книги из ГПНТБ / Егоров С.В. Основы автоматики и телемеханики. Конспект лекций учеб. пособие
.pdfт о ч н о й ф у н к ц и и |
исследуемой системы. Ка к |
было |
у к а з а н о |
в |
|||||||||||||||
гл. 4, в результате структурных |
п р е о б р а з о в а н и й |
л и н е й н у ю |
|||||||||||||||||
систему |
|
м о ж н о |
привести |
к |
т и п о в о м у |
виду |
(см. рис. |
4-16). |
|||||||||||
Замечаем, |
что |
передаточная |
ф у н к ц и я р а з о м к н у т о й |
системы |
|||||||||||||||
(разрыв |
|
о б р а т н о й |
связи) |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wp(p)=-^EL, |
|
|
|
|
|
|
|
(5-6) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
w |
D(p) |
|
|
|
|
|
|
х |
' |
|
а для з а м к н у т о й — |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
WP(p) |
|
|
К(Р) |
' |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Wa(P) |
= - 1 + Wp (р) |
К |
(р) + |
D (р) |
|
|
|
|
|
||||||
|
П о э т о м у х а р а к т е р и с т и ч е с к о е |
у р а в н е н и е |
имеет |
вид: |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(p)=Q |
|
|
|
|
|
|
|
(5-7) |
||
— для р а з о м к н у т о й |
системы, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
K(p)+D(.p)=0 |
|
|
|
|
|
|
|
(5-8) |
|||
— для з а м к н у т о й |
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
§ |
5-3. К р и т е р и й устойчивости |
Р а у с а — Г у р в и ц а |
|
|
||||||||||||||
|
Э т о т |
|
к р и т е р и й |
является алгебраическим . В ф о р м е , |
пред |
||||||||||||||
л о ж е н н о й |
Гурвицем |
(1895), |
из |
к о э ф ф и ц и е н т о в |
х а р а к т е р и |
||||||||||||||
стического |
у р а в н е н и я |
(5-4) |
составляется |
квадратная |
мат |
||||||||||||||
р и ц а (таблица) |
Гурвица, |
и м е ю щ а я |
N |
столбцов |
и |
|
строк, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
CZJV-1 |
<2лг |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aN-з ам-2 |
a^-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ujf-s |
|
а^-г |
••• |
|
|
|
|
|
|
|||
п р а в и л о |
|
п о с т р о е н и я |
к о т о р о й |
очевидно . |
О т с у т с т в у ю щ и е |
||||||||||||||
к о э ф ф и ц и е н т ы |
з а м е н я ю т с я нулями . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для |
устойчивости |
|
системы |
необходимо |
и. |
достаточно, |
|||||||||||||
чтобы |
все |
главные |
|
диагональные |
|
|
миноры |
Л„ |
|
матрицы |
|||||||||
(определители |
Гурвица) |
|
были |
|
положительны: |
|
|
|
|
||||||||||
A i = a j v - i > 0 , |
|
Дг = |
ajv-i ajv |
|
> 0 , |
Д * > 0 . |
|
(5-9) |
|||||||||||
|
ON-3 UN-2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В ы ч и с л е н и е о п р е д е л и т е л е й |
Г у р в и ц а |
|
довольно |
т р у д о е м к о |
|||||||||||||||
п р и |
N^5. |
|
В |
этом |
случае |
у д о б н е е |
ф о р м а Рауса |
(1875), |
|||||||||||
для |
чего |
составляется |
таблица |
Рауса, |
и м е ю щ а я N+1 |
строку, |
|||||||||||||
92 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn=a.N |
|
|
J |
|
c 2 i=aiv - 2 |
|
|
c 3 i = a w - 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
Cl2 = |
dN-\ |
|
|
C22 = |
QiV-3 |
|
|
C32 — 0-N-5 |
|
|
||||||||
Аз = |
Сц -Cl2 |
1 |
Cl3 = C2 l— I3C22 |
C23=pC31 —X3C32 C3 3 = |
C41 —Я,зС42 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С24 = |
С32 — Л4С33 |
C34 = |
C42 — Я4С43 | ... |
|||||||||
|
• • |
• |
|
|
|
|
. . . |
1 |
|
|
. . . |
|
|
] |
|
. . . |
|
|
1... |
|||
правил о |
построени я |
|
к о т о р о й |
очевидно |
из |
примера . |
К о э ф |
|||||||||||||||
ф и ц и е н т а м |
с |
|
отрицательными |
индексами |
соответствуют |
|||||||||||||||||
нули . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
устойчивости |
|
|
системы |
необходимо |
|
и |
|
достаточно, |
|||||||||||||
чтобы |
коэффициенты |
|
|
первого |
|
столбца |
|
таблицы |
|
Рауса |
||||||||||||
были |
|
положительны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
c i „ > 0 , |
п=1, |
|
|
izV. |
|
|
|
|
|
(5-Ю) |
||||||
Если |
система |
неустойчива, |
|
то |
число |
|
перемен |
|
знаков |
в |
||||||||||||
первом |
столбце |
|
равно |
|
числу |
|
правых |
корней |
|
|
характеристи |
|||||||||||
ческого |
|
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
К р и т е р и й |
|
Рауса — Г у р в и ц а |
у д о б е н |
|
для |
|
определени я |
|||||||||||||||
предельных значени й параметров С А Р , п р и |
которы х |
систе |
||||||||||||||||||||
ма находится на г р а н и ц е устойчивости . |
Э т и значения |
нахо |
||||||||||||||||||||
дятся л и б о |
из |
условий |
А „ = 0 , |
л и б о c i „ = 0 . |
Заметим , |
что в |
||||||||||||||||
(5-9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ajv=ao!Aiv-i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п о э т о м у |
при |
Ajy = 0 |
система |
находится |
л и б о |
|
н а |
г р а н и ц е |
||||||||||||||
апериодической |
|
устойчивости |
( а о = 0 ) , |
когда оди н |
из |
|
к о р |
|||||||||||||||
н е й |
характеристического у р а в н е н и я |
раве н |
н у л ю , |
л и б о |
на |
|||||||||||||||||
г р а н и ц е |
колебательно й |
устойчивост и |
(AN-I = 0), |
когда |
два |
|||||||||||||||||
с о п р я ж е н н ы х |
корня |
находятся |
н а м н и м о й |
оси. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
П р и м е р |
5-1 |
|[1]. Рассмотри м |
условия |
устойчивости |
стати |
|||||||||||||||||
ческой |
С А Р скорост и |
двигателя . |
П е р е д а т о ч н а я |
ф у н к ц и я |
||||||||||||||||||
р а з о м к н у т о й |
системы |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 + РП) (1 + Р Г 2 ) (1 + р Г з ) ' |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
к=1гэму |
'ku-krr— |
|
статический |
к о э ф ф и ц и е н т |
усиления . |
||||||||||||||||
Х а р а к т е р и с т и ч е с к о е |
у р а в н е н и е |
(5-8) з а м к н у т о й |
системы |
|||||||||||||||||||
в данно м случае |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
а 3 р 3 |
+ а2р2 |
+ а\р |
|
+ ю о = 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
аде |
а з = Т 1 |
Г 2 |
7 , |
з , |
a2=TxT2 |
+ TxTz |
|
+ T2Tz, |
|
|
ах = |
|
Тх |
+ |
Т2+Тг, |
|||||||
а о = 1 + & . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
О п р е д е л и т е л и |
Гурвица |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Д, = |
а 2 > 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д 2 = а , а 2 |
- а 0 а 3 |
= |
(Тх + Т2 |
+ Т3) |
(Тх |
|
Т2 + TiТ3 |
+ Т2Т3) |
|
- |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-{\+k)TxT2T3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Д з = о д Д 2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н а й д е м предельный |
к о э ф ф и ц и е н т |
k. И з |
условия |
Д г = 0 |
||||||||||||||||||||
получаем |
предельное |
|
з н а ч е н и е |
|
k, |
|
п р и котором система |
|||||||||||||||||
н а х о д и т с я ' н а |
г р а н и ц е |
к о л е б а т е л ь н о й |
|
устойчивости,' |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
npi |
|
|
|
|
|
|
|
Т1Т2Т, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= ( ! + ' . + |
т.) (1 |
+ |
т Г 1 |
+ |
т3 -! ) - |
1, |
• |
|
|
|
|
(5-11) |
|||||||||
где х2=Т2Тг\ |
|
|
Т з ^ Г з Г г " . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
И з |
условия |
Л з = 0 , |
т. е. |
а о = 0 |
находим |
другое |
предель |
|||||||||||||||||
н о е з н а ч е н и е |
knp2— |
— 1 |
( о т р и ц а т е л ь н о е |
£ |
соответствует |
|||||||||||||||||||
п о л о ж и т е л ь н о й |
|
о б р а т н о й |
связи), п р и которо м система |
|||||||||||||||||||||
находится |
на |
г р а н и ц е |
апериодической |
устойчивости . |
Ана |
|||||||||||||||||||
л и з и р у я п о л у ч е н н ы й |
результат, |
|
приходи м |
|
,к |
выводу, |
что |
|||||||||||||||||
С А Р |
устойчива |
п р и & n p2 < & < ^ n p i - |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
И з |
(5-11) |
следует, |
что |
предельный к о э ф ф и ц и е н т |
усиле |
|||||||||||||||||||
н и я системы определяется |
лишь |
с о о т н о ш е н и е м |
постоянньйс |
|||||||||||||||||||||
времени . З а м е т и м , |
что п р и |
Т\ = |
Т2 |
— Т3 |
получаем |
минималь |
||||||||||||||||||
н о е з н а ч е н и е |
&лрмин = |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Н а п р а к т и к е |
стремятся |
получить |
системы |
с |
весьма |
боль |
||||||||||||||||||
ш и м и предельными |
к о э ф ф и ц и е н т а м и |
усиления . |
Э т о |
объяс |
||||||||||||||||||||
няется |
ж е л а н и е м |
иметь |
у |
системы |
большо й |
к о э ф ф и ц и е н т |
||||||||||||||||||
усиления, что приводит, как увидим |
далее, |
к п о в ы ш е н и ю |
||||||||||||||||||||||
точности |
регулирования . |
П о с к о л ь к у |
увеличивать |
|
к о э ф ф и |
|||||||||||||||||||
ц и е н т |
м о ж н о |
только д о |
предельного, |
то |
и |
стремятся |
увели |
|||||||||||||||||
чить последний . Д л я |
такого |
увеличения, |
как |
следует |
из |
|||||||||||||||||||
(5-11), |
н у ж н о |
«раздвигать» |
п о с т о я н н ы е |
времени . |
Н а п р и м е р , |
|||||||||||||||||||
п р и |
Ti = |
T2=№0 |
|
Т3 |
получае м |
&цР 1>200. |
О д н а к о |
этот |
путь |
|||||||||||||||
практическ и |
нереален . |
Д е л о |
в |
том, |
что |
п р и |
конструирова |
|||||||||||||||||
н и и а п п а р а т у р ы |
|
стремятся |
уменьшить п о с т о я н н ы е |
|
времени, |
|||||||||||||||||||
и поэтом у и х дальнейшее |
у м е н ь ш е н и е |
почти |
н е в о з м о ж н о . |
|||||||||||||||||||||
Вполне |
в о з м о ж н о |
увеличить |
п о с т о я н н ы е |
времени |
(напри |
|||||||||||||||||||
мер, |
для |
увеличения |
п о с т о я н н о й |
в р е м е н и |
двигателя |
надо |
||||||||||||||||||
насадить |
на |
его |
ось |
массивный |
|
маховик, |
что |
приведет |
к |
|||||||||||||||
у в е л и ч е н и ю |
момента |
и н е р ц и и |
|
и, |
,как. |
следует |
из |
(3-9), |
||||||||||||||||
к у в е л и ч е н и ю п о с т о я н н о й |
в р е м е н и ) , |
однако |
это |
|
приведет |
|||||||||||||||||||
к с н и ж е н и ю |
быстродействия |
системы, |
что |
нежелательно . |
||||||||||||||||||||
Н а и б о л е е |
о б щ и й |
путь |
увеличени я |
|
предельного |
|
к о э ф ф и - |
9 4
ц и е н т а |
у с и л е н и я |
состоит |
в и з м е н е н и и структурной- |
схемы |
|||||||
С А Р ( к о р р е к ц и и ) |
|
путем |
введения |
д о п о л н и т е л ь н ы х |
звеньев |
||||||
и контуров . Э т о т |
путь |
будет рассмотрен |
далее в гл. 7. |
||||||||
|
§ |
5-4. К р и т е р и й |
Н а й к в и с т а . З а п а с |
устойчивости |
|||||||
Э т о т |
критерий, |
п о з в о л я ю щ и й |
судить |
об |
устойчивости |
||||||
С А Р |
п о |
частотным |
х а р а к т е р и с т и к а м разомкнутой |
системы |
|||||||
(амплитудно - фазовой |
и л и л о г а р и ф м и ч е с к и м ) , |
нашел |
н а и |
||||||||
большее |
распространение, поскольку позволяет использо |
||||||||||
вать |
не |
только аналитически п о с т р о е н н ы е |
частотные |
харак |
теристики, |
н о |
и н а й д е н н ы е |
|
экспериментально. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
К р и т е р и й |
|
был |
п р е д л о ж е н |
Н а й к в и с т о м |
в |
|
1932 |
г. |
для |
||||||||||||
анализа |
|
э л е к т р о н н ы х |
у с и л и т е л е й |
с |
о б р а т н о й |
|
|
связью. |
|||||||||||||
В 1938 |
г. был |
о б о б щ е н |
и |
п р и м е н е н А. |
В. М и х а й л о в ы м |
для |
|||||||||||||||
анализа С А Р . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
|
передаточная |
ф у н к ц и я р а з о м к н у т о й |
|
системы |
||||||||||||||||
Wp(jo) — |
^ ^ |
|
, причем |
из |
ф и з и ч е с к и х |
с о о б р а ж е н и й |
следует, |
||||||||||||||
|
|
|
D |
(р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
степень |
М |
п о л и н о м а К(р) |
не выше |
степени |
N |
|
п о л и н о м а |
|||||||||||||
D(p). О б р а з у е м |
ф у н к ц и ю |
Н а й к в и с т а |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
NU*) |
= |
l + |
Wl,V*)=K№ |
|
+ I>U*) |
|
|
|
|
• |
(5-12) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U (ум) |
|
|
|
|
|
|
|
||
и рассмотрим |
|
и з м е н е н и е |
ее |
аргумента |
при |
и з м е н е н и и |
со от |
||||||||||||||
О до |
оо |
, |
к о т о р о е |
о б о з н а ч и м |
Aargj\f(/a>). |
О б р а т и м |
внимание, |
||||||||||||||
что |
D(p) |
|
является |
х а р а к т е р и с т и ч е с к и м |
п о л и н о м о м |
разомк |
|||||||||||||||
нутой системы, а К(р) +D(p) |
— х а р а к т е р и с т и ч е с к и м |
поли |
|||||||||||||||||||
номом з а м к н у т о й системы, п р и этом степени |
о б о и х |
харак |
|||||||||||||||||||
теристических |
полиномов |
р а в н ы |
N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим |
т р и в о з м о ж н ы х |
случая, |
когда |
|
р а з о м к н у т а я |
||||||||||||||||
, система |
устойчива, |
неустойчива |
и нейтральна . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1-й |
случай |
|
— система |
в |
разомкнутом |
состоянии |
|
|
устой |
||||||||||||
чива. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Будет |
ли |
о н а |
устойчива |
п р и з а м ы к а н и и |
и |
при |
к а к и х |
||||||||||||||
условиях? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(ja) |
|
||||
Рассмотрим |
и з м е н е н и е |
аргумента |
|
ф у н к ц и й |
и |
||||||||||||||||
|
+ £ >(/©) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
П о л и н о м D(p) |
м о ж н о |
представить |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D (Р) |
= |
J] апрп |
= aN |
\~[ (р |
- |
р,), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
где р\, |
|
pN |
|
|
|
п=0 |
|
|
|
/«.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
— к о р н и |
|
характеристического |
|
у р а в н е н и я |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D(p)=0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
Т о г д а |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
tf |
|
|
D (/оо) = |
aif Y\ {1®—Рд |
и Д arg |
D (/со) = Щ ? Д arg |
(/со — |
p,). |
||
Рассмотрим |
геометрическое |
представление |
комплексного |
||||
числа |
(ja—pi) |
в |
виде |
вектора |
п р и ф и к с и р о в а н н о м |
значе |
|
н и и со |
(рис. 5-3). |
Н а ч а л о вектора (/со—pi) л е ж и т |
в точке |
|
Рис. |
5-3. |
К |
выводу |
критерия |
Най- |
|
|
|
|
|
квиста |
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
pi, а |
к о н е ц — н а |
м н и м о й |
оси |
в точке |
/со. П о э т о м у |
п р и |
|
с о = 0 |
к о н е ц вектора |
л е ж и т в |
начале |
координат, а |
п р и |
||
со -> ао — в бесконечно |
далекой |
точк е на |
м н и м о й оси. |
П р и |
и з м е н е н и и |
,со от 0 до |
со |
вектор |
(/со—pi) |
повернется в |
||||||||
п о л о ж и т е л ь н о м |
н а п р а в л е н и и |
на |
|
у г о л |
+<р*, |
а |
вектор |
||||||
(/со—pi+i) |
— на |
у г о л |
|
+ ф г + ь Очевидно , |
что |
срч-,+ ср,ч-1=я. |
|||||||
Т а к и м образом, |
один |
левый |
|
корень |
дает |
и з м е н е н и е |
аргу |
||||||
мента ф у н к ц и и |
ьО (/СО) |
на п/2, |
а пар а к о м п л е к с н о - с о п р я ж е н |
||||||||||
н ы х л е в ы х |
к о р н е й — н а |
|
я . Вследствие |
этого |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Д arg D (/со) = |
JV • я/2, |
|
|
|
|
|||||
поскольку |
|
р а з о м к н у т а я |
система |
устойчива |
|
(все |
к о р н и |
||||||
D (р) — л е в ы е ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
потребовать, |
|
чтобы и замкнутая система была |
||||||||||
устойчива (чтобы все к о р н и |
К(р) |
+£>(р) = |
0 |
были л е в ы м и ) , |
|||||||||
необходимо, рассуждая |
|
аналогично, |
|
|
|
|
|
Даг@[£>(/со) -r-iC(/co)]=</V-3t/2.
96
Н о в |
этом |
случае |
и з м е н е н и е |
аргумента |
ф у н к ц и и |
Н а й к в и с т а |
||||||||
AaxgN(fa) |
|
=AargfiD(/(o) +7C(/cu)]-Aarg£>(/co) = 0 . |
|
(5-13) |
||||||||||
П о с к о л ь к у |
ф у н к ц и я |
Н а й к в и с т а — это |
А Ф Х р а з о м к н у т о й |
|||||||||||
системы, с м е щ е н н а я вправо на единицу, |
то |
м о ж н о |
рассмат |
|||||||||||
ривать |
и з м е н е н и е |
аргумента |
не ф у н к ц и и |
Н а й к в и с т а |
||||||||||
относительно |
начала |
координат, |
а и з м е н е н и е |
|
аргумента |
|||||||||
( ф а з у ) А Ф Х |
относительно |
точки |
( — 1 , |
/0) . |
П о э т о м у |
усло |
||||||||
вие |
устойчивости |
|
(5-13) |
|
м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь |
так: |
||||||||
замкнутая |
|
система |
устойчива, |
если |
АФХ |
|
разомкнутой |
|||||||
системы |
не |
охватывает |
точку |
|
(—1, |
J0). |
|
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
