книги из ГПНТБ / Постнов В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций

или, в матричном виде,

Для определения (а| в (27.2) воспользуемся принципом вирту­ ального изменения напряженного состояния

— потенциальная энергия элемента; {5К| — усилия на контуре элемента, которые выражаются через {а} с помощью очевидных за­ висимостей

С учетом (27.4), (27.6) и (27.8) зависимость (27.5) может быть при­ ведена к виду

182

Выражение (27.12) с учетом зависимости (27.2) позволяет пре­ образовать выражение для потенциальной энергии (27.6) к виду

прямоугольного элемента при решении плоской задачи теории

циальные уравнения равновесия внутри конечного элемента, урав­ нения равновесия узловых точек и условия неразрывности перемеще­ ний в узловых точках выполняются точно; условия сплошности внутри конечного элемента и кинематические граничные условия на поверхности элементов могут быть выполнены с любой степенью точности путем увеличения числа произвольных параметров {а}. И лишь силовые граничные условия на поверхности элементов (раз­ рывы в напряжениях для смежных элементов) остаются вне сферы влияния. Теоретически, конечно, имеются пути внесения уточнений и в это условие, например введением дополнительных варьируемых параметров в выражение для контурных перемещений элемента |7/к}. Но это теоретически, а практически того же результата можно достигнуть более простым способом — путем уменьшения размеров конечных элементов.

V /

Концентрация напряжений в плоской пластине конечной ширины с вырезом

Надежность судовых конструкций в значительной мере опреде­ ляется качеством проектирования и изготовления различных пре­ рывистых связей. Статистика повреждений корпусов морских судов свидетельствует о том, что большинство трещин носит усталостно­ хрупкий характер и располагается в районе углов многочисленных вырезов в обшивке и наборе корпуса.

Решение задачи о концентрации напряжений хотя и не исчерпы­ вает проблемы оценки и обеспечения надежности прерывистых связей, но является существенным этапом на пути к количественному определению усталостной долговечности различных судовых узлов и их сопротивления хрупким разрушениям. Вот почему вопросам оценки концентрации напряжений в судостроительной литературе всегда уделялось большое внимание.

183

В последние годы наряду с развитием теории прерывистых свя­ зей Шиманского получили широкое распространение точные методы решения задач о концентрации, основанные на использовании тео­ рии функций комплексного переменного [8, 33]. И все же возмож­ ности этих методов весьма ограниченны; их использование не позвр-

ляет получить решение целого ряда важных задач о концентрации напряжений в районе вырезов или подкреплениях вокруг них доста­ точно сложной формы.

Решение этих задач сравнительно легко можно получить с помо­ щью метода конечных элементов.

В качестве первого примера использования МКЭ приведем реше­ ние задачи о концентрации напряжений вокруг квадратного выреза со скруглением в прямоугольной пластине конечной ширины при растяжении (рис. IV.7).

184

Пластина заменялась совокупностью треугольных элементов. Размеры элементов вокруг выреза принимались достаточно малыми, чтобы обеспечить надлежащую точность определения напряжений на контуре. Вдали от выреза, где возмущения в пластине сглажи­ ваются, размеры конечных элементов увеличивались.

Для пластины с ЫВ = 0,25 Rib = 0,125 и L = В были выпол­ нены с помощью программы [11] числовые расчеты на ЭВМ

«Минск-22».

На рис. IV.8 пунктирной линией показано распределение нор­ мальных напряжений по контуру выреза. Поскольку растягивающие

Рис. IV.8. Эпюра напряжений а по кромке выреза при растяжении

пластины.

напряжения в пластине вдали от выреза равны ох — 20 кгс/см2, максимальный коэффициент концентрации ajax i=t3. Полученный результат хорошо согласуется с теоретическим решением И. М. Будняцкого [8 ], которое было основано на использовании теории функ­

кладных листов в наиболее напряженном районе вокруг выреза. Были рассмотрены два варианта подкрепления пластины: подкреп­ ление выреза малым накладным листом и большим накладным ли­ стом, охватывающим значительный район пластины в районе скругления (см. рис. IV.8). Соотношение толщин накладного листа бх и основного б принималось равным 8J8 = 1,6. Из сопоставления эпюр напряжений следует, что снижение максимальных напряжений возле угла выреза достигается примерно в одинаковой мере как при малом, так и при большом вытянутом вдоль кромки подкреплениях. Однако при малом подкреплении обнаруживается отрицательный эффект — увеличение напряжений на конце утолщенного листа. Таким обра­ зом, снижение концентрации напряжения в углах выреза может быть

185

получено лишь при введении сравнительно больших накладных листов.

В качестве второго примера использования МКЭ в решении за­ дачи о концентрации напряжений приведем результаты расчета той же пластины при чистом сдвиге. Как видно из сравнения эпюр на­ пряжений (рис. IV.9), введение накладных листов уменьшает концен­ трацию напряжений в углах прямоугольного выреза при чистом сдвиге пластины примерно на 30%.

Рис. IV.9. Эпюра напряжения os по кромке выреза при чистом сдвиге: а — общая схема загружения; б —

величины напряжений.

Приведенные примеры убедительно показывают большие возмож­ ности МКЭ. Его использование позволяет просто и оперативно опре­ делить напряженное состояние в пластинах с вырезами, оценить влияние выбранного варианта подкрепления на концентацию напря­ жений, а следовательно, и выбрать среди этих вариантов тот, кото­ рый при наименьших весовых затратах материала на подкрепление приводит к наибольшему снижению концентрации напряжений в районе выреза.

§ 29

Расчет широкополых балок. Выбор присоединенного пояска

Расчет конструкций в строительной механике корабля произво­ дится, как известно, на основе определенной физической модели, моделирующей по возможности геометрические, жесткостные и ме­ ханические характеристики конструкций. Модель должна учитывать как можно больше факторов, оказывающих влияние на работу реаль­ ной конструкции. Модельное представление судового перекрытия как системы пересекающихся балок учитывает как дискретность

186

расположения подкрепляющих связей (флоров и стрингеров), так и плоский характер напряженного состояния, возникающего в пла­ стинах (в днищевой обшивке и настиле второго дна). Однако при стро­ гой оценке дискретности расположения упругих связей, характер взаимодействия последних с пластинчатыми элементами конструк­ ции учитывается приближенно, путем введения в состав профиля подкрепляющего ребра некоторого «присоединенного» пояска об­

шивки.

Особенно важен этот вопрос при расчете изгиба днищевых пере­ крытий со вторым дном на основе рассмотрения перекрытия как

цепции присоединенного пояска: рам­ ные бимсы, карлингсы, комингсы люков, балки набора отдельных

отсеков и танков. Более того, само судно в целом также представ­ ляет собой балку ящичного типа с поясками — палубой и днищем.

Введение понятия присоединенного пояска позволяет исполь­ зовать элементарную теорию изгиба балок при расчете балок, имею­ щих широкие пояски.

Определению величины присоединенного пояска был посвящен целый ряд работ [48, 53, 54, 64] и др. Во всех этих работах под ши­ риной присоединенного пояска Ьпр (применительно к рассматривае­ мому сечению) подразумевается такая ширина, при которой поясок в предположении равномерного распределения напряжений по его ширине, равных напряжениям в жестких связях в том же сечении, воспринимает то же усилие, что и действительный поясок:

187

вать элементарную теорию изгиба балок. Но если, как это имеет место при строгом подходе к определению присоединенного пояска, по­ следний меняется по длине балки, задача сводится к рассмотрению изгиба балок переменного сечения.

В этой связи целесообразно понимать под шириной присоединен­ ного пояска такую величину (постоянную по длине), которая при­ водит при использовании элементарной балочной теории к действи­ тельным максимальным напряжениям в расчетном сечении |[54].

Используемые в настоящее время в судостроении зависимости для определения присоединенного пояска широкополых балок по­ лучены П. Ф.Папковичем [48]. Он рекомендует ширину присоединен­ ного пояска свободно опертых ба­ лок принимать равной наименьшей из величин: действительной ши­ рине пояска b или одной трети длины балки И3; для жестко заде­ ланных широкополых балок за Ьпр принимается наименьшая из ве­

личин: b или II6.

Существует еще ряд работ, где вопрос о присоединенном пояске решался с помощью использова­ ния более приближенных анали­ тических методов, чем в работах, упомянутых выше.

Из анализа имеющихся числовых результатов следует, что суще­ ствующие рекомендации по выбору присоединенного пояска широко­ полых балок весьма противоречивы и не учитывают влияния многих факторов. Использование этих рекомендаций может привести к

Таким образом, в вопросе о выборе присоединенного пояска имеются значительные пробелы, многие из которых можно ликви­ дировать, если использовать для расчета широкополых балок метод

Ввиду предполагаемой симметрии балки и действующей на нее внеш­ ней нагрузки относительно трех координатных плоскостей, можно рассмотреть только ее часть А гВ ^дВдАдВд, а на кромках А 2В 2, АХА 2, А 2А 3 и А 3В3наложить соответствующие связи (см. рис. IV. 12).

Заметим, что в отдельных случаях для получения достаточно точного результата приходится идти на введение более мелкой сетки, особенно в местах ожидаемой концентрации напряжений (район приложения внешних сосредоточенных сил, вблизи жесткой заделки торцевых сечений балки и т. п.).

На ЭЦВМ «Минск-22» был рассчитан ряд широкополых балок при разных вариантах нагружения и различных условиях закрепления.

188

При этом использовалась для прямоугольного элемента матрица жесткости (26.8), основанная на линейном законе распределения компонентов напряжений по полю конечного элемента. Расчеты проводились для вариантов загружений, показанных на рис. IV. 13.

189

Рис. IV. 15. Влияние плавности распределения внешней нагрузки на величину присоединенного пояска при раз­ личных значениях отношения l l b ( l j L = 8); а, б, в —

виды поперечной нагрузки.

Рис» IV. 16. Влияние граничных условий вдоль длинных кромок прямоугольной полосы на величину присоединенного пояска.

является вполне надежным и эффективным методом определения напряженного состояния в широкополых балках.

Из геометрических характеристик элементов широкополой балки решающее влияние на Ьпр оказывает относительная ширина пояска Ub. Были выполнены числовые расчеты для IIb = 3; 6; 12.

ного сечения пояска к площади поперечного сечения стенки, поэтому в последующих расчетах принято к, равное 8.

сравнению с балкой, у которой продольные кромки поясков

дить в рассмотрение два различных присоединенных пояска: для среднего по длине балки сечения — Ь„р и для опорного сечения —

Ь„р (рис. IV. 17).

Кривые (рис. IV. 18) характеризуют коэффициент концентрации напряжения ka = Ьпр/^пр, на который следует умножить величину

191