Внашей случае в левой части балки действительной балки момент инерции в 7 раз больше, чей в правой.
Всвязи с этим, эпюру изгибающего момента заданной (действительной) балки на участке ВС нужно перенести как фиктивную нагрузку в 7 раз увеличенной, а эпюру моментов на участке АВ перенести на фиктивную балку без изменений (рис.7.8,в), Найдем прогиб заданной бал ки на свободном конце в точке Д, который будет раве моменту от фиктивной нагрузки М<р » деленному на же кость EU балки. Он равен:
где lOf |
, l^z. » 6^3 |
" Равнодействующие отдельных |
частей фиктивной нагрузки |
; |
|
@i |
' |
» ^ 3 |
~ Расстояния этих равнодейст |
вующих до точки Д (рис.7.8,в). |
|
|
Вычисляем отдельные величины, входящие в выраже |
ние ( I ) , получим: |
|
|
|
|
как видно из рисунка (7.8,в) |
_ |
Подставляя полученные значения в выражение ( I ) , получим прогиб в заданном сечении: г г
Угол поворота на свободной конце будет равен поп речной силе Qtp , деленной на жесткость EJ . Для на шего случая будем иметь:
' |
1 |
, откуда по |
лучим фиктивную поперечную силу, |
т.е.: |
Как видно из рассмотренного примера консольной ба ки согласование краевых условий требует изменения схемы балки, т.е. в этом случае фиктивная нагрузка приклады вается не к заданной балке, а к фиктивной. По этой чине стараются избегать использование графоаналитичес кого способа для определения перемещений в указанных балках.
Указанный способ широко используется только для простых балок.
Анализ рассмотренных примеров дает возможность ус тановить следующий порядок решения графоаналитическим способом:
1. Построить эпюру изгибающих моментов от заданной
нагрузки.
2.Выбрать конструкцию фиктивной балки.
3.Принять эпюру изгибающих моментов заданной ^
Очзйствительной) |
балки за условную нагрузку ( |
) |
фиктивной балки, |
т.е. разделив ординаты эпюры на жест |
кость EJ |
|
|
4. Определить прогиб в любом сечении от заданной
нагрузки, который будет равен моменту от фиктивной на грузки Mf> , деленному на жесткость балки EJ , а угол поворота - поперечной силе О^о * деленной на жесткость Е7 •
§ 4.8. Обобщенное (универсальное) уравнение изогнутой оси балки. Метод начальных
параметров
Рассмотренный ранее способ непосредственного ин тегрирования предусматривает для каждого участка балки составление выражения изгибающих моментов и затем ин тегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, что является затруднительным.Если балка име
несколько участков (больше двух), то целесообразно поль зоваться методом начальных параметров. В этом случае исключается необходимость в составлении выражений из гибающих моментов и последующего интегрирования диф ференциального уравнения изогнутой оси балки. Это поз воляет независимо от количества участков балки иметь число постоянных не больше двух, так как постоянные тегрирования ( С и Д ) будут одинаковыми для всех уча стков балки. Для вычисления перемещений указанным ме тодом достаточно написать лишь одно уравнение для по следнего участка балки.Это уравнение пригодно и для л бого участка, опустив из него члены, не относящиеся рассматриваемому участку. Выясним условия, при которых
|
|
|
|
могут быть получены одинаковые постоянные ( |
= 0^ а.. |
= С и стЬ1 = |
= |
= ^ ) при интегрировании |
дифференциального уравнения изогнутой оси. Они состоят в следующем:
Рекомендуется начало координат располагать на левом конце направляют вверх и ось £С - вправо. В этом случае при вычислении момен тов будем рассматривать часть балки, имеющую начало координат.
Если равномерно распределенная нагрузка занимает только часть пролета балки (рис.8.8,а), то ее нужно продолжить до конца балки, но одновременно приложить
на свободной части пролета балки нагрузку той же инт сивности и равную добавленной, но противоположного зна ка (рис.8.8,б).
На рис.8.8,а показана балка, для которой требует ся найти прогиб и угол поворота на ее свободном кон в точке Д.
На рисунке 8.8,6 две добавленные нагрузки показаны пунктиром на участке балки БД.
На рис.8.8,в показан участок о равномерно распре деленной нагрузкой, который начинается не в начале ко ординат и доходит до конца балки. В этом случае нет обходимости добавлять нагрузки.
Интегрирование дифференциального уравнения должно производиться без раскрытия скобок, т.е. вновь вводимые в последующие участки балки выражения изгибающих момен тов должны содержать множитель (CC-CL.) , равный еди нице, где CL - означает расстояние от начала координат до сечения, в котором приложен силовой фактор.
Используем последнее условие для балки, нагружен ной сосредоточенным моментом /?7 (рис.9.8).
/77
Я
М
1
Рис.9. '
Как видно из этого рисунка можно определить опо
ные реакции: Z |
M f i ! S . 0 ; |
fr?-&£-0 |
|
откуда находим: В= |
.Аналогично вычисляем опор |
ную реакцию в опоре А. ЖМа-0) |
/V-/?£-0 |
тогда Д=- |
. Как уже условились, |
что при составле |
нии изгибающего участка для П участка балки (участок КБ на рис.9.8) заданный момент умножаем на ( ) .
Запишем дифференциальные уравнения изогнутой оси балки
|
|
|
|
(2.8) для рассматриваемых участков |
ffK и КЗ указан |
ной балки, а затем проинтегрируем их. |
Для участка /7Л"(в сечении X. |
) имеем: |
BJ^^z |
~ ~^"ЭС |
проинтегрировав это урав |
|
|
нение, получим: |
после двухкратного интегрирования этого уравнения сле дует:
^ # = - ? Г ^ С ' Х + % < |
(2) |
Для участка /СЗ (в сечении |
ЗГ, как показано на |
рис.9.8) соответственно будем иметь:
Произведя интегрирование этого уравнения, получим:
c i l )
Из рассмотрения этих уравнений нетрудно заметить,
что на границе участков, т.е. при ОС - ОС1а- CL |
будем иметь: |
|
|
Таким образом, |
подставляя в уравнения ( I ) и ( I * ) |
ОС= ДГ/— CL и |
приравнивая их, имеем, что Cj = С2 . |
Аналогично, |
производя операции о уравнениями (2) и |
( 2 ' ) , получим, |
что |
= Д2 . |
Для определения произвольных постоянных используем условия закрепления балки. В рассматриваемой задаче име ем две шарнирные опоры. Поэтому мохно записать:
при £С=0 |
; |
У * 0 |
(в опоре А) из уравнения |
(2) получи, что |
Д,= 0. |
|
при SC^£ |
i |
^—О |
(в опоре В). Подставим эти |
значения в уравнение (2*) и, учитывая, что Д^ » Д2 • О,
будем иметь: |
ч |
2. |
откуда находим С |
2 |
, равное: |
п |
« |
|
M(e-Q) |
Выведем обобщенное уравнение изогнутой оси балки. Рассмотрим балку, к которой приложены нагрузки различног характера: пара с моментом fr] , сосредоточенная сила
Ри равномерно распределенная нагрузка (h (рис.
Выберем начало координа в точке 0. Причем, все нагрузки, приложенные к балке (рис.10.8) направлены та
ким образом, чтобы изгибающие моменты от них будут по
жительными.
р
в Н
U t i U
8
Рис.10.8
Следует заметить, что распределенная нагрузка не доходит до конца балки (на участ! ДЕ). Поэтому для получения равенства постоянных интегрирования добавля ем положительную нагрузку до конца балки и такую же рицательную нагрузку. Эти нагрузки на рисунке (10.8) показаны пунктиром.
Напишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки для последнего участка (ДЕ) и затем проинтегриру ем дважды, используя при этом условия, при которых о печивается равенство произвольных постоянных
Интегрируя это уравнение дважды, получим:
ByXugfc&gfi US*/- *%$ск*> (*)
Выясним физический смысл постоянных С и Д из рас смотрения изогнутой оси участка балки OA (рис.10.8). Из рисунка видно, что на первом участке балки (ОЙ) н грузка отсутствует. В этом случае дифференциальное урав нение изогнутой оси будет иметь вид:
~3xza^ проинтегрировав это уравне ние дважды, получим:
1
£ 7 j | « £ , (а) • ЭД-^Д *^
( в )
Обозначим тангенс угла наклона касательной и изог нутой оси в начале координат через , а прогиб в том же сечении через ^е> . Используя уравнения перво го участка балки (а) и (б), находим углы наклона каса тельной и прогиб при — 0, получаем:
£УУе>*% (13.8)
Из этих выражений (12.8) и (13.8) следует отметить следующее:
Постоянная С есхь тангенс угла наклона касательной к изогнутой оси в начале координат, умноженной на жес
кость балки а постоянная Д - прогиб в начале координа
г
умноженный на эту же величину жесткости.
Подставим полученные значения произвольных постоян ных С и Д в уразнения ( I ) и (2) и, учитывая, что ука ные нагрузки, действующие на балку, могут встречаться неоднократно, эти уравнения будут иметь вид:
Следует отметить, что угол поворота может быть та же получен путем дифференцирования уравнения прогибов,
(15.8)
Уравнения (14.8) и (15.8) называются обобщенными универсальными уравнениями изогнутой оси, где CL « В ' •
С. % d - обозначают соответствующие расстояние от на чала координат до сечения, где приложен силовой фактор
|
|
|
|
|
- угол поворота в начале координат; |
Ua - началь |
ный прогиб, т.е. в начале координат. |
* |
Нагрузки p-s. Q0 |
и |
М^-Мо , приложенные к |
левому концу (там, где начало координат) |
и соответствую |
щие перемещения fo |
и |
<£о |
э^ого конца называются на |
чальными параметрами. Пс*1 ому уравнения (14.8) и (15.8) иногда называют уравнениями метена начальных параметров.
Пользуясь этими уравнениями при вычислении прогибов и углов поворота, нужно учитывать только вое нагрузки (опорные реакции и внешние нагрузки), расположенные сле ва от рассматриваемого сечения.
Как правило, начало координат размещают в том се чении, для которого значения ^ 0 и ^ известны.Если начало координат будет совпадать с местом заделки для
