книги из ГПНТБ / Салимжанов Э.С. Алгоритмы идентификации и оптимизации режима скважин
.pdfгде c Q — коэффициенты нефтесодержашія. Линейная форма,
і
определяемая (2.12) «зафиксирована» на рис. 14 в двух по ложениях*.
Будем искать максимум G, т. е. максимум общего дебита нефти. Для этого следует «перемещать» гиперплоскость (2.12) от начала координат параллельно самой себе. Условия совме
стности (2.12), |
(2.11) требуют, как |
обычно, пересечения ■ со |
ответствующих |
геометрических |
форм. |
Легко видеть, 4 T o m a x Q достигается на границе много-
{ Чі )
гранника ОАВСДОНЬКІ в данном случае (см. рис. 14) в вер шине «G».
* Эго, конечно, условность. На самом деле (2.12) — множество, имею щее мощность континуума.
Возьмем теперь в качестве критерия соотношение
V |
qt + |
V |
|
•С,1 • |
. . . + С,п |
(2.13) |
il будем искать минимум V (минимум эксплуатационных за трат в рамках условий (2.11). Для этого, очевидно, придется «перемещать» плоскость (2.13) к началу координат. Получа ем нулевое значение функционала, т. е. выключение всех сква
жин, . . .
Подобная задача экономически бессмысленна, однако ус тановлено важное свойство: отсутствие минимакса (седловой точки) по дебиту нефти и эксплуатационным затратам*. Сле довательно, нельзя ставить задачу на получение максимума дебита нефти при минимальных эксплуатационных затратах.
Для корректной постановки второй задачи необходимо к системе (2.11) добавить условие (2.9).
Несколько уточним задачу максимизации текущих отборов
нефти, добавив к |
(2.11) условие (2.8) и положив, что множе |
ства. (2.8), (2.12) |
пересекаются на оболочке многогранника |
технологических требований (см. OABQUEFG—рис. 14). За метим, что решение уточненной задачи всегда достигается в од ной из вершин. Единственность решения вытекает из того факта, что плоскость функционала (2.12) не параллельна ни
одной форме из набора (2.11), (2.8) хотя бы потому, |
что в |
||
(2.12) коэффициенты С.Q |
при дебитах нагнетательных сква |
||
жин тождественно равны |
нулю, в то время как в (2.11), |
(2.8) |
|
коэффициенты |
технологических и планово-экономических |
условий, в принципе, отличны от нуля, а матрица коэффициен тов подсистемы производственных ограничений — нуль — еди нична.
Проделаем теперь следующий «мысленный» эксперимент. Будем перемещать плоскость функционала (2.12) от начала координат, отслеживая пересечение с формой (2.8), ограни ченной набором (2.11). Придя в вершину максимума «G», за фиксируем в ней (2.12) в виде (2.9), одновременно сняв огра
ничение (2.8).
Вернемся теперь ко второй задаче, которую рассмотрим на наборе (2.9), (2.11), (2.13). Будем перемещать (2.13) к нача лу координат, отслеживая пересечение с формой (2.9), ограни-
* Это является следствием выпуклости множества допустимых про грамм.
ценной набором (2.11). Поскольку в первом случае условие (2.8) было выполнено полностью: в виде строгого равенства* то теперь мы придем в ту же вершину «G». Координаты экст ремальной вершины удовлетворяют, таким образом, как (2.8), так и (2.9). Это означает, что при постановке ОЗЛП можно ис пользовать две равносильные формулировки, чем и заверша ется доказательство**.
Обобщая, можно представить, что полное функциональное преобразование ОЗЛП фиксирует при {qj > 0 ) оболочку мно
гогранника, образованного набором гиперплоскостей, каждая из которых некоторым образом ориентирована относительно координатной системы. Эта ориентация определена двумя ха рактеристиками: линейного преобразования и граничных ус ловий. Критерий оптимальности (целевая функция) удовлет
воряется экстремизацней |
(максимизацией или минимизацией) |
|
линейного |
функционала, |
определяемого «свободной» гипер |
плоскостью |
(линейная форма функционала — критерия не |
полностью ориентирована, т. к. не фиксирован свободный член).
Если в соотношениях (2.12), (2.13) обозначить нормативы
ресурсов одним |
(общим) индексом С, то получим канонизиро |
||
ванную форму |
ОЗЛП: |
(2.14) |
— экстремнзировать и вы |
Extr. ст ■Q; |
L*-Q <Г* |
||
делить оптимальный режим Q**. |
Здесь L — характеристика |
||
полного функционального |
преобразования ОЗЛП, прямо |
угольная матрица размерности mXn, n m <!3n+Z|+Z 2***. Г — полная характеристика граничных условий, составной вектор из «т» — компонент; Q—m — мерный вектор управля ющих воздействий (управлений), составленный из дебитов скважин; *, ** — индексы, приданы соответственно заданным (фиксированным) и искомым (оптимизируемым) величинам.
