7

Диф. уравнения Вариант 10

Задача 1

- задача Коши.

Ур-е (1)- ур-е с разделяющимися переменными;

пост. С опр-м из нач. усл. (2)

- решение задачи Коши (1), (2).

Задача 2

(1) - ур-е с раздел. переменными;

или - общий интеграл ур-я (1)

Задача 3

или

В правой части ур-я (1а) – одн. ф-я ; введем новую неизвестную функцию ;

тогда ; ;

рассм.

- общ. интеграл ур-я (1).

Задача 4

р-м

В правой части ур. (1а) – одн. ф-я; введем новую неизвестную ф-ю ;

- общ. интеграл ур. (1).

Задача 5

-лин. неодн. ур. 1 пор.;

соответствующее одн. ур.

общее решение однородного уравнения (2) :

общее решение неоднор. уравнения (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

общее решение ур. (1)

Задача 6

;

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Уравнение (1) не содержит явно аргум.т x;

введем новый аргум. y и новую неизв. ф-ю

Задача 11

Задача 12

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и

опр – ль Вронского

след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид:

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш-я

след. ур-й:

; ;

,

причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5):

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

решим систему уравнений (6) - (8) и опр – м пост.

реш. зад. Коши (1) - (4):

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ; рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде , а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм.

общее реш – е ур - я (1) имеет вид: