книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

где введены обозначения:

н, = (Ь2Ьх) 4 - + Фв- Ь2) ^ - + Фгьа) 4 +

4~ 3 (b\ci ■— b3c3) -д—|- 3(boC9— b\c\) ri 4~ 3 (b3c3— &2c2) r 2 4~

223

3 (V i — b3ci) r:, + (cl — C?) In rx-|- (cl — ci) In Го -I-

Матрица жесткости для кольцевого элемента с прямоугольным се­ чением [59]. При выводе матрицы жесткости для кольцевого элемента с прямоугольным сечением (рис. V.8) будем исходить из следующего закона изменения компонентов пере­

Не приводя всех промежуточных выкладок, которые будут пол­ ностью повторять соответствующие места вывода матрицы жесткости для элемента с треугольным сечением, выписываем окончательную матрицу жесткости кольцевого элемента с прямоугольным сечением

224

На + аз^12

Основные неизвестные (узловые перемещения) определяются из

где [Я! — общая матрица жесткости для всего упругого тела [см. зависимость (4.18)]; {17}— матрица-столбец узловых перемещений

Рис. V.9. Толстая круговая цилиндрическая оболочка под внеш­ ним равномерным давлением.

для упругого тела в целом в общей системе координат; {Я} — ма­ трица-столбец узловых нагрузок.

Следует заметить, что компоненты узловых сил в [Р\ приложены равномерно по всему периметру узловой линии элемента. Поэтому при составлении уравнений равновесия в узлах величины внешних нагрузок, действующих вдоль узловых линий, включаются пол­ ностью. Например, для i-ro узла

здесь рс — нагрузка на единицу длины кольцевого периметра.

226

Рис. V. 10. Сопоставление результатов расчета толстой оболочки по МКЭ и анали • тическому методу: а, б — аг в четверти и на половине высоты оболочки; в, г — од в тех же сечениях; д, е — перемещение w в тех же сечениях; ж, з — перемещение и на уровне г = 0 и г — И4.

Если помимо узловых сил на тело действуют объемные силы ин­ тенсивностью {/>1 = {Rv , Zv\ и поверхностные силы \FV\ = = {Rv, Zv\, то для приведения их к узлам следует воспользоваться соответственно формулами (6.4) и (6.5). Влияние начальных дефор­

маций в теле {е0} = {е„ е°, е°, у°г} также учитывается в расчете путем введения дополнительных фиктивных внешних узловых сил, вычисляемых по формуле (6.6).

После определения из решения системы (35.28) узловых переме­ щений {q} находим напряжения в интересующих нас элементах тела

Пример. С помощью МКЭ были выполнены некоторые числовые расчеты по определению напряженного состояния в толстой круговой цилиндрической оболочке, загруженной внешним равномерным давлением интенсивностью р.(рнс. V.9).

Размеры оболочки: I = 20 см; гн — 22,5 см; гон = 17,5 см. В качестве конечных

элементов, на которые разбивалась оболочка, были взяты кольца с прямоугольным поперечным сечением. Разбиение на элементы производилось сеткой с шагом по оси г,

лочки перемещений и, w и напряжений стг, Ст0 (сплошные линии); одновременно

на этом рисунке нанесены результаты расчета тех же величин с использованием тео­ рии тонких оболочек (пунктир) и с использованием теории оболочек средней тол­ щины по гипотезе прямой линии (штрихпуиктнрные линии). Штриховая линия с двумя пунктирами отражает результаты расчета для бесконечно длинной толстой оболочки.

Анализ полученных числовых результатов позволяет заключить:

1 ) в рассматриваемом случае использование всех трех расчетных методов дает

достаточно близкие результаты;

2 ) гипотезы о линейном распределении по толщине перемещения w и компо­ нентов стг и СГ0 , лежащие в основе ряда технических теорий оболочек средней тол­

щины, оказываются оправданными для сравнительно толстых оболочек.

§ 36

Решение осесимметричной задачи теории упругости для упруго-пластической области

Решение упруго-пластической задачи по методу конечных эле­ ментов рассматривалось в работах [1, 6, 38, 59, 69, 128, 141].

Ниже приводятся основные зависимости МКЭ для геометрически линейной осесимметричной задачи теории упругости в упруго­ пластической области, путь ее решения и некоторые результаты числовых расчетов для одной частной задачи. Предполагается, что рассматриваемое тело идеализировано совокупностью кольцевых эле­ ментов с треугольными поперечными сечениями. Расчет произ­ водится шаговым методом по нагрузке с линеаризацией зависимостей между напряжениями и деформациями в пределах одного шага при­ ращения нагрузки.

Для материала, работающего в упруго-пластической области, вид формулы (35.18) сохраняется. Изменяется лишь содержание

228

Для осесимметричной задачи теории упругости связь между на­ пряжениями и деформациями, согласно деформационной теории пла­

тельно, [Д£л] = 0.

При использовании метода шагового нагружения нам требуется

229

Переходим теперь к определению матрицы жесткости 1КПЛ1, уста­ навливающей связь между приращениями узловых усилий \dR\ и узловых перемещений {dq}:

Переписывая зависимость (35.18) применительно к рассматривае­ мому случаю, будем иметь

ОF

Вычисление интеграла в правой части (36.9) можно упростить,

если пренебречь изменяемостью значений матриц [Da ] и [£е] по сечению конечного элемента. Отнеся значения этих матриц к цен­ тральной точке сечения с координатами

матрицы жесткости [7(пл] удобно исходить из следующих допущений: 1. В пределах каждого шага нагружения матрица жесткостных

параметров [£е] не изменяется и отвечает напряженному состоя­ нию в конце предыдущего шага нагружения.

2. Матрица жесткостных параметров [Eg], интенсивности напря­ жений а(- и деформаций г( постоянны в пределах каждого элемента.

Пример. При исследовании влияния концентрации напряжений на усталость применяются цилиндрические образцы с кольцевыми выточками (рис. V. 1 1 ). На­ пряженно-деформированное состояние такого образца при действии осевой нагрузки Р

определяется из решения осесимметричной задачи теории упругости. Приближенное решение такой задачи для упруго-пластической области при

исследовании особенностей разрушения в условиях неоднородного трехосного на­ пряженного состояния было получено в работе Г. В. Ужика [78].

Допущения, на которых основаны эти решения, сужают сферу их применения и справедливы только для глубоких выточек. Эти решения не позволяют выяснить напряженное состояние в окрестностях зоны концентрации и учесть циклические свойства материала.

230

Наиболее полно исследовать напряженно-деформированное состояние образца,

где |~Ag_|—квазидиагональная матрица, блоками которой являются матрицы же­

сткости [Алл ] для элементов, входящих в конструкцию; [Н ] — матрица связи между

узловыми перемещениями отдельных элементов и узловыми перемещениями всей конструкции.

В.ОЩ

в)

Рис. V. 11. Цилиндрический образец с кольцевой выточкой в упруго-пластической области: а — схема нагружения; б — схема дискретизации на конечные кольцевые треугольные элементы; в —-деталь дискретизации в районе выточки.

231

Рис. V.12. Блок-схема программы МКЭ для упруго-пластического анализа толстых оболочек вращения.

232