книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

41

горитм, называется автоматом с линейной тактикой [39]. Если же условие линейности объекта не выполняется и

меры для того, чтобы устранить последствия неудачи. Этот алгоритм можно записать в следующем виде:

(1.1.8)

Оператор случайного шага S здесь вводится как поло­ жительная реакция R+ на удачный шаг, который привел к уменьшению функции качества AQ<0 . Отрицательная реакция R~ вызывает действие, направленное на прео­ доление полученного отрицательного эффекта (AQ>0), после чего снова следует случайный шаг Н. Таким обра­ зом, работоспособность этого алгоритма поиска дости­ гается исправлением ошибок, допущенных в процессе случайных проб.

Граф алгоритма показан на рис. 1.1.3. Матрица пере­ ходов графа имеет вид

где р — вероятность случайного удачного шага (р = р\). Очевидно, что для эффективной работы этого алгоритма объект вовсе не обязан обладать свойствами «гладкости». Единственное условие, предъявляемое алгоритмом к объ­ екту, заключается в том, чтобы вероятность р была не очень мала.

AQ>0

AQ<0

(Р)

Рис. 1.1.3. Граф алгоритма случайного поиска с нелинейной тактикой.

42 ГЛАВА I

Рассмотренные выше алгоритмы случайного поиска являются стохастическими автоматами, переходные мат­ рицы которых определяют "статистические свойства опе­ ратора случайного шага, которые в процессе поиска оста­ ются неизменными. Естественно использовать возмож­ ность изменения вероятностных свойств оператора Н для целенаправленного воздействия на переходные вероят­ ности, чтобы повысить эффективность указанных алгорит­ мов. Данную задачу решают а л г о р и т м ы с а м о о б у ­ ч е н и я, т. е. способы перестройки статистических свойств оператора Е, основанные на предыстории поиска. Такое самообучение вносит в поиск дополнительную обратную связь и является реакцией более высокого порядка на по­ ведение объекта в процессе поиска, чем R+ или R~.

Таким образом, можно утверждать, что алгоритмы случайного поиска являются вероятностными автоматами, адаптация которых производится путем введения само­ обучения в процессе их функционирования.

§1.2. П Р Е Д С Т А В Л Е Н И Е

С Л У Ч А Й Н О Г О П О И С К А В В И Д Е В Е Р О Я Т Н О С Т Н О Г О А В Т О М А Т А

В предыдущем параграфе показано, что ал­ горитмы случайного поиска могут рассматриваться как простейшие вероятностные автоматы, имеющие два со­ стояния — случайный шаг S и реакцию R на результат этого случайного шага. В данном параграфе эта точка зрения расширяется и обобщается, что позволяет не только привлечь теорию вероятностных автоматов к ис­ следованию работы алгоритмов случайного поиска, но и построить новые алгоритмы.

Начнем с определения исходных понятий, точнее, с установления связи между понятиями теорий поисковой оптимизации и вероятностных автоматов. Эта связь отражена в таблице 1.2.1.

Рассмотрим алгоритм случайного поиска с ограничен­ ным, т. е. конечным, числом т возможных направлений движения в пространстве оптимизируемых параметров.

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

43

Будем рассматривать сначала покоординатный поиск, когда вдоль координатных осей равновероятно делаются единичные шаги в обоих направлениях

Очевидно, что в этом случае т четно. Определим индексы следующим образом:

( ) •

„ т

т. е. шаги с индексами, различающимися величиной-^- ,

равны по модулю и противоположно направлены. Покажем теперь, как некоторые описанные ранее ал­

горитмы покоординатного поиска записываются в тер­ минах теории автоматов.

Иначе говоря, матрица реакции состоит из четырех бло­ ков — двух единичных и двух нулевых:

Нетрудно заметить, что эта матрица обеспечивает воз­ врат системы в исходное состояние при AQ'>0 .

Таким образом, вероятностный автомат, эквивалент­ ный алгоритму случайного поиска с возвратом, пред­ ставляется в виде следующей комбинации матриц:

Блок-схема оптимизации с применением этого вероят­ ностного автомата показана на рис. 1.2.1,6. Здесь блоке выполняет естественную операцию:

f 1, если AQ'>0;

(1.2.11)

\ 0, если AQ' 0.

Блок А\ представляет собой автомат, срабатывающий при с = 1 в соответствии с матрицей А\, т. е. реализую­ щий поведение при штрафе. Блок А0 реализует вероят­ ностный автомат Ло, т. е. образует случайный шаг S.

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

47

Обе схемы на рис. 1.2.1, а и б работают строго иден­ тично. Поэтому дальнейшее изучение поведения системы оптимизации, работающей по алгоритму случайного поиска (1.2.3), можно производить с привлечением аппарата теорий вероятностных автоматов.

где Si — вероятность штрафа (с=1) при ДХ = ДХ<*>.

При отсутствии помех в определении приращения показателя качества получаем

При наличии нормальных некоррелированных помех, накладывающихся на показатель качества, получаем более общую формулу:

где Ф(г) — интеграл вероятности; а2 — дисперсия нормальной помехи;

Ф ( * ) = - / e-*ldt.

Очевидно, что с изменением градиента показателя качества вектор S будет также изменяться.

Далее, для полного описания функционирования сис­ темы случайного поиска как вероятностного автомата необходимо установить связь между поведением внеш­ ней среды и действиями автомата, т. е. замкнуть цепь обратной связи. Для этого в формулу (1.2.13) вместо коэффициента с подставим вероятность штрафа при £-м действии автомата, т. е.