книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

ческой. Поэтому вектор предельных

вероятностей Р =

= {р\,...,рт)

пребывания автомата

в состояниях i

можно найти, решая систему уравнений

P=;4'(S)P

(1.4.5)

Из системы

(1.4.6) находим:

f l - g

l

0

'

2f b

(1.4.8)

Pm'2+i = —r

7

Pi

Krn/2+i

Ji~gi

0

<

:;)

j _ J

1 5i<Si+m/2

Нетрудно

показать, что имеет

место неравенство

- | < Р с Р ^ у .

(1.4.12)

При ЭТОМ При СГ->0 /?ср-*-7з И При 0 - > - О О /?Cp->V2-

Отсюда

следует, что вероятностный автомат, соот­

ветствующий

рассмотренному

алгоритму случайного

нием в

смысле

определения, данного М. Л . Цетли-

ным [28].

Далее

пронумеруем

направления

смещения ДХ<«> в

пространстве X (состояния автомата)

в следующем по­

рядке:

Д Х < " = ( + 1 , . . . ,

+ 1 ) ,

ДХ<2> = ( + 1 . . . ., + 1 , - 1 ) ; ДХ<з) =

=

( + 1 , . . . , + 1 , - 1 , - 1 ) ; ДХ№ =

=

( + 1 , . . . , + 1 , - 1 , - 1 ) ; . . . ; Д Х ( ™ / 2 - п =

64

=

( + i , - i

-

l , + 1 ) ; лх ™/2=

=

( + 1 , - 1 , . . . ,

- 1 ) ; AXC»/2+') = - A X W

(1-4.13)

.

Af[AQ] = sf

"1+m/2~S[

( a i

+ a 2 + - +ап)

+

'SlSl+m/2

L 1 — S i S1

4-m /2

S2+m/2~S2

(at + a 2 + ••• + a n - i —an )

+

1 — S2S2 +m/2

S3+m/2 — S3 ( a i +

••• + a n - 2 — a n - i + a n ) +

1 ~

$ 3 5 3 + т / 2

( a i +

••• +0C1-2 — a.n-1 —

1 — S4S4+m /2

\

1

1

Sm-l

— Sm/2—I 1

, \ ,

-a„) +

••• + -

(ai—

a n - i + a n ) •+

Sm

Sm/2

1

Sm—lsm/2—1

•(ai — a2— ••• —an) ] •

(1.4.15)

1

SmSm/2

ai><%2 > ••• > a n > 0 ;

(1.4.16)

a i > a 2 + ••• +an.

Тогда имеют место следующие неравенства:

A Q ( " > 0 ; . . . ; AQWV>0; AQ("V2+i)<0; . . . ; AQ(™><0,

(1.4.17)

lim Pi

4

. m

, .

(1.4.19)

СГ-+0

m;

- —

при 1 = - т г + 1 , . . . .

3m

2

l i m p c p = 4;

H m M [ A X ] = (

- 1

0 , . . . , o ) ;

(1.4.20)

cr->-0

<J

a-*0

4

lim A I [ A Q ] = - —

a b

(1.4.21)

a->-0

<J

Нетрудно

убедиться,

что

при

предельном

переходе

а->-оо получаем

lim s»= - jr ;

H m p i = —

( i = l

m);

(У->-оо

^

a->-oo

W

H m p c p = 4 - ;

HmAf[AX]=(0

0);

(1.4.22)

0->-oo

^-

CT->oo

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

•

67

( I - S 2 S 4 )

( 1 + 5 2 )

(1-SjSs)

Р г 3(2 - s l S 3 - s 2 s 4 ) '

P i

3 ( 2 - s L S 3 - 5 2 s 4 ) '

g )

где Si определяется

формулами (1.4.23).

Среднее приращение показателя качества равно

М [ Л С Н — ;

,

~\

;

г т Х

5 , - > 1 ; s2 -^0; s3 ->0;

s 4 ^ l ;

(1.4.28)

P i - ^ y ;

P2~^Y'

Р з

_ > Т '

p 4 ~ ^ ¥ '

(1.4.29)

M [ A Q ] - > - ^ ± .

(1.4.30)

Из формул

(1.4.30)

и (1.4.21)

следует,

что для рассмот­

(при

единичном смещении

по каждой

координате

|Л*г| = 1).

ах = 1; а 2 = 0 .

Рассмотрим случай, когда

Для этого

случая

получаем

1

' [ 1 - ф ( - 1 . ) ]

(1.4.31)

S J = S

69

Средняя

длина

шага

поиска

равна

M [ A X l ] = ± ( s 2

- S l )

=

- - 1 Ф ( ~

).

(1.4.37)

В пределе при а->-0 получаем:

1

1

(1.4.38)

Р с р - + - ^ - ;

M[Axi]-i

^ .

При 0->оо имеем

1

1

Pi=p4-^—;

P 2 = p 3 - ^ - j ;

(1.4.39)

рср->-^-;

М[Ахг]-+0.

Особо

необходимо

рассмотреть

случай ai = a2 = V2/2.

В этом случае при офО

из формулы

(1.4.27)

получаем

M[AQ]=

Т ^ Т " -

( 1 А 4 0 )

6 + ф2(-1£

)

Отсюда при а->0 имеем

M [ A Q ] = - - y - .

(1.4.41)

Теперь

с о п о с т а в и м

л и н е й н ы й

и н е л и н е й н ы й

а л г о р и т м ы

случайного поиска. Для этого,

используя

SiSi+m/2

S* ( 1 ~ SiSi+m/2)

t\=- £ Si+m/2 Si

SSiSi+m/2