Представление ОЗЛП в виде |
(2.14) будет использовано в |
|||
дальнейшем. |
|
|
|
|
* В противном случае, оно было бы избыточным в системе (2.8), |
(2.11), |
|||
(2.13). |
|
|
|
|
** Это |
обстоятельство отражает, |
вообще говоря, |
компромисс, |
кото |
рый должен сделать планирующий орган вышестоящей инстанции |
при |
|||
наложении |
ограничений третьего класса. |
|
|
|
*** Напомним, что ш—число строк, |
п — столбцов |
(скважин), z,, |
z2 — |
количество дополнительных технологических и производственных ограниче ний.
§ 2. Особенности и упрощения стратегии максимальных отборов нефти на поздней стадии выработки пласта.
<ЮГ ^ Многоскважинный вариант опорного принципа— ! ». 1; і*,і*
dg,
МЛ—алгоритм
Вернемся к концептуальной модели обобщенных парамет ров технологического процесса (рис. 2) и охарактеризуем пе риод прогрессирующего обводнения скважин (см. этапы Ш, IV, V).
Период прогрессирующего обводнения является основным как по продолжительности, так п по количеству извлекаемой нефти (значительно более 50% промышленных запасов)*. Для этапов III-^Ѵ характерен существенный спад общего дебита жидкости в связи с полным обводнением части фонда сква жин. Другая, менее обводненная часть, эксплуатируется, в ос- ■* новном, насосным способом. Коммуникации и установки об щепромыслового назначения оказываются загруженными не полностью. Производственные ограничения ОЗЛП, перестают действовать, начиная с этапа IV. Избыточной оказывается и часть технологических условий (определяющая благоприят ные функциональные поля), поскольку остаточные запасы со средоточены главным образом в гидродинамических целиках и выбрать их можно только, ликвидируя застойные зоны (ор ганизуя переменный режим эксплуатации и, в частности, пе реключения скважин).
В этой связи представляется актуальной формулировка и
решение специальной ОЗЛП (построенной на ядре |
(2.14): |
(А • Q < Р) ч- max С • Q |
(2.15)' |
где А, Р — заданные: матрица влияний и вектор депрессий. Полагая, что правая часть (2.15) определена к моменту
оптимизации и в дальнейшем изменяется лишь в скважинах, через которые вносятся управляющие возмущения (аналог ре жима заданных давлений), рассмотрим многоскважинный ва
риант |
опорного |
принципа (2.1). |
|
|
* Отметим, что |
крупные и средине нефтяные месторождения |
Башки |
||
рии: Туймазннское, |
Шкаповское и Серафнмовское находятся на |
IV и V |
||
тпшах |
разработки; |
состояние |
самого большого Девонского месторожде |
|
ния страны — Ромашкинского |
(Тат. АССР) — приближается к III этапу. |
Если в нашем распоряжении имеется ЭЦВМ, то аналог (2.1) может быть построен на основе ОЗЛП- (2.15), поскольку соответствующими стандартными программами укомплекто ваны большинство машин второго п третьего поколения. Од нако более естественным представляется следующий подход*. Физически ясно (это можно строго показать), что «прижатие.» любой скважины влечет (в режиме заданных давлений реаги рующих скважин) возрастание дебита жидкости каждой скважины. Отсюда вытекает процедура, состоящая в пооче
редном апробировании реакций |
на единичные возмущения |
|||||
вида: |
|
|
|
|
|
|
|
AGf |
= -Idem; j, |
i.= l, |
. . . , n; |
||
|
S( = |
Pj^i |
||||
|
|
i— 1, |
. . . , n |
|
|
(2.16), |
с «отсевом» скважин, для которых |
| Sj |
| >1, |
Здесь Gp — |
|||
общий дебит нефти реагирующих скважин, |
— дебит неф |
|||||
ти |
возмущающей |
скважины. |
|
|
|
|
для |
Иллюстрируем изложенное численным примером. Примем, |
|||||
простоты, депрессии |
одинаковыми |
Pj = |
Р г —■Р3бі = |
= 200—100=100 ат и введем модель типа (1.11), полагая, что имеется небольшая залежь, эксплуатируемая четырьмя сква
жинами |
|
|
|
|
|
|
1 |
0,05 |
0,1 |
0,05 |
’ Чі" |
"РГ |
' 100 " |
0,05 |
0,5 |
. 0,05 |
0,1 |
|
|
|
0,1 |
0,05 |
2 |
0,1 |
|
|
|
0,05 |
0,1 |
0,1 |
1,5 |
|
_Р<_ |
100 _ |
Положим с= |
[ с і,............С4] = |
[1 |
0,5 0,1 0,3] |
(2.18). |
|
Решение |
(2.17) |
имеет вид: |
[84,76 88,88, 3,89, |
|
|
Q =[84,76 |
177,76 38,85 49,4] + G = |
14,82] |
|||
|
|
|
|
|
(2.19). |
Выключим, например, скважину |
№ 3, вычеркнув в |
(2.17) |
* Который мы вводим здесь как метод субоптимизации [в•дальнейшем будет показано, что данный алгоритм приводит к отысканию' точного реше ния ОЗЛП (2.15)).
