книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

AQ(i) = aI +

a 2

; AQW = a i - a 2 ;

AQ(3) = _ ( a i

(2.3.5)

_ a 2 ) ; AQ< 4 >= - (a, + a2 ).

Алгоритм

покоординатного самообучения представ­

ностей (2.1.60). Вероятности o,j

(i, }=\,...,п)

этой мат­

рицы

задаются

таблицей 2.2.1,

а вероятности

штрафов

Sj — формулой

(2.2.11).

Используя равенства

(2.3.5), находим

$ 4 = 1 — 5 ь

S3 = 1 — s2.

(2.3.6)

Вводим обозначения

AQO)

(2.3.7)

I

I -4- Ш I

2

Ai = fln + ai4= у (1 + d2 );

(2.3.8)

A2

= c 'l2 + <7l3 =

где

Ф(г) =

J2 '

e~t2dt

— интеграл вероятности. Тогда

Ул о

из матрицы

(2.1.60),

учитывая

формулы (2.3.6) — (2.3.8),

АхФх А2Ф2

Л 2 Ф 3

Л,Ф 4

Л =

Л2 Ф, Л!Ф2 Ахф3

Л 2

Ф 4

(2.3.9)

Л2 Ф! АХФ2

Л,Ф 3

Л 2

Ф 4

Л : Ф ! Л 2 Ф 2

Л 2 Ф 3

Л1Ф4

194

AN =

| 0 > j ( l + d^)X- Ф 2 ( 1 -

6^)1 ф 3

( J _ d2JV)I ф 4 ( 1

+ d2N)

Ф , ( 1 - d2W)l ф 2 ( J + d2N)\ ф 3

( !+ d2W) I ф 4 ( 1 _ d2N)

-2 Фх (1 - d ™ ) ^ Ф 2 (1 +d 2 J V ) ^ Фз (1 +d2N)1- Ф 4 ( 1 - d 2 J V )

^ Ф , ( 1 + d™^ Ф 2 ( 1 -

^ Фз ( 1 - ^

Ф 4 ( 1

+ ^ 2 W )

(2.3.10)

р2(Ю= 1

ф 2 - | ф ^ ( Р 1 1 0 ) + р 4 ( 0 ) ) +

+

1 ф 2 ^ ( р 2 ( 0 ) + / , 3 ( 0 ) ) ;

195

Рассмотрим

случай, когда

выполняется

условие

0 < d < l . Тогда

из (2.3.11) при

предельном

переходе

N-+oo получаем

Р г = у Ф г

(2.3.12)

im pi = —

при £ = 1 , . . . , 4;

0->оо

4

j

(2.3.13)

lim pi=

I

—•

при i =

1, 2;

2

л

C-»-0

I

n

о

О

при 1 = 3, 4.

равномерно

распределяется по

всем состояниям i (i =

= 1,...,4),

а при а-*-0 вектор W с одинаковой

вероят­

ностью 1/2

принимает состояния

1 и 2 и с

вероятностью

О -— состояния 3 и 4.

Q(X\,

х 2 ) на

Среднее

приращение функции

качества

N-ы шаге поиска равно

4

MN[AQ]=

£ PiWM[AQ/V/i],

(2.3.14)

где

Af[AQ/Wi] = dAQ(*).

(2.3.15)

ние (2.3.14), получаем

MN[AQ]

= - J -

d { Ф

) [ 1 + d™ (р,(0) + р4<о) _

2у2

х

2а '

/ДО(2) \

_ р 2 ( 0 ) _ р 3 ( 0 ) ) ] ( а 1 + а 2 ) + ф ^ _ bL _

-

^ (р, (0) + рА(0)

_ р 2 ( 0 ) _ р з ( 0 ) ) ] ( а 1 _ а г ) | ,

13*

(

196

где cci и а2 являются

направляющими

косинусами

гради­

ентного вектора, причем a,i2

+

а22=1.

из (2.3.16)

полу­

В предельном случае, когда N-voo,

чаем

M[AQ]=limAijv[AQ]= —l —d\ Ф (£9!!

) (ai +

a2)

+

w^oo

2У2

"-

v

2а

1

+ Ф ( ^ ) (

а 1 _ а

2 ) ] .

(2.3.17)

Отсюда имеем:

1

(2.3.18)

lim M[AQ]= —= dau

lim M[AQ] = 0.

(2.3.19)

На рис. 2.3.1 представлено

поведение среднего

прираще­

осью Х\

(tzi = l ;

а 2 = 0)

и когда

направление

градиента

совпадает

с биссектрисой

ДХ(1> (ai = о.2 = 1/У2). Очевидно,

что при малых помехах

(ст^1)

система лучше оптими­

зируется

тогда,

когда направление градиента

совпадает

с осью х\, хуже, — когда

направление градиента совпа­

*- { ^( P l ( 0

) + P 4 ( 0 ) )

(t= 1, 4);

(2.3.22)

( Р 2 ( 0

) + / ? 3 ( 0 ) )

{1 = 2, 3).

Подставляя в выражение

(2.3.16) d=\,

имеем

Af[AQ] = M w [ A Q ] = - 4 f

Ф ( ^ ^ ) ( P i ( 0 )

+ P 4 ( 0 > ) ( a 1 +

у 2

' п2о

198

Из этой формулы

находим:

lim M[AQ] = ~

a. + ~

(Plm

+ р 4 ( 0 ) - р 2

< 0 ) -Рз<0 ) ) «2 ;

ст->о

У2

У2

(2.3.24)

limAf[AQ] = 0.

(2.3.25)

СГ-юо

2. Многомерный

случай (п>2;

8^2d).

Пусть

направ­

ляющие

косинусы

градиентного

вектора

oti

(i=l,...,п)

удовлетворяют условию

« i > « * > - > « » > 0 ;

(2.3.26)

a i > a 2

+ ••• + an -

Тогда

при нумерации

состояний

вектора W

(2.2.52)

предыдущего параграфа

имеем:

AQ( 1 ) , A Q ( 2 ) , . . . > A Q < 2 " - I ) > 0 ;

g ^

A Q ( 2 " - 1 + i ) ; . . . ;

A Q < 2 " ) < o .

Р<= ^ = Т ф *

( 2 3 - 2 8 >

Среднее

приращение

функции

качества Q ( х ь . . . , хп) на

один шаг

поиска в предельном

случае N-+oo равно

2 "

i

M[AQ] = d • 2' - "

ФгД<2<1> = d • 2 1 - "