ствием силы по прямолинейному отрезку," и требуется найти работу, производимую силой при перемещении точки на протяжении заданного отрезка. Такая задача типична для интегрального исчисления. Исходя из этого частного примера, задачу интегрального исчисления можно сформулировать в общем виде как задачу уста новления свойств явления «в целом» (на протяжении заданного отрезка, промежутка времени и т. п.) на основании его характеристики в точке (на основании мгновенной, местной характеристики).
Из предыдущего известно, что вычисление работы силы сводится к вычислению предела интегральной сум мы, т. е. к вычислению определенного интеграла (§ 90). То же самое имеет место при решении всякой задачи рассматриваемого типа.
На первом этапе развития интегрального исчисления все задачи этого вида решались прямым вычислением искомого предела интегральной суммы; именно таким путем были решены некоторые задачи уже в древности (Архимед). Но при таком подходе к делу каждая новая задача интегрального исчисления требовала изобретения особых способов для вычисления предела каждой полу чаемой интегральной суммы. Общего способа для вы числения пределов интегральных сумм не существовало.
Между тем простое сравнение самой постановки за дач дифференциального и интегрального исчислений показывает, что задачи этих двух типов являются в пол ном смысле слова взаимно обратными. Указанное об стоятельство не могло не направить мысль ученых на отыскание с в я з и м е ж д у д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и и н т е г р а л ь н ы м и с ч и с л е н и я м и . Такая связь и была обнаружена еще до появления работ Ньютона и Лейбница. Эта связь состоит в том, что производная
переменной |
площади, |
т. е. производная интеграла |
jf(x)dx |
по x равна |
подынтегральной функции f(x). |
а
Вслед за ьтем было обнаружено, что определенный ин-
теграл J f(x)dx, являющийся пределом интегральной
а
суммы, оказывается в то же время равным разности значений любой первообразной F(x) для подынтеграль ной функции f{x) при значениях аргумента, равных
верхнему и |
нижнему |
пределам интегрирования, |
т. е. |
|
ь |
|
|
|
|
\f(x)dx |
= F{b)-F{d), |
|
(1) |
|
а |
|
|
|
где функция |
F(x) такая, что F'(x) = |
f(x). |
|
Благодаря этому открытию прямое вычисление опре |
деленного интеграла |
как предела |
интегральной |
суммы |
2 f(x) • Ах |
оказалось |
возможным |
заменить действием, |
обратным дифференцированию. Таким образом, задачи второго типа приобрели для своего решения общий ме тод.
Именно поэтому изучение интегрального исчисления мы начали с рассмотрения действия, обратного дейст вию дифференцирования, т. е. с неопределенного инте грирования.
Великая заслуга Ньютона и Лейбница состоит в том, что они полностью выяснили глубокую связь между дифференциальным исчислением и интегральным исчис лением и, последовательно используя эту связь, создали единую математическую теорию — анализ бесконечно малых (см. стр. 10—11). В математической литературе
-приведенная выше формула (1) часто именуется фор мулой Ньютона — Лейбница; это наименование напоми нает о заслугах этих двух гениальных ученых перед наукой.
Связь дифференциального и интегрального исчисле ний являет собой пример диалектического развития нау ки: два учения, противостоящие друг другу на первых этапах развития, образуют затем диалектическое един ство.
Ньютон и Лейбниц ввели в математику |
бесконечные |
ряды, ставшие |
существенным |
орудием |
исследования |
в математическом |
анализе. |
|
|
Труды этих великих ученых послужили мощным |
толчком как к развитию в X V I I I |
веке самого математи |
ческого анализа, так и к созданию новых областей в ма тематике (дифференциальные уравнения, элементы основ теории которых изложены в настоящем курсе, вариационное исчисление, начала интегральных уравне ний и т. д.). Развитию математики способствовало и бурное развитие естествознания и техники. Возникав шие в естествознании проблемы ставили перед матема тикой задачи, требовавшие быстрого разрешения. Про-
никновенне математических методов в науки, связанные с изучением явлений реального мира и даже простой практики, способствовало развитию и самой матема тики. За короткий срок математика обогатилась важ нейшими, фундаментальными достижениями. Однако накопление, так сказать, математических фактов оста валось долгое время без достаточно прочно построен ного логического фундамента, и отсутствие обоснования основ математического анализа грозило остановить рост и самой математики. Поэтому творцам в области мате
матики пришлось обратиться к ревизии |
и укреплению |
логического фундамента математической |
теории, |
что и |
было осуществлено, начиная с двадцатых |
годов |
•XIX века, трудами крупнейших ученых этого столетия •(Коши, Абель, Вейерштрасс, Дедекинд, Кантор). На ряду с ревизией и укреплением фундамента продолжа лось и продолжается до снх пор построение и самого здания математики. Продолжается проникновение ма тематики в область естествознания и техники. Матема
тические методы используются теперь |
и в биологин, и |
в медицине. В свою очередь, развитие |
техники требует |
от технических работников овладения |
математическими |
методами в гораздо большей степени, чем это требова лось хотя бы десять лет тому назад. Управление совре менными сложными машинами, используемыми на про изводстве, умение обращаться со счетно-решающими электронными устройствами требуют от технических ра ботников большого теоретического образования. А так как основой теоретических инженерных дисциплин яв ляется математика, то роль математики в техническом образовании в наше время является решающим эле ментом в формировании специалистов.
