Diff / DEq02
.doc
7
Диф. уравнения Вариант
2
Задача 1
, (1) , (2) – зад. Коши;
уравнение (1) – уравнение с разделяющимися переменными;
; ;; ;
- общее решение уравнения (1);
знак перед корнем и величину С определяем из начального условия (2):
, ; - решение задачи Коши (1), (2).
Задача 2
, (1) - уравнение с раздел. переменными;
;
; ; ; ;
; ; ;
; - общее реш – е ур – я (1).
Задача 3
, (1) рассм.
в правой части уравнения (2) – однор. ф – я; введем новую неизвестную функцию ;
; ; ;
; , ; ; - общий интеграл ур – я (1).
Задача 4
, (1) , (2)
в правой части уравнения (2) - однор. ф – я 1 измерения; введем новую неизвестную функцию ;
тогда ; ; ; ;
; ; ;
, - общий интеграл ур – я (1).
Задача 5
, (1) - линейное неоднородное уравнение 1 порядка;
соотв. однор. ур-е: , (2) - ур. с разд. перем.;
; ; ;
; - общ. реш. одн. ур. (2);
общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. ;
; ;
- общее решение ур (1).
Задача 6
(1); рассм.
или , (2) - линейное неоднородное уравнение 1 порядка;
соотв. однор. ур-е: (3); ;
; ;
; ; - общее решение однор. ур-я (3);
общее решение . неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. ;
; ;
;
- общее реш-е ур-я (2) и, след., общее решение. ур-я (1).
Задача 7
- задача Коши;
ур (1) – уравнение Бернулли; применим метод Бернулли, т.е. положим
; тогда ;
; ;
;
рассм. вспомогат. диф. ур-е: ; ; ;
; ; ;
рассм. частное решение ур-я (4) и подст. его в ур-е (3):
; ; ; ;
; - общее реш-е ур-я (1);
пост. определим из нач. усл. (2): ;
- реш – е задачи Коши (1), (2).
Задача 8
(1)
(1а) - линейное неоднородное диф. уравнение 2 порядка;
ур – е (1а) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю ,
тогда ; ; - лин. неодн. диф. ур - е 1 порядка;
соотв. однор. ур-е: ; ; ;
; ;
- общее реш-е однор. ур-я (3);
общее решение . неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. ;
; ; ;
- общее реш-е неоднор. ур-я (2); рассм. теперь ;
- общее реш-е ур-я (1).
Задача 9
(1) - лин. неодн. диф. ур - е 2 порядка;
ур – е (1) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю ,
тогда - лин. неодн. диф. ур - е 1 порядка;
соотв. однор. ур-е: ;
;
; ;
- общее реш-е однор. ур-я (3);
общее решение . неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. ;
;
; ;
рассм. теперь ;
- общее реш-е ур-я (1).
Задача 10
- задача Коши;
ур – е (1) не содержит явно аргумент ;
введём новый аргумент и новую неизв. ф – ю ;
рассм. ; ;
; , так как это противоречило бы нач. усл. (3); ; ; ; ;
; ; ; пост. определим из нач. усл. (2), (3): при ;
т.е. ; ; ; ;
; ;
; ;
пост. определим из нач. усл. (2): ;
- реш – е задачи Коши (1) - (3).
Задача 11
(1) - лин. однор. диф. ур - е 2 порядка с пост. коэффициентами;
характеристическое ур – е: ;
; ;
след., фундаментальную систему решений ур – я (1) образуют ф – и ;
общее реш-е ур-я (1) имеет вид: .
Задача 12
(1); т. ; прямая .
Найти интегральную кривую ур – я (1), которая касается прямой в т. .
Пусть ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: ; так как кривая проходит через т. , то , а так как кривая в т. касается прямой с угловым коэф. , то , след., данная задача представляет задачу Коши (1) - (3) для ур – я (1);
ур – е (1) - лин. однор. диф. ур - е 2 порядка с пост. коэффициентами;
характеристическое ур – е: ; ;
общее реш-е ур-я (1): ;
рассм. ; пост. определим из нач. усл. (2), (3):
;
;
ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: .
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): след., фунд. с – му реш – й ур – я (1)
образуют ф – и ;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: .
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): ,
след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;
опр – ль Вронского
, след., с – ма ф – й линейно независима;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: .
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;
где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные
реш – я след. ур – й:
;
;
,
причём частные реш – я ищем в виде:
.
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (5): ;
общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;
частное реш – е ищем в виде: ;
рассм.
;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:
рассм. ; ;
опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
реш. зад. Коши (1) - (4): .
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;
рассм.
;
;
;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;
где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;
рассм.
;
;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2):
след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и
а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде , а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:
рассм.
;
;
общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
.