книги из ГПНТБ / Мнев Е.Н. Теория движения ракет учеб. пособие

•** сто Согласно фчэінескам соображениям, несобственный ин­

теграл (19), распространенный по бесконечному внешнему объему, конечеч, ХеЛствителъно, тело конечных размеров при конечное времени своего движения, очевидно, мода т. сообщить жидкости лишь конечную кинетическую энергию.

Бели движение жидкости потенциально, то по аналогии с результатом, полученным в предыдущем параграфе,можно записать

т . е . отношение скорости в любой точке потока к скорости тела является лишь функцией координат точек и не за­ висят от времени:

Имея это А виду, преобразуем выражение (19):

ff\x,yj)du/. (20)

Интеграл в (20)

имеет размерность массы и называется, как мы уже знаем, присоединенной массой,•соответствующей движению тела в данном направлении.' Таким образом,

160

Отсюда вытекает следующее определение: присоединен­ ной называется такая фиктивная масса жидкости, кинети­ ческая энергия которой при ее. движении со скоростью тела, равна кинетической энергии окружающей тело жид­ кости. Присоединенная масса зависит от формы тела и

быть применен к жидкости закон об изменении кинетиче­ ской энергии: изменение кинетической энергии системы

тела затрачивается на изменение кинетической энергии жидкости, будем иметь

Из выражения (24) следует, что сила воздействия со стороны жидкости на тело при ускоренном движении чис­ ленно равна присоединенной массе, умноженной на ускоре­ ние тела. Эта сила пропорциональна ускорению и в соот­ ветствии с известной терминологией теоретической ме­ ханики называется инерционной силой.

В случае прямолинейного движения тела с постоянной

силы определяется знаком ускорения. При положительном

уже познакомились в предыдущем параграфе. Выясним про­ исхождение термина "присоединенная масса".

Составим уравнение движения тела в реальной жидкос­ ти для случая поступательного движения тела. Кроме при-

Г62

лобового сопротивления при движении в режиме -o-0=const.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения тела в жидкости примет вид

зывается присоединенной массой. Заметим, что подобная трактовка применима лишь к простейшим случаям движения.

В таких, например, случаях, как движение деформируе­ мого тела, движение тела, происходящее с резким измене­ нием формы погруженного объема, присоединенные массы

из которого следует, что в данном случае инерционная сила складывается из двух компонентов. Один пропорцио­ нален скорости движения, другой - ускорению.

§5. Кинетическая энергия жидкости в обшей, случае движения тела. Обобщенные

присоединенные массы

Впредыдущем параграфе в ходе определения гидро­ динамической реакции жидкости было получено выражение

163

для ее кинетической энергии при прямолинейном движении тела. Б этом.параграфе рассмотрим кинетическую энергию безграничной жидкости в общем случае движения тела.

Можно показать (см., например, [(7J ), что энергия безграничной жидкости выражается через потенциал ско­ рости <р формулой

где интеграл берется по поверхности тела £ . Здесь формула (27) приводится без вывода. Функция <jp должна удовлетворять уравнению Лапласа. На бесконечности вне тела ^Р-О . На поверхности тела должно выполняться условие непротекания через эту поверхность:

Нормальная составляющая скорости точки поверхности тела

164

l-(<àx%-oùyx)cos(n,z) .

После перегруппировки членов, содержащих угловые скорости, получим

углов в связанной с телом системе координат не зависят от времени. Функциями от времени являются лишь проек­ ции поступательных и угловых скоростей тела (tt

Граничное условие на поверхности тела в виде суммы шести членов (линейность граничного условия) и линей­ ность уравнения Лапласа позволяют искать общее выраже­ ние для потенциала также в форме вести слагаемых:

165

единичные потенциалы должны удовлетворять на поверхнос­

координат, связанно?; с телом, зависят только от коор­ динат. В выражение для <Р функциями времени, не за ­ висящими от координат, являются проекции скорости.Для упрощения последующих выкладок целесообразно изменить обозначения, вводя обобщенные скорости:

Ібб

циал, нужно в выражении для потенциала скоростей вы­ делить член, являющийся множителем при соответствую­

167

вынесены на знак интеграла и, кроме того, изменен по­ рядок суммирования и интегрирования.

Введя обозначения

г=1 к-і

Формула (37) аналогична известной из теоретической механики зависимости для кинетической энергии твердого

168

В курсах теоретической гидромеханики доказывается, что в случае безграничной жидкости матрица | сим­ метрична относительно главной диагонали

в силу чего число обобщенных присоединенных масс со­

а

Таким образом, размерность присоединенных масс

і