5-2. О п р е д е л и м |
предельный |
к о э ф ф и ц и е н т |
С А Р , |
||||||||||
р а с с м о т р е н н о й в |
п р и м е р е |
5-1. А м п л и т у д н о - ф а з о в ы е |
харак |
|||||||||||
т е р и с т и к и |
д а н н о й |
системы |
п р и р а з н ы х |
значениях |
k |
пока |
||||||||
заны |
на |
рис . |
5-4. |
Согласно |
к р и т е р и ю |
Н а й к в и с т а |
п р и k\ |
а)
Рис. 5-4. К определению предельного коэффициента усиления САР
С А Р у с т о й ч и в а , ' а |
п р и k2 |
— неустойчива |
( и з м е н е н и е |
аргу |
||||||
мента W7po(/co) относительно точки |
( — 1, |
/0) |
р а в н о |
я ) . |
Если |
|||||
k—knp, то |
А Ф Х п р о х о д и т |
через точку |
( — 1, |
/0), т. |
е. |
|
||||
lmWp(]'a„) |
— Im |
/сол 7\) (1 + |
/шя Гв) (1 4- |
/ш я 7\) |
|
|
||||
|
|
|
(1 + |
|
|
|||||
|
|
|
R e W p ( / c o « ) = |
- l . |
|
|
|
|||
Решая |
эти |
.уравнения |
относительно |
&лр и (оп |
(частота, |
|||||
на к о т о р о й |
ф а з о в ы й |
сдвиг |
равен — л ) , |
получаем |
|
|
7-291 |
97 |
|
|
|
|
(fx |
+ |
f 2 + |
ta) (f i |
f a |
+ |
Tit3 |
|
+ |
fits) |
|
i |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
||
что совпадает |
с |
п о л у ч е н н ы м р а н е е |
в ы р а ж е н и е м |
(5-11). |
||||||||||||||||
2-й |
случай |
|
— система |
|
в разомкнутом |
|
состоянии |
неустой |
||||||||||||
чива. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
система |
н е у с т о й ч и в а |
в р а з о м к н у т о м |
состоянии |
||||||||||||||||
(это |
м о ж е т |
случиться |
|
п р и р а с с м о т р е н и и |
м н о г о к о н т у р н ы х |
|||||||||||||||
систем и л и |
о д н о к о н т у р н ы х |
с |
неустойчивыми |
|
звеньями), |
|||||||||||||||
то ее |
х а р а к т е р и с т и ч е с к о е у р а в н е н и е |
D(p)—0 |
имеет |
правые |
||||||||||||||||
корни . Если |
обозначить |
|
и х число |
га, |
то |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
lAarg £>(/©) == (N—m) |
|
|
л/2—mn/2, |
|
|
|
|
|||||||||
поскольку |
к а ж д ы й |
п р а в ы й корень |
дает |
о т р и ц а т е л ь н о е |
изме |
|||||||||||||||
н е н и е аргумента |
. ( % + % + ! = — я ) |
(см. рис . |
5-3). |
|
|
|
|
|||||||||||||
П о т р е б у е м , |
чтобы |
замкнутая |
|
система |
была |
устойчива, |
||||||||||||||
тогда |
необходимо, |
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lAargfD (;<•>) |
|
+K(j®)]=N-л/2. |
|
|
|
|
|||||||||
Н о в э т о м |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
AargA/(/co) =2m-n/2— |
|
|
|
2л. |
|
|
|
(5-14) |
||||||||
Т а к и м |
образом, |
замкнутая |
система |
устойчива, |
|
|
если |
АФХ |
||||||||||||
разомкнутой |
|
системы |
охватывает |
т/2 |
раз |
в |
|
положительном |
||||||||||||
направлении |
|
точку |
|
(—1, |
]'0). |
Э т а ф о р м у л и р о в к а |
о б о б щ а е т |
|||||||||||||
ф о р м у л и р о в к у |
первого |
случая |
для лг — |
0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
П р и м е р 5-3. |
Н а |
рис . 5-5 |
п о к а з а н а |
А Ф Х |
|
р а з о м к н у т о й |
||||||||||||||
системы, |
и м е ю щ е й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{pTi - |
1) (рП |
+ |
1) |
|
|
|
|
|
Рис. 5-5. АФХ разомкнутой неустойчи вой системы
98
П р и |
7Л<7Л> |
А Ф Х |
проходи т |
|
в |
четвертом |
квадранте |
(харак |
||||||||||||||||||||
т е р и с т и к а |
3), |
|
а |
при |
Т\~>Т2 |
— в третьем |
квадранте |
(харак |
||||||||||||||||||||
т е р и с т и к и |
1, |
|
2). П о с к о л ь к у |
в д а н н о м случае характеристи |
||||||||||||||||||||||||
ческое |
у р а в н е н и е |
р а з о м к н у т о й |
системы |
|
(рТ\ |
— 1) (рТг + 1) = 0 |
||||||||||||||||||||||
имеет |
|
один |
правый |
|
корень |
|
р\ — Т\~х, |
|
то |
для |
устойчивости |
|||||||||||||||||
з а м к н у т о й |
системы |
|
надо, |
|
чтобы |
|
А Ф Х |
|
охватывала |
точку |
||||||||||||||||||
( — 1, |
/0) |
« п о л о в и н у |
|
раза», |
т. |
е. |
и з м е н е н и е |
ее |
аргумента |
|||||||||||||||||||
относительно |
|
этой' |
|
точки |
|
д о л ж н о |
|
быть |
р а в н о |
+ л . |
Этому |
|||||||||||||||||
удовлетворяет |
только |
х а р а к т е р и с т и к а |
|
2 |
(для |
характери |
||||||||||||||||||||||
стики |
3 |
и з м е н е н и е |
аргумента |
равно |
— я ) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Т а к и м образом, |
|
устойчивость |
С А Р |
|
обеспечивается |
п р и |
||||||||||||||||||||||
двух условиях: k>knv |
|
|
= |
l |
и |
|
|
Т\>Тг. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3-й |
|
случай |
|
— система |
|
в |
|
разомкнутом |
|
|
состоянии |
|
ней |
|||||||||||||||
тральна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
этом |
случае |
передаточная |
ф у н к ц и я |
системы |
в |
разомк |
|||||||||||||||||||||
нутом |
состоянии |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp(p) |
|
|
= |
- |
^ |
- |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(5-15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pv-Di (р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
v — число |
|
и н т е г р и р у ю щ и х |
звеньев |
в |
системе. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
И з |
|
(5-15) |
|
следует, |
что |
|
А Ф Х |
п р и |
|
со-»-0 |
уходи т |
в |
бес |
|||||||||||||||
конечность |
(имеет |
|
р а з о м к н у т ы й |
в и д ) , |
а |
поэтом у |
трудн о |
|||||||||||||||||||||
судить |
о |
ходе |
А Ф Х |
|
на |
малых |
частотах. Рассмотрим |
«допол |
||||||||||||||||||||
н е н н у ю |
|
А Ф Х » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
(До |
— |
|
(/со) |
, |
|
|
|
|
(5-16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
которая |
|
переходи т |
|
в и с х о д н у ю |
п р и |
<а->0. |
Если |
построить |
||||||||||||||||||||
« д о п о л н е н н у ю |
А Ф Х » |
п р и |
|
конечном |
ю =h 0, |
то |
вид |
ее |
при |
|||||||||||||||||||
малых, частотах п о к а з а н |
пунктиром, |
а |
п р и |
больших |
часто |
|||||||||||||||||||||||
тах он а практически совпадает |
|
с |
|
исходной . |
Введение |
|||||||||||||||||||||||
параметра |
а |
сводит |
|
3-й |
случай |
к |
двум |
первым, |
а |
«дополне |
||||||||||||||||||
н и е |
в |
бесконечности» |
(так |
н а з ы в а ю т п у н к т и р н о е |
дополне |
|||||||||||||||||||||||
н и е |
на |
|
рис. |
|
5-6, |
петля |
которого |
уходи т |
в |
бесконечность |
||||||||||||||||||
п р и 'а-5-0) |
придае т |
|
|
А Ф Х н е й т р а л ь н о й |
|
системы |
з а м к н у т ы й |
|||||||||||||||||||||
вид, |
п о |
которому |
м о ж н о |
судить |
об |
и з м е н е н и и |
ее |
аргумента |
||||||||||||||||||||
относительно |
|
точки |
|
|
( — 1, |
/0) . |
« Д о п о л н е н и е |
в |
бесконечно |
|||||||||||||||||||
сти» |
|
обычно |
|
проводят |
мысленно, |
|
проводя |
п у н к т и р н у ю |
||||||||||||||||||||
л и н и ю |
от |
н е к о т о р о й |
точки |
на |
п о л о ж и т е л ь н о й |
п о л у о с и |
до |
|||||||||||||||||||||
встречи |
|
с |
действительной |
А Ф Х , |
проходя |
п о |
н а п р а в л е н и ю |
|||||||||||||||||||||
д в и ж е н и я часово й |
стрелки |
v |
квадрантов . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
Ф о р м у л и р о в к а к р и т е р и я Н а й к в и с т а |
п р а к т и ч е с к и |
н е |
|||
отличается |
от д а н н ы х |
р а н е е : замкнутая |
система |
устойчива, |
|
если АФХ |
разомкнутой |
системы с «дополнением |
в |
беско |
нечности» |
охватывает точку |
(—1, |
Раз> г ^ ш |
—число |
правых корней уравнения |
D\(p)—0. |
г |
|
|
|
|
|
|
Рис. 5-6. Построение АФХ нейтральной разомкнутой системы
П р и м е р |
5-4. Р а с с м о т р и м |
систему |
с астатизмом |
2-го |
по |
||||||
рядка, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W p |
{ р ) |
e |
|
|
|
. |
. |
(5-17) |
|
|
|
|
|
|
Р 2 |
П 0 |
+ |
Ртп) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л - 1 |
|
|
|
|
|
i А Ф Х |
р а з о м к н у т о й |
системы |
для |
г = 2 , |
3 п о к а з а н ы |
на |
|||||
рис . 5-7, где |
п у н к т и р о м |
п о с т р о е н о |
« д о п о л н е н и е в |
бесконеч |
|||||||
ности» . Согласно к р и т е р и ю |
Н а й к в и с т а э т а |
система |
н е у с т о й |
||||||||
чива п р и з а м ы к а н и и |
п р и |
л ю б ы х k, |
Тп, |
г=1, |
2, .... |
Системы |
|||||
такого |
т и п а н а з ы в а ю т |
структурно - неустойчивыми . |
Д л я |
получения у с т о й ч и в о й системы с астатизмом 2-го порядка
следует |
п р о в е с т и к о р р е к ц и ю и |
добиться, чтобы |
ее |
А Ф Х |
на |
||||
частотах |
в |
р а й о н е точки |
( — 1, /0) |
и м е л а |
вид |
к р и в о й |
3, |
||
которая |
у ж е |
не охватывает |
эту |
точку. |
Э т о г о |
м о ж н о |
добить - |
100
ся, |
например, |
вводя |
в систему звенья, д а ю щ и е |
о п е р е ж е н и е |
п о |
ф а з е на |
у к а з а н н ы х частотах (например, |
у п р у г и е — |
|
д и ф ф е р е н ц и р у ю щ и е |
звенья) . |
|
|
\\ |
|
|
Ч |
|
•/*"'• |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
.У |
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5-7. Примеры |
АФХ структурно-неустойчивых си |
|
||||||
|
|
|
стем |
|
|
|
|
|
К р и т е р и й |
Н а й к в и с т а |
легко |
м о ж н о |
п р и м е н и т ь |
к лога |
|||
р и ф м и ч е с к и м х а р а к т е р и с т и к а м |
р а з о м к н у т о й |
'системы. |
Рас |
|||||
смотрим это |
н а п р и м е р е |
р а з о м к н у т о й |
системы, |
и м е ю щ е й |
||||
А Ф Х , и з о б р а ж е н н у ю |
на |
рис. |
5-8,а. С о о т в е т с т в у ю щ и е |
е й |
||||
л о г а р и ф м и ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и L(co) |
и |
ф(ш) |
п о к а з а н ы |
|||||
н а рис . 5-8,6. Н а з о в е м |
переход |
амплитудно - фазовой харак |
||||||
т е р и с т и к о й |
о т р е з к а ( — ^ |
, —1) |
положительным, |
если |
он |
Рис. 5-8. К формулировке критерия Найквиста для ло гарифмических частотных характеристик
совершается сверху вниз п р и |
в о з р а с т а н и и частоты |
(на ча |
стоте сог), и отрицательным, |
©ели о н совершается |
с н и з у |
101