7

Диф. уравнения Вариант 11

Задача 1.

, (1) – ур-е с раздел. перем.;

– общий интеграл ур-я (1).

Задача 2.

Ур-е (1) – ур-е с раздел. перем.:

общий интеграл ур-я (1) имеет вид:

пост. C опр-м из нач. усл. (2):

инт-л зад. Коши (1), (2) : .

Задача 3.

ур. (2)- однор. ур-е. Введём новую неизвестную ф-ю тогда

Задача 4.

введём новую неизв. ф-ю , тогда

Задача 5.

лин. неоднор. ур-ие 1 пор.;

рассм. соотв. однор. ур.:

- общ. реш. одн. ур-я (2);

общ. реш-е неодн. ур-я (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х): ;

;

- общее реш-е ур-я (1)

Задача 6.

ур. (2) - лин. неодн. ур-ие 1 пор.; рассм. соотв. однор ур.:

, - общ. реш. одн. ур-я (3);

Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

- общ. реш. неодн. ур. (2) и след. ур. (1).

Задача 7.

Ур. (1) – ур. Бернулли ; применим метод Бернулли, т.е. положим ,

тогда

рассм. вспомогат. диф. ур.: - ур-е с разд. перем;

рассм. частн. реш. ур-я (4) и подст. его в ур-е (3):

- общ. реш. ур. (1); пост. C опр-м из нач. усл. (2):

- реш-е зад. Коши (1), (2).

Задача 8.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв. ф-ю тогда

- общ. реш. ур. (2);

рассм. теперь

- общее реш-е ур-я (1).

Задача 9.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-цию y(x); введём новую неизв. ф-ю тогда

- общ. реш. ур. (2); рассм. теперь

, - общ. реш. ур-я (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргум. y и новую неизв-ю ф-ю

тогда

пост-ю С опр-м из усл-я:

при x=0 y=0 и т.е. можно записать:

(возможен лишь знак “+”) - общ. реш. ур-я (4);

рассм. теперь:

пост. определим из нач. усл. (2): при x=0, y=0, т.е.:

- реш-е зад Коши (1) – (3).

Задача 11.

- лин. однор. ур. 2-го пор. с пост. коэф.;

рассм. хар. ур.:

след. фунд. с-му реш-й ур-я (1)образуют ф-ии и ;

общ. реш. ур-я (1) имеет вид:

Задача 12.

т. прямая (m): y = 4.

Найти интегр. кривую (l) ур-я (1), к-рая касается прямой (m) в т. .

Так как искомая кривая (l) (y=y(x)) ур-я (1) проходит через т.

то можно записать: y(0)=4 , (2); т.к. эта кривая (l) в т. касается прямой (m) (y = 4), то вып-ся усл-е: след., данная задача предст. собой задачу Коши (1) – (3) для ур-я (1).

Ур. (1) – мин. однор. ур. 2-го пор. с пост. коэф.; рассм. хар. ур.:

след. общ. реш-е ур-я (1) имеет вид:

рассм

нах-м теперь пост. из нач. усл-й (2), (3):

ур-е искомой интегр. rривой ур-я (1) имеет вид:

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я

след. ур – й:

;

, причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м пост. : ;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ; рассм.

;

; ;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде ,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм. ;

;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .