книги из ГПНТБ / Мнев Е.Н. Теория движения ракет учеб. пособие

Если управление полетом ракеты осуществляется за счет изменения вектора тяги основного или управляющих (поворотных) двигателей, то уравнение балансировки запишется так;

или, используя закон управления (1.47) и уравнение д"=Ѳі-& , получим

Выражение (49) заменяет два последние уравнения в

mu-=(P-Qip)coscL-Q-&(sinQ+-^-cosG)-

Но из условия равновесия ракеты имеем (рис.I.12)

т . е .

где

Подставляя выражения (51) во второе уравнение систе­ мы (50) и из-за малости угла атаки принимая cosdi^i у

-&(cos6-^-sin<9^-7

ce2= <scos Ѳ ; = </sin Ѳ j

7

V

Система уравнений, описывающих движение центра масс ракеты в вертикальной плоскости, еще больше упростится,

кривизну земной поверхности. В этом случае отпадает необходимость во втором уравнении системы (52).Тогда,

Система (53) часто используется при проектировочных расчетах баллистических ракет на начальных этапах их разработки.

53

I

Глава П

СВОБОДНЫЙ ПОЛЕТ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ (ЗЛЛИПТШЕСКАЯ ТЕОРЩ)

§ I . Уравнения движения

Движение баллистической ракеты или ее боевой части на больших высотах ( у 80 км) происходит под дей­ ствием единственной силы - силы тяжести. Если считать Землю шаром, а поле силы тяжести центральным, то сила тяжести во всех точках траектории будет направлена точно к центру Земли. В этом случае сила притяжения ракеты к Земле определяется по закону всемирного тяготения:

( I )

где

54

I

V - расстояние между центром Земли и центром масс ракеты.

При указанных выше условиях движение ракеты можно рассматривать как движение материальной точки, траек­ тория которой не выходит из плоскости, проходящей через центр Земли. Поэтому для описания движения центра масс ракеты вместо трех уравнений достаточно двух. Эти уравнения удобно записывать в полярных коор­ динатах ( 7 , ß ) (рис.2.1). Переход от декартовых координат к полярным выполняется по следующим форму­ лам:

= 7 sin ß ;

(2)

%3 = ? cos ß-R

Составим уравнения движения ракеты с помощью урав­ нений Лагранжа второго рода

Обобщенные силы будут соответственно равны:

Подставляя эти выражения в формулу (3), получим уравнения движения ракеты на свободном участке полета (без учета вращения Земли):

00

d (Spho.

dt

56

Интегрируя эти уравнения, можно по заданным пара­

ее свободного полета. В частности, из второго уравне­ ния системы (4) имеем

Первое уравнение системы (4) с учетом выражения (5) запишется следующим образом:

откуда

Подставляя с, из уравнения (5), будем иметь

57

?А 7А 2

Следовательно, текущая скорость полета ракеты на эллиптическом участке траектории связана с исходными

7Acos0A

созѲ-

(10)

§ 2.. Уравнение траектории,

Уравнение траектории ракеты в центральном поле тя­ готения получим из уравнений движения (4), исключая из них параметр времени. Подставляя ß из формулы

(5) в выражение (7) и имея в виду, что

58

откуда

Произведя интегрирование, получим уравнение траек­ тории полета ракеты, являющееся уравнением конического сечения, записанным в полярных координатах:

J-ecos{ßß-ß) ?

где

ßß - центральный угол, определяющий полояение вершины траектории относительно начального

радиуса-вектора 7А (рис . 2 . 4);

59