книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

ГЛАВА I

124

Другой подход к решению оптимизационных задач с ограничениями связан с организацией реакции на заход в недопустимую область. Например, нарушение ограни­ чений отождествляется с неудачным шагом:

(XgfeS) = ( A Q ^ 0 ) .

В этом случае использование нелинейного алгоритма

Здесь обратный шаг введен как реакция на нарушение ограничений.

Рассмотрим работу последнего алгоритма для случая, когда множество возможных направлений {АХ} образу­ ется координатными направлениями (1.5.1), т. е. имеет место стохастический вариант алгоритма Гаусса—Зей- деля (см. § 1.5):

где ег — t-й орт. Здесь случайный вектор Н имеет дис­ кретное распределение

Р ( 0 = 2 ^ ( t = l , . . . , 2 n ) .

Ограничимся для простоты случаем п = 2, который рас­

ГЛАВА I

126

иска, принимая в качестве аргумента этого процесса число тактов.

Поскольку нас интересует среднее число тактов, необ­ ходимое системе для первого попадания в окрестность минимума, мы можем считать точки, принадлежащие этой окрестности, поглощающими, т. е. такими, что веро­ ятность перехода из этих точек в самих себя равна 1, и, следовательно, можем для определения искомого сред­ него числа тактов воспользоваться следующей форму­ лой [47]:

где X; — исходное состояние системы;

S— множество всех возможных состояний сис­ темы, кроме состояний, принадлежащих окрестности минимума;

Pq(X{, S) — вероятность того, что, выходя из состоя­

Pq(Xit S)=2Jp<i(9)

Для определения этих вероятностей разобьем мно­ жество на однородные подмножества.

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

Разбиением на однородные подмножества назовем та­ кое разбиение множества 5, когда для любых двух со­ стояний Xj и Xj-eSft и для любого подмножества Si имеет место равенство

и подмножества 5, попарно не пересекаются. По край­ ней мере одно такое разбиение всегда существует: каж­ дое возможное состояние является однородным подмно­ жеством.

умножая выражения (1.11.4) на si и суммируя их для всех q от 1 до оо, получим

со

где P(s, S) и P(s, Sk) — соответственно производящие функции последовательностей Pq(Xi, S) и Pq(Xi, Sk).

Предположим, что Ро(Х,-, S) = l , т. е. что Xj=S . Тогда формулу (1.11.2) можно записать так:

т

ГЛАВА I

писать вместо Р(\, Sk) просто P(Sk).

Теперь найдем вероятность P(Sfe). Согласно определе­ нию переходной вероятности за q шагов

Используя уравнение Колмогорова—Чепмена, получим

8=1

Переходя к уравнениям в производящих функциях и по­ лагая в них s = 1, получим

т т

Решая полученную линейную неоднородную систему

вокрестность экстремума.

Сточки зрения сравнения детерминированных и слу­ чайных методов поиска интересно рассмотреть ограни­

ченные запрещенные области, закрывающие прямой путь в окрестность экстремума из какой-либо части плос­ кости.

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

2) запрещенной области типа I I : множество точек, ко­ ординаты которых удовлетворяют неравенствам

В этом случае окрестность минимума состоит из двух

ней полуплоскости определяются из соображений сим­

3) множества С* (/= 1, 2, ... , т);

Сг = { 0 : (/,&)(& = / + 1 , / + 2 , . . . , о о ) } ;

4)множества D, ( i = 1, 2, . . . , / ) ;

Di={0: (ft,t)(ft = m + l , m + 2 , . . . , o o ) } ; 5) множество Е:

£ = { 0 : ( - l , * ) ( * = / + U + 2 , . . . , o o ) } ;

9 — 2014

с

Рис. l.ll.i. Запрещенные области типа I (а) и типа И (б).

Эти множества содержат все возможные состояния системы (т. е. все точки плоскости, в которых система может остановиться для выбора нового направления дви­ жения) и действительно являются однородными.

Предположим сначала, что исходное состояние i на­ ходится в множестве G. Запишем для указанных мно­

жеств систему уравнений (1.11.11):

Г3P{Ah)-P{Bk)-P{Ah-,)=0-

P(Ai)s= 0 введено для единообразия записи подсис­ темы ( а ) . Решая отдельно от остальных уравнений под­ системы ( а ) , (р) и (у), получим:

9*