третьи строку и столбец Л решив оставшуюся подсистему ка ким-либо стандартным методом.
Имеем:
Q' = [88,37 180,8 0 51,82] - G1= [88,37 90,4 0 15,55) . . . (2.20) Суммируя компоненты G, G1 и сравнивая эти два резуль тата, убеждаемся, что выключение третьей скважины увели
чивает общий дебит нефти. И, наконец,
S= |
]s, [ = ] = [0,0 57, 0,13, 1,50. 0.45] -> < s, > |
> = |
= |
<1,50,0,45,0,13,0,064 ) |
(2.21). |
откуда видно, что только прижатие третьей скважины обеспе чивает положительное приращение общего дебита нефти, так что снижать производительность других скважин (на первом этапе) не имеет смысла*.*
Таким образом, «субоптимальный» режим из ОЗЛП (2.15) можно определить, обладая лишь стандартными программами решения систем линейных алгебраических уравнений. Рас смотренный подход позволяет, в частности, находить «субоп тимальный» режим посредством малых цифровых машин, ис пользуя итерационные процедуры решения линейных систем.
В 1968—1969 гг. кафедра автоматики и |
телемеханики |
МИНХ и ГП им. И. М. Губкина установила |
[26], что специ |
фика ОЗЛП (сформулированной для монолитно-однолласто- вой залежи при стабильных забойных давлениях)*такова,что каждая эксплуатационная скважина, вводимая симплексметодом в опорную программу, непременно остается в опти мальном решении. Этот результат, позволяющий считать рас смотренную выше процедуру с конечным результатом (2.21) точной, привел М. В. Меерова п Б. Л. Литвака к построению специальной вычислительной схемы, которую мы в дальней шем будем рассматривать под названием М. Л. — алгоритма.
М. Л. — алгоритм основан на специфике матрицы
А, ' = Bj: Bj_j ^-0; вj^4i < 0; Bj_j > || Sj^jBj || . Опуская тео
ретические посылки [27], остановимся на вычислительных ас пектах.
* После выключения третьей скважины производится возврат к началу процедуры и т. д. до тех пор, пока S — вектор содержит компоненты |s, \> 1. Сходимость процедуры «субоптимизации» гарантирована отно
сительно небольшим числом скважин, «прижатие» которых обеспечивает неотрицательное приращение общего дебита нефти.
** Без учета режима нагнетаний.
Задача решается в два этапа: вначале ищется «качествен ное», затем «количественное» решения.
Качественное решение определяется как оптимальный ба
зис ОЗЛ П |
(2.15). Физически качественное решение означает |
|
выделение |
скважин, которые надлежит «выключить» |
(либо |
предельно |
«зажать»). |
|
Количественное решение фиксирует часленные значения де битов, отвечающих оптимальной программе.
Алгоритм начинается с отыскания нулевого приближения. Для этого достаточно взять с обратным знаком произведение
вектора «С» на матрицу В= ||в^ ||—А-1 ; |
с * = —с-В, |
|
сі = |
сі ' ni] |
(2.22). |
Если cj > 0 , то j-ая скважина выключается.
После того, как нулевое приближение найдено, можно оп ределить первое, второе и т. д. приближение. В случае опре деления первого приближения, например, поступают следую щим образом. Вычеркиваются строки и столбцы матрицы «В» с номерами, отвечающими номерам выключенных скважин. Элементы матрицы «В», отвечающие пересечению вычеркну тых строк и столбцов, H, соответствующие элементы вектора «С» образуют подматрицу и подвектор «В1», «С1», на основе которых формируется и решается система
А-В1—с1 |
(2.23). |
|
Затем проверяется выполнение совокупности неравенств |
||
À* • |
В<°><С<°> |
(2.24), |
где подматрица В(0) составлена |
из элементов матрицы |
В, рас |
положенных на пересечении вычеркнутых строк и невычеркиутых столбцов; вектор С(0) составлен из невычеркиутых элемен
тов вектора «С», Я* — решение |
системы (2.24). |
В случае невыполнения (2.24) |
имеем оптимальный базис ь |
виде набора индексов скважин, оставшихся после первого от ключения. Если (2.24) выполняется „частично, то выделяются номера строк, отвечающие выполненным неравенствам из (2.24), вновь производится вычеркивание строк и столбцов и
Т. д.
