книги из ГПНТБ / Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях
.pdfОбработка большого количества статистических вы борок показывает, что потоки требований на сортировоч ных, "участковых грузовых и пассажирских станциях, таких как прибытие грузовых поездов, накопление со ставов, поступление грузов и пассажиров к отправле нию и т. д., имеют чаще всего коэффициент вариации интервалов, близкий к единице. Потоки обслуживания более управляемы и имеют значительно меньшее рас сеивание с коэффициентом вариации, близким к 0,2— 0,3. Все сказанное выше относится к наиболее распро страненным одиомодальным распределениям.
3. АНАЛИЗ ИНТЕРВАЛОВ ВРЕМЕНИ В ПОТОКАХ
Конкретное изучение работы станции или ее от дельных элементов начинается с анализа потока требо
ваний (поездов, составов) |
и характеристики их обслу |
||
живания (обработки). В |
результате |
анализа |
определя |
ется закон распределения, |
например |
прибытия |
поездов, |
и закон распределения времени их обработки, а также числовые характеристики этих распределений, такие, как математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации и т. д. Число раз рядов, на которое целесообразно разделить вариа ционный размах изменения интервалов, при котором не будут слишком громоздкими расчеты и не будут утра чены характерные особенности данного распределения, можно определить по формуле
а |
= I + 3,2 ig |
п, |
|
где п —• количество |
исследуемых |
интервалов |
(число |
испытаний). Интервал группирования в каждом |
разря |
де при этом определится делением всего диапазона из менения интервалов на число разрядов, т. е.
i= / m " ~ / m l " , |
(14) |
l + 3 , 2 1 g n |
V ' |
где /щах, /mm — величины соответственно |
наибольшего |
и наименьшего интервалов в вариационном ряду (гра ницы размаха вариации интервалов). Например, на ос нове анализа интервалов между поездами, поступаю щими на сортировочную станцию, установлено, что из-
30
меняются они в диапазоне |
от 0 до 72 мин. Общее чис |
||||||
ло поездов |
(число испытаний), |
подвергшихся |
анализу, |
||||
составило |
522. Для этих условий оптимальная |
величи |
|||||
на интервала в разряде составит |
|
|
|
|
|||
|
|
72 — 0 |
|
- о |
|
|
|
|
|
i = |
= 7,3 мин. |
|
|
||
|
|
l+3,2!g52 2 |
|
|
|
|
|
Принимаем близкую к |
ней величину 6 мин, |
более |
|||||
удобную для вычислений, так как середины |
разрядов |
||||||
будут |
целыми величинами |
и кратными |
0,1 ч. |
При этом |
|||
число |
разрядов составит |
72:6=12 . |
Для |
примера в |
|||
табл. 2 показана последовательность |
расчетов |
по оп |
|||||
ределению |
основных числовых |
характеристик |
рассмат |
риваемого потока прибытия грузовых поездов на стан цию. В первой графе указаны границы разрядов, в которые включаются интервалы прибытия поездов, кото
рые больше нижней границы и меньше или равны верх |
|||||||
ней границе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
Обработка данных статистической выборки интервалов |
|||||||
|
прибытия грузовых поездов на станцию |
|
|||||
'р |
1 |
"i |
"Ч |
l-i |
(/- 7)2 |
(l-jy-ni |
* 1/ = ^п- |
0 - 6 |
3 |
129 |
387 |
- 12 |
144 |
18 600 |
0,247 |
6-12 |
9 |
143 |
1287 |
—6 |
36 |
5 158 |
0,274 |
12—18 |
15 |
97 |
1455 |
0 |
0 |
0 |
0,177 |
18—24 |
21 |
60 |
1260 |
6 |
36 |
2160 |
0,115 |
•24—30 |
27 |
35 |
. 945 |
12 |
144 |
6 040 |
0,067 |
30—36 |
33 |
21 |
693 |
18 |
324 |
6 804 |
0,040 |
.36-42 |
39 |
13 |
507 |
24 |
576 |
7 500 |
0,025 |
42—48 |
45 |
8 |
360 |
30 |
900 |
7 200 |
0,015 |
48—54 |
51 |
5 |
255 |
36 |
1296 |
6 480 |
0,009 |
54—60 |
57 |
5 |
285 |
42 |
1764 |
8 820 |
0,009 |
60—66 |
63 |
4 |
252 |
48 |
2304 |
9 216 |
0,008 |
66—72 |
69 |
2 |
138 |
.54 |
2916 |
4 832 |
0,004 |
— |
— |
п=522 |
7824 |
— • |
— |
82 810 |
0,990 |
Вторая графа |
предназначена |
для значений середи |
||
ны |
интервалов разрядов, представляющих |
данный раз |
||
ряд. |
В третьей |
графе указана |
частота |
повторения |
31
интервалов данного разряда. Сумма частот по всем раз рядам равна общему числу поездов (точнее интерва лов между поездами), учтенных в период анализа, т. е. 522. Четвертая графа показывает время, занятое интер
валами данного разряда. |
Сумма |
по этой графе |
равна |
||||
времени, в |
течение |
которого |
проводились наблюде |
||||
ния, — 7824 |
мин. Если |
разделить |
итог графы 4 на итог |
||||
графы 3, то получим среднюю величину интервала |
меж |
||||||
ду поездами, поступающими на станцию, |
|
||||||
|
7 |
S 7 " / |
|
7824 |
г |
|
|
|
/ = |
п |
= |
522 ж |
15 |
мин. |
|
Следовательно, средняя интенсивность прибытия по ездов составляет Х—\ поезда в час. В графах 5, 6, 7 показаны соответственно величины отклонений интер валов от среднего значения, квадраты отклонений и удельный вес квадратов отклонений с учетом частоты каждого разряда. Если разделить итог графы 7 на итог графы 3, то получим квадрат отклонений интервалов от среднего значения—дисперсию интервалов (централь ный момент второго порядка)
гч |
2 |
HiV |
—T ? n i |
82810 |
= |
1 |
C Q |
2 |
|
||
D = а2 = — |
|
|
= -goo- |
|
158 |
мин . |
|
||||
Необходимо |
иметь в |
виду, |
что |
при |
небольшом |
количе |
|||||
стве испытаний |
для |
получения |
несмещенной |
оценки |
|||||||
дисперсии |
интервалов |
числитель |
выше |
приведенной |
|||||||
формулы нужно делить не на п, |
а на n — 1 . |
|
|||||||||
Квадратный |
корень |
из |
дисперсии |
|
представляет со |
бой среднее квадратическое отклонение интервалов от среднего значения, которое в данном случае будет
|
о = |
)Л"58~^ 12,6 |
мин. |
|
Это |
значит, что интервалы прибытия поездов в сред |
|||
нем |
отклоняются |
от |
средней |
величины (15 мин) на |
12,6 |
мин. Коэффициент вариации V в этом случае |
|||
|
у |
= |
4 - « ^ > = |
0,85. |
/15
Это значит, что интервалы отклоняются от среднего значения в среднем на 85%. В последней графе 8 приведены значения частостей (относительных частот), которые являются статистическим аналогом вероятно-
32
сти попадания случайной величины (интервала прибы
тия) в данный разряд. Эти частости затем используют |
|||
ся для построения гистограммы, |
которая |
является ста |
|
тистическим аналогом графика |
плотности |
теоретическо |
|
го |
распределения. |
|
|
|
В приведенном примере коэффициент вариации ра |
||
вен |
0,85. Это позволяет сделать |
предположение о том, |
что распределение интервалов между прибытиями по ездов можно аппроксимировать обобщенным распреде
лением |
Эрланга. Для определения |
функции плотности |
|||
распределения |
интервалов |
по обобщенному |
закону Эр |
||
ланга |
определим сначала |
по формуле (6а) |
интенсивно |
||
сти исходных составляющих потоков: |
|
|
|||
|
4 _ 4 у 1 - 2 ( 1 - 0 , 8 5 » ) |
, ~ |
. о . |
||
|
Л 1 - |
1 - 0 , 8 5 2 |
|
|
|
|
3, _ 4 + 4У 1 - 2 ( 1 - 0 , 8 5 » ) |
_ 0 . |
|
||
|
Л 2 ~ |
1 - 0 , 8 5 » |
= 2 4 " |
|
Затем находим плотность распределения интервалов согласно формуле (6) из зависимости
/(*) = 6(е-4& — е~ш).
Правомерность аппроксимации прибытия поездов обоб
щенным законом Эрланга по приведенной |
зависимо |
сти можно проверить по критерию согласия х 2 |
(К. Пир |
сона) или по критерию А. Н. Колмогорова. |
Наиболее |
универсальным, пригодным как для дискретных, так и непрерывных распределений, является критерий согла сия х2 - Значение %2 определяется через сумму отноше ний квадратов отклонений частот теоретических пРт от
статистических /г; распределений к частотам |
теоретиче |
|||
ского распределения |
|
|
|
|
|
|
i • |
пр )2 |
|
|
• * |
(л |
|
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
£ = 1 |
|
|
где / — |
число разрядов, на которые разбиты |
интерва |
||
|
лы (в приведенном примере/=12). |
|
||
Порядок |
проведения |
расчетов |
по данному |
критерию' |
приведен |
в табл. 3, где время выражено в часах. В пер |
вую графу занесены средние величины интервалов в.раз* рядах, выраженные в часах. Во второй графе пок'азань!
2—2719 |
:за |
частоты |
появления |
интервалов |
указанных |
разря |
д о в В |
третьей графе |
показана вероятность попадания |
||
интервалов в данный |
разряд, полученный как |
произве |
дение величины разряда 0,1 ч на плотность теоретиче ского распределения интервалов, определяемую по формуле (6). Теоретическая частота отражена в графе 4 в виде произведения числа испытаний на вероятность попадания в соответствующий разряд. В графе 5 пока зано отклонение теоретической частоты от статистиче ской в виде разности данных граф 2 и 4.
Т а б л и ц а 3 Расчеты для определения критерия согласия у}
I |
|
РТ=0,Щ1) |
пт=пРт |
Л ; — л Р т |
( И , - Л Р Т ) 2 |
< л г - п Р т ) а |
|
"1 |
л Я т |
||||||
|
|
|
|
|
|||
0,05 |
129 |
0,291 |
151 |
22 |
484 |
3,2 |
|
0,15 |
143 |
0,275 |
137 |
6 |
36 |
0,26 |
|
0,25 |
97 |
0,179 |
94 |
3 |
9 |
0,096 |
|
0,35 |
60 |
0,115 |
58 |
2 |
4 |
0,07 |
|
0,45 |
35 |
0,069 |
36 |
1 |
1 |
0,03 |
|
0,55 |
21 |
0,043 |
22 |
1 |
1 |
0,046 |
|
0,65 |
13 |
0,026 |
13 |
0 |
0 |
0 |
|
0,75 |
8 |
0,016 |
8 |
0 |
0 |
0 |
|
0,85 |
5 |
0,010 |
5 |
0 |
0 |
0 |
|
0,95 |
5 |
0,006 |
3 |
2 |
4 |
1,33 |
|
1,05 |
4 |
0,004 |
2 |
2 |
4 |
2 |
|
1,15 |
2 |
0,002 |
1 |
1 |
1 |
т |
|
— |
522 |
— |
— |
— |
— |
8,03 |
В графе 6 помещены квадраты отклонений, а в |
гра |
|||||||
фе 7 взвешенные |
квадраты |
отклонений |
теоретических |
|||||
•частот от статистических. Итог |
графы 7 и дает |
значе |
||||||
ние х2' определяемое формулой |
(15). |
Число степеней |
||||||
свободы находится как разность между |
числом |
разря |
||||||
дов и числом наложенных связей. В нашем случае |
оно |
|||||||
•будет z=l—3 |
= 12—-3=9. По специальной таблице |
[2] |
||||||
находим: при z=9 |
и %2—8,03 |
значение |
Я = 0,54, |
что |
||||
свидетельствует о том, что распределение |
по обобщен |
|||||||
ному закону Эрланга не противоречит |
опытным |
|
дан |
|||||
ным. При Р < 0 , 0 5 |
гипотеза |
о |
предполагаемом |
законе |
||||
распределения |
отвергается. |
Следовательно, |
распределе- |
34
ние интервалов, показанное в табл. 2, можно аппрокси мировать по обобщенному закону Эрланга с параметра ми 7,1 = 4,8 и 7,2=24. На рис. 11 показана гистограмма статистического распределения интервалов ( ) ) . По оси абсцисс откладываются интервалы разрядов, кото рые в примере равны 0,1 ч (6 мин). По оси ординат от кладываются значения частостей соответствующих ин тервалов в разрядах из 8-й графы табл. 2, деленных на ширину разряда 0,1. Через ординаты середины каждого разряда проведена кривая теоретического распределе
ния вероятностей (2) по |
формуле |
(6). |
Из |
рис. |
11 |
видно, что теоретическая |
кривая |
плотности |
распре |
||
деления интервалов по обобщенному закону |
Эрланга |
с |
|||
коэффициентом вариации |
0,85 является |
как |
бы конту |
ром гистограммы статистического распределения, сви детельствуя о близости этих распределений. Площадьпод кривой и гистограммы равна единице.
