7

Диф. уравнения Вариант 5

Задача 1

, (1) , - ур. с разд. переем.

; ;

рассм. ; ;

; ;

, - общий интеграл уравнения (1)

Задача 2

- задача Коши; уравнение (1) – уравнение с раздел. переменными;

; ; ;

, - общее решение уравнения (1);

постоянную С определяем из начального условия (2): ,

; ; ;

решение задачи Коши (1), (2)имеет вид: .

Задача 3

; (1) в правой части уравнения (1) – однородная функция;

введем новую неизвестную функцию , тогда, ;

; ;

рассмотрим

; ; , -общий интеграл уравнения (1)

Задача 4

, (1) (1а) в прав. части ур. (1а) – однор. функция;

введем новую неизвестную функцию , тогда, ;

; ;

разделим переменные и проинтегрируем:

; рассмотрим ;

рассмотрим ;

при : ;

: ; ; (2)

: ; ; (3) ;

; ; ; ; - общий интеграл уравнения (1).

Задача 5

, (1) , (1а) -линейное неоднородное уравнение

1-го порядка с постоянными коэффициентами;

соотв. однородное уравнение : хар. ур.:;

общее решение однородного уравнения (2): ;

общее решение неоднородного уравнения (1) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):

; р-м ; ;

; ; общее решение уравнения (1): .

Задача 6

; (1) рассмотрим ;

или , (2) - линейное неоднородное уравнение 1-го порядка;

соотв. однородное уравнение: , (3) – уравнение с раздел. переменными;

; ; , > 0; ;

, ; общее решение однородного уравнения (3): , ;

общее решение неоднородного уравнения (2) ищем в виде (метод вариации производных пост.):

; рассмотрим ;

; ; ; общее решение уравнения (1): .

Задача 7

уравнение (1) – уравнение Бернулли ; применим метод Бернулли, т.е. положим

, тогда ;

; ; (3)

рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение: , (4)

; ; , > 0

; , ; рассмотрим частное решение уравнения (4) и подставим

его в уравнение (3): ; ; ; ;

рассмотрим ;

; ;

общее решение уравнения (1): ;

постоянную С определяем из начального условия (2): ; ; ; реш. зад. Коши (1), (2): .

Задача 8

, (1) или ,(1а) линейное неоднор. диф. уравнение 2 порядка;

уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

введем новую неизвестную функцию , тогда ;

, (2) – линейное однородное уравнение 1 порядка; ;

; , > 0 ;

; , ;

общее решение однородного уравнения (2): , ;

рассмотрим: ;

;

общее решение уравнения (1): , .

Задача 9

, (1)

уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

введем новую неизвестную функцию , тогда ; ; (2) уравнение (2) – линейное неоднородное уравнение 1-го порядка;

соотв. однородное уравнениие : ;(3) ;

разделим переменные: ; , > 0 ;

; , ;

общее решение однородного уравнения (3): , ;

общее решение неоднородного уравнения(2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

; рассмотрим ;

общее решение уравнения (2): ;

рассмотрим теперь: ;

общее решение уравнения (1): .

Задача 10

уравнение (1) не содержит явную аргумент х ; введем новый аргумент у и новую

неизвестную функцию; тогда ;

; ;

1) ; ; - это противоречит начальному условию (3);

2) ; ; ;

, ; ;

, ; ;

постоянную с₁ определим из начального условия (2), (3):

при х= -2: ; ;

рассмотрим теперь ; разделим переменные: ; ; , ; , ; ;

постоянную определим из начального условия (2): ; ; ;

, - реш. зад. Коши (1)-(3).

Задача 11

, (1) - линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами;

хар. ур-е ; ; ; фунд. систему решения уравнения (1) образуют функции и ;

общее решение уравнения (1): .

Задача 12

, (1) т. М₀(0;1) ; прямая (m):.

Найти интегральную кривую (l) уравнения (1), которая касается прямой (m) в т. М₀..

Так как искомая интегральная кривая l уравнения (1) проходит через т. М₀(0;0),

то ,(2), а так как кривая l в т. М₀ касается прямой m, то , (3), следовательно данная задача предст. зад. Коши (1)-(3);

уравнение (1)- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами;

характ. уравнение: ; ; ;

общее решение уравнения (1): ;

рассмотрим ;

определим постоянные из начальных условий (2), (3):

; ;

уравнение искомой интегральной кривой (l): .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

,

след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

частные реш – я след. ур – й:

;

,

причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

; ;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м ;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.