книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

При Pi( 0 ) ->0 и р3 ( 0 ) ->-1 отношение (1.4.44) стремится к максимальному значению (г]*-»-7), а при /?i( 0 ) ->0 и р3(°'-»-0 — к минимальному (г)*-Я)).

§ 1.5. А Л Г О Р И Т М Г А У С С А — З Е Й Д Е Л Я И Е Г О С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Й В А Р И А Н Т

Сущность алгоритма Гаусса—Зейделя со­ стоит в следующем [3]. Процесс оптимизации происхо­ дит последовательно по каждой переменной, т. е. со­ стоит из последовательных спусков в направлении ко­ ординатных осей.

Сначала для спуска выбираются подряд все положи­ тельные направления координатных осей, а потом — все отрицательные. Если по выбранному направлению спуска приращение функции качества отрицательно

Из сказанного следует, что автомат этого алгоритма поиска имеет 2п состояний, которые пронумеруем в сле­ дующем порядке:

AX<n +1 ) = - aei ; АХ<2> = - а е 2 ; . .. ; АХ<2"> = - а е „ ,

где а — величина шага; е ь . . . , е „ — координатные орты.

ГЛАВА I

72

Далее будем предполагать, что а=\. Матрицы пере­ ходных вероятностей автомата в соответствии с алго­ ритмом поиска равны

при нештрафе (AQ'<0)

Предполагается, что оптимизация идет при наличии помехи, определяемой формулой (0.1.22), и что функция качества Q(X) линейная. Тогда ее приращение kQ'i оп­ ределяется формулой (1.2.15), а вероятности штрафов (AQ'i^O) — формулой (1.2.17). Следовательно, вероят­ ности штрафов действий автомата-поиска определяются выражением

ГЛАВА I

76

Из этой матрицы получаем следующее распределение вероятностей цепи Маркова на JV-M шаге:

ГЛАВА I

78

Следовательно, стохастический и детерминированный варианты алгоритмов Гаусса—Зейделя при оптимиза­ ции с помехами эквивалентны в том смысле, что процесс

(1.5.26)

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

79

Распределение вероятностей цепи Маркова на N-м шаге равно

а предельное распределение вероятностей

Среднее смещение по направлению градиента на одном шаге

Сравнивая формулы (1.5.19) и (1.5.29), видим, что при поиске в отсутствие помех (ст=0) преимущество имеет стохастический вариант алгоритма, так как на его быстродействие меньше влияет направление градиент­ ного вектора минимизируемой функции.

§ 1.6. Д Е Т Е Р М И Н И Р О В А Н Н Ы Й А Н А Л О Г Н Е Л И Н Е Й Н О Г О А Л Г О Р И Т М А С Л У Ч А Й Н О Г О П О И С К А

Рассмотрим детерминированный аналог не­ линейного алгоритма случайного поиска [19]. Предпола­ гается, что поиск производится по координатным осям в пространстве {X}, т. е. этот поиск является покоорди­ натным (см. формулы (1.5.1)).