Аналогично осуществляется анализ интервалов об служивания: времени расформирования, формирования, обработки поездов и т. д. Однако при этом следует учитывать следующие особенности анализа времени обслуживания. Если поток требований неравномерный,
Pi
J
25i
2
I
Рис. 11. Гистограм ма статистическо го распределения пг интервалов и тео- / ретическая кривая плотности вероят
ностей
0,2 |
Ofi |
0,5 |
0,8 |
1,0 t,4. |
2* 35-
то устройства обслуживания так ж е загружены нерав номерно. Поэтому для определения мощности обслужи
вающих устройств необходимо учитывать |
работу |
толь |
|||
ко в периоды интенсивных загрузок. |
Так, |
при анализе |
|||
распределения |
времени |
расформирования |
(горочного |
||
интервала) для |
учета принимаются |
только 2—3-часо |
|||
вые периоды интенсивной |
работы, |
для которых |
нахо |
дится среднее значение горочного интервала и его ко эффициент вариации. В этом случае только и можно определить действительную мощность горки и характе ристики ее работы. Если же мы суточный период раз делим на количество расформированных поездов, то тем самым поставим мощность горки в зависимость от фактически поступивших поездов, которая по суткам меняется, а значит и не установим фактического рас четного горочного интервала.
В результате анализа потоков определяется закон распределения интервалов и числовые характеристики: •среднее значение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. По коэффициен ту вариации интервалов в потоке можно определить ги потезу о законе распределения и затем проверить по критерию согласия соответствие выбранного теорети ческого распределения статистическому.
С увеличением рассеивания интервалов увеличивает ся и коэффициент вариации, отражающий степень не равномерности потока событий. В связи с этим коэф фициент вариации не только наиболее удобно н очевид но оценивает степень неравномерности, но и довольно определенно указывает и наиболее подходящее теорети ческое распределение потока.
4.ФОРМИРОВАНИЕ ИНТЕРВАЛОВ
СЗАДАННЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Обязательным элементом каждого моделирования является формирование потоков различных событий; в системах массового обслуживания это прежде всего потоков требований и потоков обслуживания. Примени тельно к станциям — это образование потоков прибы
тия |
поездов, окончаний накопления вагонов на соста |
вы, |
на подачи под выгрузку и других требований, а |
36
также потоков расформирования, обработки, подачи и уборки вагонов и т. д. Если интервалы между события ми одинаковые, то, зная момент появления первого со бытия, молено получить и остальные путем последова тельного прибавления равных интервалов. Но при не равномерном потоке событий интервалы между ними
будут разные |
с определенным |
законом распределения. |
|
Для формирования интервалов |
с заданным |
законом |
|
распределения |
используется преобразование |
случайных |
чисел, имеющих равномерное распределение в интерва ле от 0 до 1. При этом используется то положение, что значение интегральной функции распределения любой непрерывной случайной величины равномерно распре делено в интервале от 0 до 1. Так, например, функция
распределения интервалов по показательному |
закону |
(3) имеет равномерное распределение в границах |
(0,1). |
Это однопараметрическое распределение является наи
более простым и используется для |
образования |
пото |
|||
ков, имеющих другие |
распределения. |
Интегральную |
|||
функцию распределения |
(3) |
можно |
переписать в |
виде |
|
у = |
1 - |
е-1'. |
|
|
|
Если решить это уравнение относительно t, то получим формулу для аналитического вычисления величин ин тервалов, распределенных по показательному закону
* = — - Ц - 1 п К = — l l n K . |
(16) |
Здесь первый множитель представляет собой среднюю величину интервала между событиями, а второй — на туральный логарцфм случайного числа Y, распределен ного равномерно ;в интервале 0,1. За счет второго мно жителя и образуется отклонения интервалов от средне го значения по показательному закону. Выбирая слу чайные числа Y, будем получать по формуле (16) интер валы, последовательное нанесение которых на ось вре мени будет моделировать поток с показательным распре делением. Такой способ удобен при использовании ЭЦВМ, на которой автоматически генерируются случай ные числа Y и вычисляются по формуле (16) интервалы для любой интенсивности потока.
При ручном моделировании удобнее применять гра фический способ. При этом строят график интеграль-
37
ной функции распределения для заданного закона распределения. Возьмем для примера прибытие поез дов с показательным законом распределения интерва лов и средней интенсивностью К—4 поезда в час. Ин тегральная функция распределения в этом случае имеет вид
|
F ( t ) = l - е - 4 ' . |
|
|
|
|
|
|
На |
рис. 12 показаны |
результаты расчетов |
по этой |
фор |
|||
муле. На оси абсцисс |
откладывается |
время t |
в ч, |
а по |
|||
оси |
ординат — соответствующее |
значение |
функции |
||||
распределения. Из таблицы случайных |
чисел |
выбираем |
|||||
одно число, которое отмечаем на оси |
ординат; напри |
||||||
мер, случайное число |
Yi=0,453 из |
числа |
равномерно |
распределенных в интервале 0,1 находим, двигаясь по направлению стрелки, на оси абсцисс соответствующий интервал 0,15 ч (9 мин). Затем по специальной табли
це выбираем второе число |
У = 0 , 9 0 9 |
и на оси |
времени |
||
находим |
второй |
интервал |
0,6 ч (36 мин) и т. д. Таким |
||
образом |
будем |
получать |
интервалы |
прибытия |
поездов |
с заданным, в данном случае показательным, законом распределения. Таким же способом можно моделиро вать интервалы с любым законом распределения. Сре ди потоков обслуживания часто встречается нормаль
ный закон распределения интервалов, если |
коэффици |
ент вариации их не больше 0,33. Так, если |
требуется |
№
0,903
0,8
0,6
)
Ofi |
/\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ ! |
|
Рис. 12. |
Схема |
0,2 |
|
формирования ин |
||
|
|
|
тервалов, |
распре |
|
|
|
деленных по пока |
|
|
|
|
зательному |
закону |
|
0,150,2 OA • 0,5 |
0,8 |
1,0 t,4 |
|
38
моделировать интервалы времени расформирования
составов |
при |
среднем |
горочном |
интервале |
tr=\2 |
мин, |
||
среднем |
квадратическом |
отклонении о—З мин, при |
ко |
|||||
торых |
коэффициент |
вариации |
составит |
V—0,25, |
то |
|||
можно применить нормальный |
закон |
распределения. |
||||||
Интегральная |
функция |
распределения |
для |
него имеет |
||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
f |
-St* |
|
|
|
—со
Вспециальных таблицах [2] приведены значения
нормированной нормальной функции распределения при ( = 0 и о = 1 для следующего вида:
— ОС
Для построения функции распределения на интер вале 0,оо, где по оси абсцисс откладывается время, ко торое в таблицах выражено в долях а и обозначено че рез х, используется зависимость
t = t + ах,
откуда табличное значение определится
Так, для / = 0 х=—4, для / = 1 2 х=0 и т. д.
На рис. 13 приведена построенная при помощи таб лицы интегральная функция распределения для рассмат риваемого примера, при помощи которой формируются интервалы. Выбирая из специальной таблицы случайные, равномерно распределенные в интервале (0,1) числа на оси ординат и, двигаясь, как указано стрелкой, получим на оси абсцисс значения горочных интервалов, распреде
ленных по нормальному |
закону с заданными числовыми |
||||
характеристиками. |
Так, |
при |
7i = 0,1587 |
|
получим гороч |
ный интервал / г = 9 |
мин, |
при |
У 2 = 0 , 8 4 1 |
3 |
получим t r = |
—15 мин и т. д.
Однако для некоторых распределений целесообразно
применять другой способ формирования интервалов в по токе, вытекающий из особенностей законов распределе-
39