книги из ГПНТБ / Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях

Для потоков, имеющих коэффициент вариации ин­ тервалов в границах от 0,58 до 0,71, можно применить сочетание эрланговских .распределений порядка /<=3 и К=2. Плотность распределения будет представлять сум­ му в определенной пропорции плотностей распределения смешиваемых потоков соответственно порядка К—2 и Я = 3 :

В этом случае с вероятностью Сбудут интервалы эрлан-

того или другого порядка в зависимости от коэффициен­ та вариации, находится из следующих соображений.

Среднее значение (математическое ожидание) интер­ валов результативного потока равно взвешенной сумме

Аналогично второй начальный момент при гипотезе распре­

20

Разделив дисперсию на математическое ожидание, по­ лучаем квадрат коэффициента вариации интервалов в- итоговом .распределении

у2 _ С + 2

~6

Отсюда получается зависимость С от коэффициента вариации

21

вая занимает среднее положение между кривыми плотно­ сти распределения К=2 и К=3. Моделирование интер­ валов с коэффициентом вариации 0,58^1/^0,71 на Э Ц В М или вручную осуществляется в такой последова­ тельности. Сначала по формуле (6в) для заданного У на­ ходится С, определяющее пропорции, в которых необхо­ димо брать интервалы порядка К=2 или К=3. Затем выбирается случайное число из равномерно распределен­ ных в интервале 0,1. Если это число меньше пли равно полученному значению С, то моделируется интервал эр-

Указанным способом .можно образовывать потоки событий с распределением интервалов промежуточным между эрланговским К—3 и /С=4 и т. д. Общее выра­ жение для дисперсии интервалов таких смешанных по­ токов

(6г)

Зависимость С от коэффициента вариации интервалов опре­ делится

любой степенью рассеивания, имеющие коэффициент ва­

•22

•себя эрланговское и 'показательное, с большим диапазо­ ном изменения коэффициента вариации, в том числе и больше единицы. Плотность распределения интерваловпри этом определяется по зависимости

пределения. Среднее значение интервала в гамма-рас­ пределении равно -у , а коэффициент вариации ~ - .

При /С<1 коэффициент вариации будет больше еди­ ницы. Однако несмотря на такую возможность выра­ жать потоки с большим диапазоном характеристик, гам­ ма-распределение не совсем удобно для практического' применения при дробных значениях параметра К- В связи с этим для аппроксимации потоков с коэффициен­ том вариации от 0 до 1 чаще применяются эрланговские распределения и показательное, а для потоков с коэффи­ циентом вариации больше единицы можно применитьгиперэкспоненциальное распределение, в котором такжеиспользуется показательное распределение.

Г и п е р э к с п о н е н ц и а л ь н о е ра с п р е д ел е н и е пре­ дусматривает интервалы между событиями, распределен­

Плотность вероятности определяется [7] как суперпозиция показательных распределений

23

Практически обычно применяется частный случай гиперэкспоненциального распределения, в котором име­ ются только два параметра, и плотность вероятности

где 0 < С = ^ 0 , 5 .

Здесь С соответствует cti, а (1—С) соответствует а*- Величина 2СА соответствует Ki, а 2(1—С)Х соответст­ вует %2.

Среднее значение интервалов равно |-, а среднее квадратическое отклонение находится из зависимости

Коэффициент вариации интервалов в потоке

ятностью (1—С) будет интервал из потока с параметром 2(1 — С) А. Здесь интенсивности исходных показательно распределенных потоков различны и интервалы в гипер­ экспоненциальном распределении состоят каждый раз из одного интервала того или другого исходного потока. На рис. 8 показаны кривые плотности распределения ин­

Если величина С приближается к 0, то увеличивает­ ся рассеивание интервалов, так как увеличивается раз­

24

большими с математическим ожиданием 1/1,2 = 0,833,. а интервалы второго сравнительно малыми с математи­ ческим ожиданием 1/4,8—0,208. Средний интервал ре­ зультативного потока

7= 0,2 • 0,833+ (1—0,2) 0,208 = 0,33.

Если С = 0,5, то интенсивности исходных потоков будутодинаковыми >.i = A2=2-0,5-3 = 3 и с одинаковой веро­ ятностью 0,5 будут чередоваться интервалы обоих по­ токов с показательным распределением и коэффициен­ том вариации, равным единице. Подсчеты по формуле-

нице. Для аппроксимации потока, например с коэффи­

формулу для определения плотности распределения ин­

при помощи которой можно построить и кривую рас ­ пределения.

т.

5,0

Л/= 1,5 ^•1,1

25-

Н о р м а л ь н о е р а с п р е д е л е н и е широко при­ меняется в самых различных областях. Плотность рас­ пределения имеет вид

где t — математическое ожидание;

а — среднее квадратическое отклонение.

Область значений нормально распределяемой слу­ чайной величины есть вся числовая прямая. Но так как -интервалы в потоках прибытия поездов не могут быть •отрицательными, то аппроксимировать их нормальным распределением можно в случае, когда коэффициент вариации не превышает 0,33. В этом случае согласно правилу трех сигм в положительной области будут на­ ходиться практически все интервалы. Вероятность тото, что интервал попадет в область отрицательных зна­ чений, определится из зависимости

— со

тде Ф* — табулированная функция нормального рас­ пределения.

ния до начала координат, представленное в средних квадратических отклонениях. Так, если коэффициент вариации интервалов составляет V = 0,4, то верхний предел интегри­ рования будет равен величине —2,5, т. е. расстояние от начала координат до центра рассеивания составляет 2,5а. •Согласно таблице нормальной функции распределения ве­ роятность отрицательных значений интервалов будет

Я ( К 0 ) = Ф * ( - 2,5) = 0,0062, или 0,62%.

При У = 0 , 3 3 расстояние от начала координат до цент­ ра рассеивания уже будет равно За и вероятность по­

.26

значительно упрощаются вычисления, появляется возмож­ ность использовать специальные таблицы дифференциальных и интегральных функций нормального распределения. Заме­ на эрланговских распределений (и гамма-распределений) нормальным осуществляется из следующих условий. Из­ вестно, что среднее значение интервала при распределениях

Эрланга порядка К имеет вид t = •—, а среднее квадратическое отклонение о = ^ ^ _ . Если подставить эти пара­ метры в формулу плотности нормального распределения

Ординаты линии эрланговского распределения опреде­

27

В последнем случае ордината получается из зависимости

/ ( 0 = 4 - / ' ^ ' "

Здесь по полученной в скобках величине находится значение функции по таблице. Для нашего случая среднее квадратическое отклонение при заданном коэф­ фициенте вариации 0,33 составит а = 0,33 -0,25 = 0,083. Для значения, например £ = 0 , 3 , по таблице находим

циссы точки перегиба кривой, т. е. t = t + с, то получим

<2,43 п

ординату точки перегиба, равную-^—. Вероятность попада­

равна 0,997. При а = 0 распределение сосредоточено в од­ ной точке t = t и Есе интервалы с вероятностью, равной единице, имеют одинаковую величину. Это будет вырож­ денное или несобственное нормальное распределение, соот­ ветствующее регулярному потоку.

Таким образом, по величине коэффициента вариа­ ции можно подобрать гипотезу о законе распределения интервалов, которую затем необходимо проверить по

28

правосторонняя асимметрия (хвост справа) кривой рас­ пределения плотности вероятностей в связи -с тем, что увеличение разброса слева ограничено нулем как грани­ цей положительных значений, которые могут принимать интервалы, в то время как вправо разброс не ограничен. Это наглядно видно из рис. 10, на котором приведены кривые плотности распределения интервалов с коэффи­ циентом вариации от 1,5 до 0,2 для среднего значения интервалов 0,25. Особо характерно поведение плотности распределения относительно центра рассеивания / = 0,25. При большом значении коэффициента вариации левая часть распределения прижимается к нулевой оси орди­

этом перемещается слева направо и стремится к сред­

29