7

Диф. уравнения Вариант 4

Задача 1

– зад. Коши;

уравнение (1) – ур - е с разд. переменными; ; ;

рассмотрим

; ; или , - общ. интеграл уравнения (1);

пост. опр – м из нач. усл. (2) :

, - интеграл задачи Коши (1), (2).

Задача 2

, (1) или , (1а) - ур - е с разд. переменными;

; ;

,

общее решение ур (1):

Задача 3

, (1) ; ; (1 а)

в правой части ур. (1а) – однор. ф - я; введем новую неизвестную ф - ю ;

тогда ; ; ; ;

; ;- общий интеграл уравнения (1).

Задача 4

, (1) , (1а)

в правой части ур. (1а) - одн. ф - я; введем новую неизв.ф-ю , тогда ; ; ; разделим переменные: ; ; ; ;

, - общ интеграл ур-я (1).

Задача 5

, (1) или , (1а) - линейное неоднородное уравнение 1-го порядка;

соотв. однор. ур-е: , (2) разделим переменные: ; ;

, > 0; ; , ;

общее решение однородного уравнения (2): , ;

общее решение неоднородного уравнения(1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

; рассмотрим ;

; ; ;

общее решение уравнения (1): .

Задача 6

, (1) или , (1а) – лин. неоднор. ур. 1-го порядка;

соотв. однор. уравнение: , (2) ; ;

;

;

, > 0

; ,

общее решение однородного уравнения (2): ,

общее решение неоднородного уравнения (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

;

;

; общее решение уравнения (1): .

Задача 7

,

или , (1а) - уравнение Бернулли (n = -1)

применим метод Бернулли, т.е. положим , тогда ;

; ; (2)

рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение: , (3)

; ; ,

, ; рассмотрим частное решение уравнения (3) и подставим

его в уравнение (2): ; ;

; ;

рассмотрим

; ;

, > 0 ; ,

общее решение уравнения (1): , ;

постоянную С определяем из начального условия (2): , ;

решение зад. Коши (1), (2): .

Задача 8

, (1) или ,

, (1а) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка;

уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

введем новую неизвестную функцию , тогда ;

, (2) – линейное неоднородное уравнение 1 порядка

соотв. однородное уравнение: , (3) ; ;

, > 0 ;

; ,

общее решение однородного уравнения (3): ,

общее решение неоднородного уравнения (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

; рассмотрим: ;

; ; ;

общее решение уравнения (2): ;

рассмотрим теперь: ; ;

общее решение уравнения (1) имеет вид: , .

Задача 9

, (1)

уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

введем новую неизвестную функцию , тогда ;

; ; (2) - уравнение Бернулли (n=2);

применим метод Бернулли т. е. положим , тогда ;

; , (3)

рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение: , (4)

; ; , > 0

; ,

рассмотрим частное решение ур – я (4) и подставим его в уравнение (3):

; ; ; ; ;

общее решение уравнения (2): ,

рассмотрим теперь ; ;

общее решение ур - я (1): .

Задача 10

- зад. Коши; уравнение (1) не содержит явную аргумент х ;

введем новый аргумент у и новую неизвестную функцию;

тогда ; ; ;

1) ; ; - это противоречит начальному условию (2);

2) ; ; ;

постоянную С определим из начальных условий (2), (3):

; ;

рассмотрим теперь ; ; ;

постоянную определим из начального условия (2): ;

; ; ;

, - реш. зад. Коши (1)-(3).

Задача 11

, (1) - линейное однор. уравнение 2 порядка с пост. коэффициентами;

хар. ур-е ; ; ;

фунд. систему решений уравнения (1) образуют функции и ;

общее решение уравнения (1): .

Задача 12

, (1); т. М₀(0;1); прямая (m):.

Найти интегральную кривую (l) уравнения (1), которая касается прямой (m) в т. М₀.

Так как искомая интегральная кривая l уравнения (1) проходит через т. М₀(0;1), то

,(2), а так как кривая l в т. М₀ касается прямой m, то , (3), следовательно данная задача представляет зад. Коши (1)-(3);

уравнение (1)- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами;

хар. уравнение:;; общ.реш. ур-я (1): ;

рассмотрим

определим постоянные из начальных условий (2), (3):

; ;

уравнение искомой интегральной кривой (l): .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского

след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я след. ур – й:

;

; причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неодн. ур – я (1) ищем в виде: ;

рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

; ;

;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;