7

Диф. уравнения Вариант 1

Задача 1.

- зад. Коши; ур. (1) – ур. с раздел. перем.

; ; ;

; ;

; ; ;

пост. опр – м из нач. усл. (2): ;

возможен лишь знак «+», т.е. ; ; ;

- интеграл зад. Коши (1),(2)

или реш. зад. Коши (1),(2): .

Задача 2.

, (1) – ур. с раздел. перем. ; ;

;

;

; общ. реш. ур. (1): .

Задача 3.

, (1) ; (1a)

в прав. части ур. (1а) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю , тогда

, ; ; ; ;

; , - общий интеграл ур-я (1).

Задача 4.

, (1) рассм. , (1а)

в прав. части ур. (1а) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю ,

тогда , ; ; ;

; ; , - общ. реш. ур. (1).

Задача 5

, (1) ; ;

, (1а) - лин. неодн. ур. 1 пор.;

примен. метод Бернулли, т.е. положим , тогда ;

; ;

рассм. вспом. ур. , (3) ; ; ; ;

рассм. частн. реш. ур. (3) и подст. его в ур. (2):

; ; ;

;

рассм.

;

;

общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид: .

Задача 6

, (1) , (1а) - лин. неодн. ур. 1 пор.;

примен. метод Бернулли, т.е. положим , тогда ;

; , (2)

рассм. вспом.ур. , (3) ;;;;

рассм. частн. реш. ур. (3) и подст. его в ур. (2): ;

;

; общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид:

.

Задача 7 - зад. Коши.

Ур. (1) – ур. Бернулли ; применим метод Бернулли, т.е. положим ,

тогда ; ;

; (3)

рассм. вспом. диф. ур. , (4) - ур. с разд. перем.;

; ;;;

рассм. частн. реш. ур. (4) и подст. его в ур. (3):

; ; ; ; ; ; ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: ;

пост. опр – м из нач. усл. (2): ; ; ; реш. зад. Коши (1),(2): .

Задача 8

, (1) или , (1а) - лин. неодн. ур. 2 пор.;

ур. (1а) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю , тогда ;

; (2) - лин. неодн. ур. 1 пор.;

примен. метод Бернулли, т.е. положим , тогда ;

; , (3) рассм. вспом.диф.ур. , (4)

; ; ; ;

рассм. частн. реш. ур. (4) и подст. его в ур. (3): ; ; ;

общ. реш. ур. (2) имеет вид: ; рассм. теперь ;

общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид: .

Задача 9

(1)

ур. (1) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю ,

тогда ; , (2)

в прав. части ур. (2) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю ,

тогда , ; ; ;

; ;

- общ. реш-е ур-я (2); рассм. теперь ;

;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 10

- зад. Коши.

Ур. (1) не содержит явно аргумент , введём новый аргумент и новую неизв. функцию ; тогда ; , - ур. с разд. перем.;

;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3):

при

пост. опр – м. из нач. усл – я (2):

- реш – е зад. Коши (1) – (3).

Задача 11

- лин. однор. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур.:

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 12

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

т. ; прямая .

Найти интегральную кривую ур – я (1), к – рая касается прямой в т. .

Пусть ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: ;

так как кривая проходит через т. , то , а так как кривая в

т. касается прямой , то , след., данная задача представляет задачу Коши (1) – (3) для ур – я (1) с нач. усл. (2) – (3).

Рассм. хар. ур. для ур – я (1):

общ. реш. ур. (1) имеет вид: ,

рассм. ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3):

ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского ,

след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш-я

след. ур-й: ; ;

, причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ;

рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде

, а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм. ;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: