защемленной балки, то в неизвестные превра щаются в нуль, так как в указанном сечении угол пово та и прогиб будут равны нулю.
Если балка лежит на двух опорах (без консоли ил с одной консолью), тогда нужно определить только одно известное ^ 0 , так как прогиб на левой опоре (где р ложено начало координат) будет равно нулю. В этом слу ^Р0 находят из условия равенотва нулю прогиба над п вой опорой.
Для балки, лежащей на двух опорах, имеющей консо ли с обеих концов, необходимо вычислять две неизвестны величины и У>0 • которые находятся из условия ра венства нулю прогибов над опорами.
Пример 5.8
Определить прогиб и угол поворота в начале коорд нат для таврового сечения станины электродвигателя цент рифуги (см.пример 3.7).
Решение
Начало координат поместим на левом конце балки (рис.II.8) - ось направляем вверх и ось ОС - вправо.
£*/oo*r
£*50LM
РисII.8
Напишем универсальное уравнение (15.8) для раосматривае-
мой задачи:
z 3
В этом выражении не будет двух последних членов, так как отсутствует распределенная нагрузка.
По условию задачи М— 9<Ю K R M • G-^ iООк/Г
значения которых подставив в наше выражение, иыеем:
Угол поворота заданного сечения можно получить путем дифференцирования уравнения прогибов, т.е.:
при СЕ *» £ss52?<vy-угол поворота в заделке (см.рис.
I I . 8 ) будет равен нулю и тогда выражение (б) |
запишетс |
в следующем виде: |
g . |
|
Но из примера 3.7 имеем $*£Z£ |
см^ , а |
<у4*- |
Подотавив в это выражение числовые значения^ |
и U, |
получим: Фа о.ОООУ/"&- |
|
|
'Г в переводе на градусы
Зная, что прогиб в заделке равен нулю, т.е. при cCs= i.iS'SOcM и подставляя значение в
выражение (а), получим:
8 н а к ИИН
« -0102.СН = -Ю12н^ У° Указывает,
что прогиб направлен вниз.
Пример 6.8
Вычислить прогиб и угол поворота сечения балки
под точкой приложения веса редуктора и трансмиссии н соса (для перекачки мезги) Pf~ /ООкГ: (см.пример 5.7).
Решение Поместий начало координат па левой опоре А (ри
12.8), т.е. ось |
направим вверх и ось-Я? - вправо. |
А |
|
|
|
|
|
|
|
Pi'foour^ |
|
|
|
|
Р-15ОХР |
|
|
|
|
Еуч. |
Шуи. |
(Eyv. |
' |
|
<7,з- |
0,Ь- |
• 0,1- |
0,4- |
|
|
|
X - |
|
|
|
|
|
Рис.12.8 |
|
|
|
Напишем универсальное уравнение |
(15.8) для послед |
него (четвертого) участка балки, т.е.: |
3 |
Следует заметить, что в начале координат (на оп А) прогиб будет равен нулю, т.е. < ^,= 0« Окончательно наше выражение перепишется так:
i'^irttr |
# |
я |
3J |
-> |
<а> |
Подставим в выражение |
(а) вместо |
СС * |
130 см, по |
лучим, что |
• 0 (на опоре В), т.е.: |
|
|
0=%>teo+fzf[l- в-3'о*- 2- ? -/* V*]
Произведем соответствующие вычисления, учитывая,
В^2i0 "c/va будем иметь:
О^Уо/ЗО* 0ТКуда
Здесь J момент инерции для двух равнобоких уго ков, который можно найти из справочника в зависимости от найденного момента сопротивления для одного уголк
W = 15 см3 (см.пример 5.7).
Для рассматриваемого второго участка (где нужно определить прогиб и угол поворота под точкой приложе
силы Р,= 100 кГ) выражение |
будет записано в следую |
щем виде: |
^ з |
, „ 1-3- |
При |
* 60 найдем прогиб в месте приложения сил |
который выразится следующей формулой:
Дифференцируя это выражение, для второго участка
находим угол поворота в заданном сечении, т.е. -in -/. J га ~~-2 г\/*__ пл)2-7
Полагая для примера U- 500 см\ получим:
Тх=4ь 3BD SJL г! г! -J
Подставляя числовые значения, будем иметь:
(О |
=jf |
—• + |
-l-7^3S^tis^% |
hc~eo |
з-zfof.s-oo |
£tt-soq_—j£- я, J |
Затем вычислим прогиб в исследуемом сечении:
t*&* &hri зг'-l-
Анализ рассмотренных примеров дает возможность установить порядок решения задач определения перемеще ний при изгибе в балках постоянного сечения методом чальных параметров. Он сводится к выполнению следующи операций:
1. Вычислить опорные реакции.
2.Выяснить значения известных начальных парамет ров, а также выявить, какие начальные параметры неиз вестны.
3.Применить универсальные уравнения изогнутой оси (14.8) и (15.8) для составления выражений прогибов и лов поворота тех сечений для которых заранее извест величины этих перемещений. Кроме известных начальных раметров и нагрузок в эти выражения должны входить неизвестные начальные параметры.
4. Решить указанные уравнения и определить неиз вестные начальные параметры, а затем по этим формулам вычислить искомые углы поворота и прогиба в заданном чении балки.
§ 5.8. Теорема о взаимности работ внешних сил. Теорема Бетти
Как известно, под действием внешней нагрузки прои ходит деформация стержня. Эта теорема может быть при нима для любого бруса л при любой нагрузке. Деформа стержня вызывает перемещения (прогибы и углы поворота)
взаданном сечении.
Всвязи с этим, рассмотрим растяжение стержня пе менной жесткости, закрепленной левым концом (рис.13.8,а
У, |
|
Pt'P |
Р+2Р-ЗР/ |
|
|
Г |
|
|
1, |
3 |
и |
зе |
|
Рис.13.8,а
Ьредставим, что этот стержень растягивается двумя осе выми силами Р и ЕР, приложенными'в заданных сечениях В и С. В этом случае в заделке А эти силы будут у вешиваться реакцией ЗР (рис.13.8,а). Выясним растяжение этого стержня при последовательном действии нагрузок P и P^. На рисунке 13.8,6 изображена сила Рр= Р , дейст вующая статически на свободный конец С стержня, кото
вызовет растяжение всего стержня АС. В той случае, когда сила Pj достигнет своего конечного значения, упр гая деформация стержня прекратится.
PfP
*3
Рис.13.8,6
На рисунке 13.8,в показан случай растяжения стерж ня, когда ири продолжающемся действии постоянной по ве личине силы PJ = Р присоединена статически нарастаю щая сила Рд a 2Р, приложенная в сечении В.
Рис.13.8,в
Вследствие чего эта дополнительная сила /° вызо вет добавочное растяжение левой части стержня на учас ке длиной 38- . При этом правый крайний участок стерж ВС (длиной £, ) не будет деформироваться, а соответст-
венно переместится вправо, что вызовет смещение точки С. В связи о этим приложенная в точке С сила Pj • Р (постоянная по величине) произведет работу на переме щении, вызванном в сечении С действием второй нагрузк
Fff , статически нарастающей от нуля до своего конеч го значения 2Р.
Если отложить на оси ординат соответствующие зна чения величин действующих сил, а на оси абсцисс - пер мещения, то этот случай растяжения стержня можно пре ставить диаграммой, изображенной на рисунке 14.8.
Рис.14.8
Как видно из диаграммы, работа статически нарас тающей силы (ЗР) может быть выражена площадью треугол ника Ocf/C (рис.14.8), где основание О/С^А дает конечную величину упругого перемещения, а высота
с//С — ЗР* , соответствующее конечному значению стати ческой нагрузки. Предположим, что нагрузка (ЗР) состои ив двух составных нагрузок, т.е. Р, -&Р# — ЗР Можно заметить, что работа силы ЗР будет состоять с ветственно из работы статически нарастающей силы Р/ ^т.е.площадью ДОС& с упругим перемещением A^jvi
работы статически нарастающей .силы pf с упругим пере мещением АН , как изображено на рис. 14.8. В этом слу чае общее перемещение будет соответственно равно:
Исходя из диаграммы, работа будет включать три слагаемых; -
В этом уравнении ( I ) третий член Д/2 = ^А// будет выражать работу, производимую постоянной по вели
чине нагрузкой Р/ на перемещении АЦ |
, вызванной |
1.од действием второй нагрузки Plt |
и изображается на |
диаграмме площадью прямоугольника |
вс£К |
. Первые |
два члена этого уравнения выражают соответственно раб ты, производимые по отдельности нагрузками и Р# за период их нарастания от нуля до конечных значени
Бели бы порядок приложения сил к стержню был из менен, т.е. сначала приложить силу Ри , а затеи си лу Р, , то суммарная работа в этом случав не изме лась. Только индексы у соответствующих сил и у перем ний поменялись бы местами, т.е. работа была бы выраж
следующей формулой:
/ |
7 |
- |
( |
2 |
) |
|
где третий член ( |
Ри |
At |
) этого уравнения выражает |
работу, производимую постоянной по величине силой Pv |
на перемещении А/ |
. вызванной силой Р. |
Из уравнений ( I ) и (2) вытекает, |
что общая работ |
выражаемая площадью треугольника |
OdK |
будет равна |
# в ^ й |
и, следовательно, |
в обоих случаях одинако |
ва. Поэтому можно приравнять правые части этих уравне ний, т.е.
После соответствующих сокращений, получим, что
Следует заметить, что эта формула пригодна к ура новешенным системам любых нагрузок. Из указанной форму вытекает, что работа первой силы на перемещени , вызв ным второй силой, равна работе второй ФИЛЫ на перемещ ни , вызванном первой силой. Это положение носит назв ние теоремы Бетти.
§ 6.8. Теорема о взаимности перемещений. Теорема Максвелла
Раосмвтрим чаотный случай, когда силы, приложенные
кбалке, будут равны единице, т.е. Pj » Р2 • I . С этой целью разберем два соотояния системы. В первом состоян
ксистеме приложена лишь одна сила Pj • I , а во вто
