книги из ГПНТБ / Мнев Е.Н. Теория движения ракет учеб. пособие

(8)

Исследование динамических характеристик имеет важное значение при выборе конструктивных параметров ракеты и проектировании ее системы управления. В частности,ана­ лиз динамических свойств ракеты позволяет установить, каким образом те или иные конструктивные изменения от­ разятся на устойчивости движения, что помогает сформу­ лировать требования к автомату стабилизации.

Точное решение подобных задач сопряжено с необходи­ мостью исследования полной системы нелинейных дифферен­ циальных уравнений возмущенного движения ракеты. Хотя с помощью ЭВМ такие решения и могут быть получены для конкретных числовых параметров ракеты, однако для

100

целей изучения характера движения этот путь обычно це­ лесообразен. Поэтому на начальных этапах проектирования ограничиваются анализом динамических свойств самой ра­ кеты или комплекса "ракета-система управления", исходя из уравнений линейного приближения (5) и ( 8 ) .

Для оценки собственных динамических свойств ракеты рассматривают ее неуправляемое движение, полагая,что отклонения органов управления являются либо известными функциями времени ^(t) , ^,(0 , Sgl(t) , не за ­ висящими от элементов возмущенного движения, либо при­ нимают их за постоянные величины, которые в частных случаях могут принимать и нулевке значения. При такой постановке задачи системы уравнений (5) и (8) становят­ ся замкнутыми и не требуют добавления уравнений,описы­ вающих работу системы управления.

Если рассматривается неустановившийся режим полета ракеты, то с целью дальнейшего упрощения линейных систем (5) и (8), обеспечивающего получение аналитиче­ ских решений, используется прием "замораживания" дина­ мических коэффициентов. В этом случае системы уравне­ ний возмущенного движения в вариациях превращаются в линейные однородные дифференциальные уравнения с по­ стоянными коэффициентами.

Методы решений и анализа уравнений продольного и бокового движения аналогичны. Поэтому во избежание по­ вторений рассмотрим лишь свободное возмущенное движе­ ние ракеты в вертикальной плоскости. Для упрощения анализа положим, что невозмущенное движение представ­ ляло собой прямолинейный горизонтальный полет с постоян­ ной скоростью. Тогда, полагая в уравнениях продольного

101

Отсюда получаем следущее характеристическое урав­ нение:

где

что поскольку определитель системы ( I I ) равен нулю,то независимыми в ней являются только два уравнения яз трех. Недостающие уравнения вытекают из начальных ус­

времени. Хотя такие зависимости позволяют получить полное представление о характере возмущенного движения, надобность в них отпадает, если требуется только от­ ветить на вопрос, будет ли движение ракеты устойчивым. Для ответа на этот вопрос достаточно составить харак­

свободном возмущенном движении ракеты определяется корнями характеристического уравнения. При этом воз­

104

случае свободное возмущенное движение ракеты склады­ вается из четырех апериодических движений, причем если

неограниченно возрастать, что свидетельствует об апе­

или

(16)

105

3. Все четыре корня характеристического уравнения

образуют две пары сопряженных комплексных корней:

В этой случае свободное возмущенное движение ракеты представляет собой наложение двух колебательных движе­

ний, затухающих при <f-< <Э (/=/?£,)

(Г

Степень' затухания (или нарастания) обычно характери­ зуют временем уменьшения (или увеличения) амплитуды

колебаний вдвое. Это время можно определить из условия

Таким образом, в результате решения характеристиче­ ского уравнения можно установить вид возмущенного дви­ жения (апериодическое или колебательное), частоту и период колебаний, степень затухания процесса. При этом ракета будет динамически устойчивой, если все вещест­ венные части корней характеристического уравнения от ­ рицательны. Если же среди вещественных частей коркегі

имеется хотя бы одна положительная, то движение ракеты

107

будет неустойчивым, а наличие хотя бы одной нулевой части свидетельствует о том, что ракета является дина­ мически нейтральной.

Для исследования уравнений возмущенного дзижения не обязательно определение корней характеристического уравнения. Достаточно составить пто уравнение и затем воспользоваться каким-нибудь критерием (Гурвица,Найквиста и др . ), позволяющим по коэффициентам характеристиче­ ского уравнения судить о его корнях.

В общем случае характеристический многочлен записы­ вается в виде

m

По Гурвицу, условие отрицательности вещественных корней характеристического многочлена сводится к тому, что при а0>0 должны быть положительными все m

определителей, получаемых из определителя, составленно­ го из коэффициентов характеристического многочлена. В частности, при m = Ч эти условия сводятся к следующим неравенствам:

Оо

о а, а, 'з

108

Критерий Гурвица не только позволяет судить об устой чивости движения, не решая характеристического уравне­ ния, но и дает возможность установить границы устой­ чивости. Среди многих параметров, определяющих величи­ ну и знак коэффициентов характеристического уравнения, можно выделить несколько параметров, изменение которых находится в руках конструктора и тем самым позволяет влиять на устойчивость посредством изменения значений этих коэффициентов. Например, для продольной устойчи­ вости к таким коэффициентам относятся и

так как они являются функциями коэффициентов демпфиро-

вания /77 и продольной статической устойчивости

/пр > т . е . величин, зависящих от аэродинамической

схемы и компоновки ракеты. В этих координатах обычно строится и диаграмма устойчивости.

Для построения границ устойчивости достаточно иметь только два уравнения из условий (21):

Действительно, переход через границу устойчивости происходит в случае, когда вещественная часть корней 2i=^ti2 и з отрицательной становится положительной,

т . е . проходит через ноль. Это означает, что точкам границы устойчивости соответствует мнимое значение Л,

109