К началу Примеры решения задач

Пример 1. Между двумя плоскопараллельными пластинами на расстоянии L = 10 см от границы их соприкосновения находится проволока диаметром D = 0,01 мм, образуя воздушный клин (рис. 5.1). Пластины освещаются нормально падающим монохроматическим светом (λ= 0,6 мкм). Определить расстояние между соседними интерференционными полосами, наблюдаемыми в отраженном свете.

*

11 12

Примечание. При переходе от энергетических единиц к фотометрическим единицам обычно используется соотношение 1 Вт = 683 лм.

Дано: L= 10 см D= 0,01 мм  = 0,6 мкм i = 0o	В единицах СИ: L = 0,1 м D = 110-5м  = 610-7м	1 2 1 2 dk dk+1 dk  D L k b k+1 Рис. 5.1
Найти: b

Решение. Стеклянные пластинки образуют в данном случае воздушный клин с малым углом α (рис. 5.1).

Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани клина. Эти отраженные лучи когерентны и на поверхности клина будут наблюдаться интерференционные полосы.

Так как угол клина мал, то отраженные лучи «1» и «2» будут практически параллельны (рис. 5.1). Найдем расстояние bмежду двумя соседними темными интерференционными полосами.

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки, равна

(105)

где добавочная половина длины волны обусловлена отражением волны от оптически более плотной среды (происходит в данном случае при отражении луча «2» от нижней грани воздушного клина).

По условию задачи угол падения равен i = 0^o; показатель преломления материала воздушного клинап = 1(воздух).

При этих условиях (105) принимает вид:

(106)

где d_k – толщина воздушного клина в рассматриваемом месте.

Темные полосы мы видим на тех участках клина, где разность хода лучей кратна нечетному числу половин длины волны:

(107)

Объединив соотношения (106) и (107), можно записать условия наблюдения темных полос с номерами «k» и «k+1», соответственно,

(108)

и (109)

Вычитая из выражения (109) выражение (108), получим

и окончательно

(110)

Исходя из геометрии хода лучей (рис. 5.1), угол клина можно определить двояко: иИз этих соотношений, после подстановки в них (110), находим:

Произведем расчет величины расстояния между соседними полосами:

м

Ответ. Расстояние между соседними интерференционными полосами равно 3 мм.

Пример 2*. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается нормально падающим монохроматическим светом ( = 650 нм). Диаметр четвертого темного кольца в проходящем свете D₄ = 5,7 мм. Определить радиус кривизны линзы.

13 14

Дано:  = 650 нм D 4= 5,7 мм	В единицах СИ:  = 6,510-7м D 4= 5,710-3м	R r d Рис. 5.2
Найти: R

Решение.Радиус кривизны линзыRможно найти из условия наблюдения темных колец Ньютона в проходящем свете:

r_k= k= 1,2, ... . (111)

Для диаметра четвертого темного кольца получим:

D ₄= 2(112)

Из уравнения (112) находим радиус кривизны Rлинзы:

(113)

Произведем расчет по формуле (113):

= 25 м

Ответ.Радиус кривизны линзы составляет 25 м.

Пример 3*. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает монохроматический свет от гелий-неонового лазера (рис. 5.3). Постоянная решетки равна d = 0,01 мм.

На экране, удаленном от решетки на расстояние l = 40 см, наблюдаются интерференционные максимумы, при этом расстояние между симметричными максимумами второго порядка составляет x₂ = 100 мм. Найти длину волны гелий-неонового лазера.

Дано: d= 0,01 мм l= 40 см x2= 100 мм	В единицах СИ: d= 110-5м l= 0,4 м x2 = 0,1 м	k k = 2 x  k k = -2 l Рис. 5.3
Найти: 

Решение.Длину волны гелий-неонового лазера можно найти из условия образования главных максимумов интенсивности света при дифракции на дифракционной решетке: dsin = k,k= 0, 1, 2, 3, ... . Отсюда находим:

(114)

где d - постоянная дифракционной решетки, k - порядок максимума света,  - длина световой волны.

Выразим sinчерез расстояниеlмежду дифракционной решеткой и экраном и расстояниемxмежду серединами симметричных максимумовk-го порядка (рис. 5.3). Для небольших углов дифракции можно приближенно записать:

sintg= (115)

Подставляя полученное значение для sinв формулу (114), получим формулу для определения длины волны лазера:

15 16

(116)

Произведем вычисления по формуле (116):

0,6310^-6м = 0,63 мкм = 630 нм

Ответ.Длина волны гелий-неонового лазера0,63 мкм = 630 нм.

Пример 4*. На поверхность дифракционной решетки нормально к ее поверхности падает параллельный пучок естественного света. Постоянная решетки равна d = 0,01 мм. На экране, удаленном от решетки на расстояние l = 30 см, наблюдаются интерференционные максимумы в виде спектров, при этом расстояние между симметричными максимумами второго порядка красного цвета составляет x_2,кр = 78 мм, а расстояние между симметричными максимумами второго порядка фиолетового цвета составляет x_2,ф = 52 мм. Найти длины волн для красной и фиолетовой линий.

Дано: d= 0,01 мм l= 30 см x2,кр= 78 мм x2,ф= 52 мм	В единицах СИ: d= 110-5м l= 0,3 м x2,кр= 0,078 м x2,ф= 0,052 м	кр k= 2 ф x  ф k= -2 кр l Рис.5.4
Найти: 

Решение.Длину волны линии спектра можно найти из условия образования главных максимумов интенсивности света при дифракции на дифракционной решетке: dsin=k,k= 0,1,2,3, ... , гдеd- постоянная дифракционной решетки,k- порядок максимума света,- длина световой волны. Из этого соотношения находим:

(117)

Выразим sinчерез расстояниеlмежду дифракционной решеткой и экраном и расстояниемxмежду серединами симметричных максимумовk-го порядка (рис. 5.4). Для небольших углов дифракции можно приближенно записать:

sintg= (118)

Окончательно, подставив полученное значение для sin в формулу (117), получим формулу для определения длины волны полосы в спектре:

(119)

Произведем вычисления по формуле (119):

= 0,6510^-6м = 0,65 мкм = 650 нм,

0,4310^-6м = 0,43 мкм = 430 нм.

Ответ.Длина волны красной линии спектра_кр0,65 мкм = 650 нм, а длина волны фиолетовой линии спектра_ф0,43 мкм = 430 нм

Пример 5. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд (п_ст = 1,50), и отражается от дна. Отраженный луч оказывается полностью поляризованным при угле падения на дно сосуда i = 49^o. Определить, под каким углом должен падать на дно сосуда луч света, проходящий в этой жидкости, чтобы наблюдалось полное внутреннее отражение от поверхности жидкости (рис. 5.5).

17 18

Дано: п2 = 1,5 iB = 49o Ротраж.1=1,0 r2 = 90о	n0 r2 S * i2 n1 i2 i2 n2 Рис. 5.5

Решение. По закону Брюстера свет, отраженный от поверхности диэлектрика, полностью поляризован при условии, что

tg i_B = n₂₁ = n₂/n₁.(120)

Отсюда

n₁ = n₂ / tg i_B. (121)

При полном внутреннем отражении от поверхности жидкости (r₂ = 90^о) закон преломления на поверхности жидкости примет вид:

Таким образом, угол падения луча света i₂ на дно сосуда при полном внутреннем отражении от поверхности жидкости равен:

(122)

Подставив в (122) выражение (121) для n₁, окончательно получим:

Ответ.Чтобы наступило полное внутреннее отражение от поверхности жидкости, луч света должен падать на дно сосуда под углом 50˚.

Пример 6. Монохроматический пучок световых лучей проходит через стопу из пяти одинаковых плоскопараллельных стеклянных пластинок толщиной 5 мм каждая. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту стопу пластинок, к интенсивности падающего света равно  = 0,55. Пренебрегая вторичным отражением света, определить коэффициент поглощения k для данного стекла, если коэффициент отражения на каждой поверхности пластинок  = 0,05.

Дано: N = 5 l =5 мм  = 0,05	В единицах СИ: l =510-3м	Решение. Рассмотрим прохождение света сквозь одну пластинку. На входной поверхности пластинки часть энергии пучка теряется за счет отражения и в стекло попадает световой пучок с интенсивностьюгдеI0- интенсивность пучка на входе в первую пластинку.
Найти: k

По закону Бугера интенсивность света, прошедшего слой вещества толщиной x, равна:

I = I₀e^-kx, (123)

где I₀ – интенсивность падающего пучка, а k – коэффициент поглощения света в стекле.

Согласно (1) с учетом отражения света от верхней поверхности пластинки, до 2-й грани первой пластинки доходит свет с интенсивностью I₀(1-)e^-kl. На второй грани часть световой энергии также отражается, то есть на выходе из 1-й пластинки имеем свет с интенсивностью:

I₁ = I₀(1-)²e^-kl.(124)

По аналогии можно показать, что на выходе из 2-й пластинки интенсивность светового пучка будет равна:

I₂ = I₁(1-)²e^-kl = I₀(1-)⁴e^-2kl.(125)

Анализируя выражения (124) и (125), можно сделать вывод, что на выходе из стопы в Nпластинок интенсивность света будет равна:

I_N = I₀(1-)^2Ne^-Nkl. (126)

Преобразуем выражение (126) следующим образом:

19 20

I_N / I₀ = (1-)^2Ne^-Nkl   = (1-)^2Ne^-Nkl 

Отсюда находим:

Найдем численное значение k:

м^-1= 0,034 см^-1.