Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

8.71 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 346 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

Ъ\ — ах		— 1	S i
P m = T			ГР1=—ри
ит	dm	I	Sm
После нормировки pi ( i = l				m)	имеем
Pi^~S*					(1.3.7)
Si
( i = l , . . . , m ) ,
где	m
	m
s * - ( 2 t ) ~ 1 -					( L 3 - 8 )
	3=1	'
Предельный средний штраф				равен
P c p = mS*.					(1.3.9)
Можно	показать, что имеет место				неравенство
0<Pcv<~	.				(1-3.10)

причем при сг->-оо рС р->-^- и при а->0 рС р->0. Следова тельно, рассмотренный автомат, соответствующий ли нейному алгоритму случайного поиска, обладает целе сообразным поведением в процессе оптимизации при на личии помехи с ограниченной дисперсией.

Пронумеруем направления смещения ДХ( г ) в прост ранстве X следующим образом:

ДХ<1>=( + 1, ... ,+1) ;	Д Х ( 2 ) = ( + 1 , . . . ,		+ 1	, - 1 ) ; ДХ<з> =
= ( + 1 , . . , , + 1 , - 1 , + 1 ) ;		ДХ<«>=(+1, ... , + 1 ,
- 1 , - 1 ) ; . . . ;	ДХ<™/2-» =	( + 1,	- 1 ,	. . . , - 1 , +1) ;
\ дх<"^)= ( + 1 , - 1 , . . . , - 1 ) ;			ДХ<™/2+» = -ДХ(*>
				(1.3.11)
	( '	• '	т )	-

Тогда средний вектор смещения в пространстве X будет равен

ГЛАВА I

Л * [ Д Х ] = [(

Sm — Sm/2 ^

SmSjn'2 '

Sm/4+2 Sm/4

Srn/4s m/4+m/2

S m — S m / 2 \ С И

^	S i + m / 2 — S i
X	S i S i 4 - m / 2

S m /4+n - m / 2 Sm/4+1 S T O , 4 + i S m / 4 + i - ) - m / 2

!/ S i + m / 2 — S i

	Sm.Sw.r2	'	N	SiSi+m/2
S2 +m/2 — S 2			S 3 + m / 2 — S3
S2S2 +m/2			s 3 S 3 + m / 2
S4+m/2 S4			S m	S m / 2	) S*] ,	(1.3.12)
S4S4+TO/2				Smr&m

где 5* определяется		формулой (1.3.8). Среднее измене
ние показателя	качества
M[AQ] = S*\ S	l + w / 2 ~ 5	'	( a i + a 2 + - + a n ) +

LSiSi+ T O /2

,S 2 + T O /2 — S 2

			S2S2+m/2 - ( « 1 +			+ a n - i — a n ) +
			S3+m/2~S3			••• +an-2 — C t n - l + a n )		+
			S3S3+m /2 ( « 1 +
		S4+m/4 — S 4			( a H	han-2 — a n - i — ctn) 4 Ь
			S4S4+m/2

	,	Sm—1		STO/2—1 ,			.
	H				(ai— ••• - a n - i + a n ) +
			Sm—lSm/2—1
	.	S m Sm/2			(a,	a„)] ,		(1.3.13)
			SjnfeSn
где	a i 2		= l	(напомним, что ai			— направляющие
i=l
косинусы		градиента).
С л у ч а й			б е з		в о з д е й с т в и я		п о м е х и	необхо
димо	рассмотреть				отдельно. Предположим, что направ
ление	градиента			функции		Q(X) удовлетворяет		условиям

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

	53-
a,i>a2>	••• > a n > 0 ;		a i > a 2 + ••• + сс„		(1.3.14)
Тогда при о-»-0 имеем
1	при 1 = 1 , .		т
1	при 1 = 1 , .	'	2	'
		'	2	'	(1.3.15)
					(1.3.15)
О при i = ~ ^ + U			• • •.	т -
Цепь Маркова является				неэргодической	^имеются т

поглощающих состоянии ) с матрицей переходных веро

ятностей	1		1
	1		1	1	1	1	1
	т		т	т	т	т	т
	1		1	1	1	1	1	(1.3.16)
	m		т		m	m	т	(1.3.16)
	m		т		m	m	т
	0-		•0	1	0-	•0	0
	0 • •0			0	0-	•0	1
						m
					~2~
JV-Я степень	этой матрицы					будет	иметь	вид i4w (S)
1			1	2N- 1 2 W - 1				2N- -1
2 № - ' m			2 * - ' т 2N- m 2N-im					2N- m
								m
								T
1			1	2N-	1	2N-l		2N- -1
				2N-		2N-lm		2N-
0	•	•	0		1	0	...	о
								m
								T
0	•	•	0		0	0	...	l

ГЛАВА I

По матрице (1.3.17) находим вектор

вероятностей pw

—

( p i w

, • • •, PmiN))

пребывания

автомата

состоянии

на

N - м

шаге:

_ L _ ( P l ( 0 ) + . . . + p m / 2 ( 0 ) )

р и

1 = 1 , . . . / ^ ;

Р ,(N) —

2N—\

+ / W 0 )

) + Р г (

при 1 =

—

(Pl(0)+

0 )

= у + l , . . . , m ,

(1.3.18)

где Р<°).= ( p i { 0 } , . . . , р т

( 0 ) )

—• вектор начальных вероят

ностей. При

предельном

переходе N-+oo

получаем век

тор предельных вероятностей:

при

i = l , . . . ,

— ;

при

P i ( 0 ) + —

(Pim

+ - + P m / 2

{ 0 ) )

i = — + l , . . . , m .

(1.3.19)

Средний

штраф

pCp = 0

и средний

вектор

смещения

пространстве X

(т / 4 + т / 2

М[&Х]--

i = l + m / 2

i = m / 4 + l + m / 2

(т / 8 + т / 2

Г ( 0 ) _

+ т / 2

г=т/4+1+га/2

т / 4 + т / 8

Рг(0> I , - . . ,

- ( p l + m / 2 ( 0 ) - р 2 + т / 2 ( 0 > +

г ' = 3 / 8 т + 1 + т / 2

г ' = т / 8 + 1 + т

г = т / 2 + 1

• + p 3 W 2

( 0 ) - P 4 + m / 2 ( 0 ) +

- - Р т т )

(1.3.20)

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

55-

Среднее изменение показателя

качества

т/2

M[AQ]=-ai

/ 7 г ( 0 )

- P l + m / 2 ( 0

) ( « 1 +

« 2

г=1

••• +ап)

— Р2+т/2( 0 ) ( a i +

••• + a n - i — а п )

—

— Рз+т/2( 0 )

( а

1 +

+ а п - 2 —ап _1 + а г а ) —

— Р4+т/2( 0 ) ( a i +

••• + а „ - 2 — a n - i —а«) — •••

-••

—/7m_i<°> (cci — ••• — а п - 1 +

OCn) —

- Р т ( 0 ) ( с ч

а п ) .

(1.3.21>

Рассмотрим

д в у м е р н ы й

с л у ч а й

при наличии по

мехи

(я = 2;

/п = 4). Векторы ДХ<*> пронумеруем в

следу

ющем порядке:

дх<1> = (1,1);

дх<2) =

( - 1 , 1 ) ;

(1.3.22).

Д Х ( 3 ) = ( - 1 , - 1 ) ;

ДХ<«>=(1,-1).

Матрица A (S)

имеет вид

A(S)

й2

а2

(1.3.23).

а3

аъ

Ъг

а 3

Й4

где

4-3s<

а»

(1.3.24))

Si'

И +

0С2

2 1 "

" \

2о

/J*

- - 5 [ ' - » ( - а

й 2 1

) ] =

(1.3.25>

( а ь

а 2

—

направляющие косинусы

вектора

градиента;

a i 2 + a 2

2 = l ) .

(1.3.23)

следует, что

цепь Маркова при

Из

матрицы

постоянных Sj однородная и при офО

эргодическая.

ГЛАВА I

Вектор		предельных	вероятностей P=(pi,				р2, Рз, Р4)
находим, решая систему			уравнений
P = 4'(S)P,							(1.3.26)
где A'(S)		—транспонированная			матрица	(1.3.23):
Pi-	1	S\S2s3Si	Р2 =	1	S1S2S3S4
Pi-	S\	S1S3 +S2S4	Р2 =	S2	S1S3 +	S2S4
	S\	S1S3 +S2S4		S2	S1S3 +	S2S4
	1	S1S2S3S4	Pi--	1	S1S2S3S4
	s 3	SiS3 + S2Si	Pi--	Si	S1S3 +	S2S4
	s 3	SiS3 + S2Si		Si	S1S3 +	S2S4
							(1.3.27)
Средний штраф, подсчитанный по формуле							(1.2.23), ра
вен
		S1S2S3S4		1

S1S3 + S2S4

+	1	(1.3.28)

Легко заметить, что имеет место неравенство

(1.3.29)

Отсюда следует, что соответствующий этому алгоритму вероятностный автомат обладает целесообразным пове дением. Средний вектор смещения в пространстве X

М[АХ]=	(pi-p2-Pz	+ Pi,	Pi + P2-Ps-Pi)		=
_	Г (Sl+S4)S2S3-		(Sz+S^SjSj
	*•	S1S3 +	S2S4
	(si+s2)s3s4-(s3	+ Si)s1s2		1	(1.3.30)
					(1.3.30)

s l s 3 + 52s 4

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

57-

Среднее приращение показателя качества

M[AQ}--	+
	2 - Ф 2

Ф (sizsjf^a+s)]

			_ ф 2	( - ± - ) ^ ( ^ )			(1.3.31)
		2	_ ф 2	( - ± - ) ^ ( ^ )
	предельном			переходе		2а	(если,
При	предельном			переходе		<Х1-»-У2/2, аг->У2/2	(если,
При	+
выполнено условие о=й=0) находим:
			Ф (Л)
M [ A Q] =			\	2о	/		(1.3.32)
Рассмотрим			случай,		когда	ai = l ; а2 = 0. Тогда	из фор
мулы	(1.3.25)		следует
							(1.3.33)
Матрица A(S)			имеет вид
		bi	й\	Ci	d\
A(S)	=	а2	Ь2	а2	а2		(1.3.34)
A(S)	=	а2	а2	Ь2	а2		(1.3.34)
		а2	а2	Ь2	а2
		ах	й\	а.\	Ь\

В силу симметрии матрица (1.3.34) распадается и по лучаем pi=Pi\ Р2 = Рг- Окончательное уравнение для оп ределения вектора Р приобретает вид

	Pi= (bl+ai)pi + 2a2p2;	(1.3.35)
	p 2 = 2 a 1 p I + (b2 + a2)p2 .	(1.3.35)
	p 2 = 2 a 1 p I + (b2 + a2)p2 .

ГЛАВА I

Решая эту систему уравнений, находим:

	1	l — b2 — a2
Р1=Р4	= —	\-Ь2~а2	+ 2аГ
	2	\-Ь2~а2	+ 2аГ
	1		2а:
Р 2 Р г	2 ' \-b2-a2		+ 2al '

Подставляя формулы (1.3.24) в выражение учитывая равенства (1.3.33), имеем:

(L3-36>

(1.3.6) и

P l = p 4 = ± S 2 = ± [ l - o ( - L ) ] ;

(1.3.37)

p 2 = P 3 = l S l = l [ l + o ( l b ) ] .

По формуле (1.2.23)

p c p = 2 S l s 2 = - i - y02(^ - ) .

(1.3.38)

Из формулы (1.3.38) следует, что автомат, соответствую щий этому алгоритму, обладает целесообразным поведе нием. Среднее приращение показателя качества за один шаг поиска равно

M[AQ] = s 2 - S l = - o ( ^ - ) .

(1.3.39)

В пределе при о->0 (а=^=0) получаем:

P l =Pi-^0;	р 2 = р 3 - ^ - 1 ; р с р - > 0 ;	M [ A Q ] - ^ - l .
		(1.3.40)

При а-^-оо имеем:

(1.3.41)

В случае, когда о = 0, цепь Маркова, описывающая ли нейный алгоритм случайного поиска, является неэргодической, в силу чего этот случай требует отдельного ана лиза.

ПОИСК БЕЗ САМООБУЧЕНИЯ

	59
Из формул (1.3.25)				при а = 0 получаем: s i = l; s 2					= s 3 =
= 0; s4 = 1.
Матрица (1.2.23) для д в у м е р н о г о								с л у ч а я	б е з
в о з д е й с т в и я		п о м е х и			при условии (1.3.14) имеет вид
	4	4	4	Т
A(S) =	0	1	0	о				(1.3.42>
A(S) =	0	0	1	о				(1.3.42>
	0	0	1	о
	_1_ _1_
	т	т	Т	Т
Л^-я степень этой			матрицы
		1	2 j Y - l 2 N - l				1
	2iv+i			2n+i	2N~*1		2N+\
		О		1		О	О	(1.3.43),
		О		О		1	О	(1.3.43),
		О		О		1	О
		1	2 * - 1		2 W - 1		1
	2iv+i			2 l V + 1	2 J V + 1		2^+'
По этой матрице получаем вектор вероятностей на N-щ
шаге
	1		( P l ( 0	) + P 4 ( 0 > )			при	i = 1, 4;
	2Л-+1		( P l ( 0	) + P 4 ( 0 > )			при	i = 1, 4;
	2 N - l							(1.3.44).
	2 N - l		( P l ( 0	) + P 4 ( 0 ) )		+ Р г ( 0 )	При 1 = 2, 3.
	2N+l		( P l ( 0	) + P 4 ( 0 ) )		+ Р г ( 0 )	При 1 = 2, 3.
	2N+l
Вектор предельных вероятностей равен
О					при i= 1, 4;			(1.3.45)
								(1.3.45)
р.(о>+ i_ (р 1 (0)+ р4 ( о ))						П р И	i = 2,3.
Средний вектор смещения в пространстве X
М [ Д Х ] = ( - 1 ,		- ( Р з (		0 ) - р 2	( 0 ) ) ) .			(1.3.46)

ГЛАВА I

Д л я среднего приращения функции качества имеем

М[А Q] = -	а, -		(р3	(0) - р 2	(О) y i - а , 2 .	(1.3.47)
Особо следует рассмотреть случай а\ = а2						= ^2\2. Тогда
в соответствии		с определением алгоритма				(1.2.24)
	1	1	1	1
	4	4	Т Т
A(S) =	0	1	0	0		(1.3.48)
	0	0	1	0
	0	0	0	1
Вектор предельных вероятностей равен
0,				если	/ = 1 ;	(1.3.49)
Рг--						(1.3.49)
Рг--	+	~ P i { 0		\ если	/ = 2,3,4.
Р г т	+	~ P i { 0		\ если	/ = 2,3,4.

Дл я среднего приращения показателя качества в этом случае имеем

M [ A Q ] = - (4/>1( 0 ) + Р з ( 0 ) ) у 2 .

(1.3.50)

§ 1.4. Н Е Л И Н Е Й Н Ы Й А Л Г О Р И Т М С Л У Ч А Й Н О Г О П О И С К А

Для нелинейного алгоритма характерно то, что после удачного шага (AQ'^O) выбирается новое случайное направление шага, а после неудачного шага (AQ'>0) делается возврат в предыдущее состояние. В этом па раграфе исследуем нелинейный алгоритм случайного поиска, определенный формулой (1.2.3) в § 1.1.

Для этого алгоритма матрицы переходных вероятнос тей имеют вид [43]:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 346 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20236.93 Mб3Раскин, Н. М. Федор Петрович Моисеенко - минералог XVIII века. 1754-1781.pdf
#
29.10.20231.76 Mб7Рассохин В.В. Неполные изображения в ортогональных проекциях пособие для учителей.pdf
#
19.10.20234.76 Mб7Рассохин, В. П. Изобретательское право для изобретателей.pdf
#
19.10.20233.96 Mб5Рассудов, В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек.pdf
#
25.10.202312.42 Mб10Растворы флотационных реагентов. Физико-химические свойства и методы исследования [монография].pdf
#
23.10.20238.71 Mб7Растригин Л.А. Автоматная теория случайного поиска.pdf
#
21.10.20238.97 Mб1Расчет железобетонных конструкций при сложных деформациях..pdf
#
19.10.20236.42 Mб37Расчет конструкций убежищ..pdf
#
21.10.20239.08 Mб10Расчеты и анализ режимов работы сетей учеб. пособие.pdf
#
29.10.20232.07 Mб8Рауд Э.П. Опыт изготовления сложных прессформ.pdf
#
23.10.202325.18 Mб8Раушенбах, Б. В. Управление ориентацией космических аппаратов.pdf