Чтобы найти количественное решение, формируется и ре шается система
вопт. ‘•опт. = О,опт. (2.25),
где Bonm. СУТЬ матрица В1, использованная в последней ите рации качественного решения; Qonm. — вектор, составленный из вычеркнутых в ходе качественного решения элементов ис
ходной программы Q. |
|
скважин |
|
(оптимальная |
||
Значения |
дебитов действующих |
|
||||
программа) |
вычисляются по формуле: |
|
|
|||
|
Q** |
<"> |
і“” |
• Z |
|
(2.26), |
|
Qonm. |
|
||||
|
|
опт. |
опт. |
|||
где Q onni. — вектор, элементами которого |
являются невы- |
|||||
черкнутые компоненты |
столбца. Q: ||Вйпш |
|| |
— матрица, |
транспонированная к матрице В(0)последнеіі итерации качест венного решения.
Заметим, что произведение:! Вопш 1 • Z„nm суть прираще
ния общего дебита нефти после перехода па оптимальный режим.
Следуя Б. Л. Лнтваку, приведем блок-схему алгоритма оп тимизации. Операцию умножения вектора на матрицу обоз начим СП—I, операцию решения системы линейных алгебра ических уравнений — СП—II,
При решении задачи на малых ЦВМ (типа «Наирп») мож но использовать имеющиеся стандартные программы (С. П.).
М. Л. — алгоритм может оказаться полезным па стадии элект-ромоделирования монолитно-однопластовой залежи в режиме заданных давлений. Если размерность задачи не пре вышает 50X50, то ОЗЛП может быть решена на интегрирую щей сетке, минуя этап определения матрицы влияний.
Заканчивая описание М. Л. — алгоритма отметим его от носительные достоинства и недостатки. К достоинствам при числим значительное сокращение объемов перерабатываемой (на конечной вычислительной стадии) информации. К недо статкам — меньшую общность в связи с изъятием (из проце дуры оптимизации) фонда нагнетательных скважин. Отмечен ный недостаток является существенным, поскольку в настоя щее время почти все нефтяные месторождения страны разра батываются с поддержанием давлений путем закачки в пласт воды. (Блок-схема алгоритма Меерова-Лнтвака приведена в конце книги).
§ 3. О результатах опытно-промышленного управления режимами эксплуатации скважин пласта Д2 Константиновскоіі площади Серафимовского нефтяного месторождения
Башкирской АССР
В мае и октябре 1969 года кафедра автоматики и телемеха ники МИНХ и ГП им. И. М. Губкина совместно с производ ственным объединением Башнефть и институтом БашНИПИнефть при участии института проблем управления (ИАТ) МПСА и СУ и АН СССР осуществили опытно-промышленное управление режимами эксплуатации нефтеводоиосного пласта, основанное на расчете оптимального фонда действующих сква жин методами ОЗЛП.
Объект экспериментирования: 50 скважин пласта Д2 Копстантиновской площади типичен для месторождении УралоВолжской нефтяной провинции (рис. 15). Условия залегания продуктивных слоев, свойства флюидов и параметры процес са, наличие законтурного заводнения, геометрия размещения скважин, характеристики подземного и наземного оборудова ния — все здесь аналогично основным (девонским) месторож
дениям Башкирии и Татарии. Эксперименты ставились |
с |
целью апробации точности модели ОЗЛП в локальном |
(по |
времени) смысле. |
|
Организация опытно-промышленного управления. Подго товка к экспериментам заключалась в построении математи ческой модели пласта, отработке алгоритмов и отладке про грамм оптимизации и в организации каналов связи.
Мо д е л и р о в а н и е . Определение матриц влияний, необ ходимых для постановки и решения ОЗЛП, осуществлялось на интегрирующих резистивных сетках. В 1968 — 1969 гг, иссле дуемый объект моделировался трижды. Первая модель ока залась не вполне удовлетворительной. Результаты второго и третьего моделирования послужили основой построения устой чивой части оптимального базиса ОЗЛП. Вторая модель стро илась на базе электроинтегратора ЭИ-12 с использованием карты гидравлических сопротивлений института БашНИПИнефть, третья модель подстраивалась в соответствии с про мысловой картой изобар на машине ЭИ-С института ВНИИнефть.
О п т и м и з а ц и я . Для расчета оптимального фонда |
экс^ |
плуатациоиных скважин использовались стандартные |
про-: |
граммы ОЗЛП, а также М. Л. — алгоритм и график рис. 25
~"7\fee)
Рис. 15