, Ьг, Ь.,. Решая ее, находим параметры b0, blt b2, выраженные через а 6, а 7, а 8.

Внося найденные значения Ь( в (45.12), получаем искомую связь угла поворота поперечного сечения срх с обобщенными координатами а,.:

Коэффициент А , определяется выражением (45.11).

Подключая (45.13) к выражениям для компонентов перемещений срединной поверхности (43.3) и используя матричную форму записи, можно записать

292

С помощью зависимости (45.15) легко установить связь между

Закон Гука для рассматриваемого характера напряженного состояния оболочки можно представить в виде

Теперь для определения матрицы жесткости конечного элемента оболочки остается воспользоваться стандартной зависимостью (3.8), которая в рассматриваемом случае запишется так:

Пример. Рассмотрим изгиб жестко заделанной круговой цилиндрической обо­ лочки при действии всестороннего равномерного давления (рис. VI 1.7). Параметры