Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тарасов, Н. П. Курс высшей математики для техникумов учебник

.pdf

Скачиваний:

231

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4440 41 42 43 44 > Следующая >>>

Чтобы ответить на вопрос, поставленный в задаче, надо, поль зуясь этой зависимостью, определить значение / при Т = 30. Поло жив в равенстве (Б) Г ==_ 30, получим

					10	=	8 0 ( і ) 2 0 ,
	t							t
/	1 \~äö~	I	/	1	\з	следовательно,		t	=	3 и / =	60.
откуда l-g J =		l f	\ 2	/	'	следовательно,		-щ	=	3 и / =	60.
Итак,	тело	охладится			до		температуры	30°	в	течение	часа.
П Р І І М Е Р -		4 .	Имеется			0,1 м' рассола,		содержащего			10 кг рас

творенной соли. В резервуар, в котором помещается раствор, втекает

вода	со скоростью 0,05 • І0~3 м3 /с, и смесь вытекает из	него с такой
же	скоростью, причем концентрация поддерживается	равномерной

посредством помешивания смеси. Сколько соли будет содержать рас

сол по истечении

часа?

Р е ш е н и е .

Пусть количество

соли,

находящееся

резервуаре

в момент времени і после начала

опыта,

равно

к.

Тогда

концентра

ция с раствора в этот момент

будет составлять

с <= -—- кг

на

1 м3 .

Если

скорость и з м е н е н и я

количества соли

в резервуаре

в мо

мент времени / определяется

производной

— f j - ,

то скорость у м е и ь -

ш е в в я количества выразится величиной

С другой стороны, так как рассол из резервуара

вытекает со

скоростью 0,05-10~3 м3 /с, то та

же

скорость уменьшения

количества

соли составляет

0,05- Ю~3-~

= 0 , 5 ' 10 - 3 x .

Таким образом, приходим

к уравнению

- ^ - - 0 , 5 - Ю~3х,

пли

— = - 0 , 5 - H T 3 d f .

Находим

общий

интеграл этого

уравнения:

I n * = - 0 , 5 - \ 0 ~ s - t + C.

Так

как при / <= 0 количество

соли

в растворе

составляет

10 кг,

то, полагая в найденном решении

х =

10 и / = . 0 , находим

значе

ние С:

С = In 10.

Следовательно, количество соли, содержащейся в растворе

в мо

мент времени і, определяется

из

соотношения

In л => -

0,5- lQ~3t +

In 10.

390

Положив		здесь t = 3600 с,		получаем
или		In x = - 0 , 5 -		10~3 -3600-f		In 10,
		In х = — 1,8 + Іп 10.

Пользуясь таблицей натуральных логарифмов, находим количе
ство соли	в	рассоле по истечении			часа после начала		опыта:
			x =	1,653 кг.
2. О д н о р о д н о е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в
н е н и е .	Рассмотрим		поясняющий			пример.	Пусть дано
уравнение
		x cos Л- dy	+ [х -		у cos	dx = 0.	(20)

Разделить переменные в этом уравнении не представ ляется возможным. Особенность этого уравнения, как мы сейчас увидим, состоит в том, что замена в функ циях

		Р (х, у) =	X cos J			H	Q (Jf, y) =		x — y cos		I -
переменных x и y соответственно								на	tx и ty оставляет
это	уравнение		неизменным.				Действительно,			произведя
такую		замену,	получим
		ix cos-j^		dy -f- [tx — ty cos -j^j dx =						0,
		/ j x cos ~		dy + [x —			у cos		d.vj =	0
и,	по	сокращении		на	t,	приходим		к	исходному		уравне
нию (20).
	Дифференциальное				уравнение			вида
		Р (х, У) dy + Q {x, у) dx = 0,									(16)

обладающее указанным выше свойством, называется од нородным.

Таким		образом,	для проверки,			является	ли уравне
ние	(16)	однородным,		нужно	в	функциях	Р{х,у)	и
Q(x,	у) переменную		х	заменить	на	tx, переменную		у—•

на ty, и если после элементарных тождественных пре образований мы вернемся к исходному уравнению (16),

то данное уравнение —однородное.
Оказывается, если искомую функцию у	представить
в виде
У = их,	(21)

391

где и — новая неизвестная функция, то однородное уравнение приводится к уравнению (относительно не известной функции и) с разделяющимися переменными.

Решив это новое уравнение и заменяя и на — (см.

( 2 1 ) ) ,

мы

получим

общий

интеграл

(или

общее реше

ние) исходного однородного

уравнения.

П Р И М Е Р

Проинтегрировать

уравнение

cos -^- dy - f ^.v — y cos

—

= 0.

Р е ш е н и е .

Положим

(пли,

как

говорят,

сделаем

подстановку)

Отсюда

У —

их.

и dx

du,

v. данное уравнение

обращается

в уравнение

или

cos

и {и dx

x du)

-\- [х — их

cos

и) dx =

x [и cos

и dx +

x cos и du

— и cos н dx]

= 0;

сократив обе части уравнения на

.ѵ

и сделав

приведение подобных

членов,

получаем

уравнение"

л* cos и du

-f- dx

Разделяем

переменные:

cos

и du -\

= 0 ,

отсюда

j* cos

+ J* ~

= с,

и du

т. е.

sin и +

x [ =

или

In es i n " -f In I x I = In I С I,

xeiln

" =

Заменяя

на — ,

находим

общий

интеграл данного

уравнения

sin

—

дге

С.

(22)

Найдем еще частный интеграл данного уравнения, удовлетво

ряющий

следующему начальному

условию:

0 ( 1 ) = 0 .

Положив в (22) x =

1, у — 0,

находим значение

постоянной С,

отвечающее

начальному

условию

е°=С,

С = 1 .

392

Следовательно, искомый частный интеграл таков:

s i n - у

П Р И М Е Р 6. Найти форму прожектора, отражающего лучи,

исходящие из точечного источника • света О,	параллельно	данному
направлению.
Р е ш е н и е . Из соображений симметрии	следует, что	форма

прожектора представляет собой поверхность вращения некоторой

кривой

вокруг

своей

осп

симметрии (рис. 133). Следовательно, за

дача сводится к нахождению уравнения кривой.

За ось

Ох

примем

ось

вращения,

за положительное

направление

на

ней — направление

отраженных лучей; начало координат совме

щаем

с источником

света

О.

Пусть

М(х,

у)

— произвольная

точка

искомой

кривой,

ОМ —

луч, исходящий

из

точки

О,

• отраженный

луч,

МТ — касатель-

мая,

MN—

нормаль

кривой

. г/

точке

Ai.

Так

как

угол

падения

(между

падающим

лу

чом n

нормалью

кривой)

ра

вен углу отражения, то тре

угольник

OMN

оказывается

равнобедренным

н,

следова

тельно,

ОМ =

ON.

(23)

Имеем

ОМ =

)гОР<+

РМ2-.

Ух2

у2.

Длина

отрезка

равна

абсциссе

точки

пересечения

нормали с осью Ох. Обозначая

через

текущие

коорди

наты

точки

нормали,

пишем

уравнение

нормали

как

урав

V ,

нение

прямой

угловым

коэффициентом

проходящей

через

точку

M [x; у) :

• У - — І Х -

Полагая

этом

уравнении

Y =

0, находим

абсциссу

точки

Х =

х +

уу'

ON.

Теперь, в силу

(23),

получаем

дифференциальное

уравнение

Vx2

+ ,f-=x + y d x ,

у dy — (Vx2 - f y2

— x) dx =

333

Нетрудно убедиться, что это уравнение однородное. Сделав под становку

		у —их			(dy = и dx + л- du),
приходим		к уравнению
или		их (и dx + x du) - ( j V						+ и2х3 - x) dx = О
или
		и.ѵ rfK - [V\ + H2					- (1 + H2)] dx = 0.
Разделяем		переменные:	и du						dx
			и du						dx
		Г		-КГ+1Г2					AT'
откуда		Г	ц				rf«		Г rfx	(24)
откуда		J (1 + us) - ] Л ! + и2 ~							J ~ *


	Интеграл в левой части этого равенства находим при помощи
подстановки								•
		1 + и2		= z2			(z = КГТй5);
отсюда имеем				2г dz, и du — z dz
		2и Л/ =		2г dz, и du — z dz
н, следовательно,
	Г			-	f				Г _ Л _ .
	J ( 1 + н 2 ) + « =				J z2		— г	J	z - 1
(мы	не пишем In [ z — I \| ,			так как			z = V\	+	и2 > \| ) . Заметив далее,
что	—	—— === — In Ix	I =		+	In - — j - ,		и	представляя постоянную
интегрирования в форме			In \| С \|			в	силу (24)		находим
		l n ( z - 1) = 1 п - ~ + І п \| С \| ,
что	дает
		z — I =			— ,		z = H		.

A:X

З а ме н яя здесь z на У 1 + « 2 и а на — , приходим к соотношению

	A	x
Не вдаваясь в строгое	обоснование	дальнейших преобразова
ний, получаем
Ѵх2	+ у2 = x +	С,

х2 + уі = х2 + 2Сх + С2

и, наконец,

894

	Полученный результат показывает, что искомая кривая есть
парабола. Так			как отраженные	от	зеркала лучи идут	в 'положитель
ном	направлении оси Ох, то С >			0;	вершина параболы	лежит в точке
(	С	\
(	g".	0 J	(см. задачи 71—85 на стр. 90—92). Фокус параболы

совпадает с началом координат, где находится источник света. Таким образом, поверхность прожектора должна иметь форму,

образуемую вращением вокруг осп Ох найденной параболы. Поверх ность эта называется параболоидом вращения.-

3. Л и н е й н о е у р а в н е н и е .			Линейным	дифферен
циальным	уравнением	первого	порядка	называется
уравнение	вида
	y' +	P(x)y = Q(x).		(25)

Наименование этого уравнения объясняется тем, что искомая функция у и ее производная у ' содержатся в уравнении только в первых степенях и уравнение не имеет члена, содержащего произведение уу'.

Перед тем как найти общее решение уравнения (25), разберем на частном примере способ интегрирования линейного уравнения.

Пусть дано уравнение
У' +	\ у = х\	(26)

Будем искать его решение в виде произведения двух функций и и V переменной х, т. е. положим

отсюда			У = иѵ,					(27)
отсюда
		у'	= u'v	- f v'u,
и уравнение (27) преобразуется в уравнение
u'v + V'и +	-\|-	иѵ = х2	или u'v -\- и {v'		- f J - Vj =		x2.	(28)
Заметим	следующее: нам			нужно	найти	две	функции
и и ѵ; эти функции связаны лишь					одним	условием: их
произведение		должно	быть	решением уравнения				(26).

Поэтому одну из этих функций мы вправе выбрать про извольно. В целях упрощения уравнения (28) выберем

функцию V так,		чтобы	выражение		ѵ' -\— ѵ (стоящее
в (28)	в скобках)	обратилось		в нуль;	иначе говоря, возь
мем за	функцию	и одно	из	решений	уравнения
		і»' +	\| о	= 0.	(29)

ЗЭ5

Представив это уравнение в виде — - + ^ - = 0 и раз деляя переменные, получим

откуда
2	In I o \| = - 2 1 n \| x
V

(произвольную постоянную мы не вводим, так как

функцию	V выбираем	как	одно	из	решений уравне
ния (29)).
При таком выборе функции и				уравнение (28) при
водится	к виду			и
	—г =			и	л -V4.
	и'	ох-	ИЛИ du—г- =		л -V4.
	х-		dx
Отсюда	du — x4 dx, j	du —	j " x* dx

(здесь опустить произвольную постоянную мы уже не вправе, таккак из двух функции и и ѵ произвольно вы

брать можно только одну).
Мы положили у —		иѵ	(см. (27)). Следовательно, об
щее решение	исходного		уравнение (26)	получается
в виде	г А			с
( x S		1	x3 .
Применим теперь тот же способ решения к линей
ному уравнению	общего вида
i/		+	P(x)y = Q(x).	(25)

Полагаем у = иѵ (откуда у' — u'v -f- v'u) ; тогда уравнение (25) преобразуется в уравнение

u'v + иѵ' + Р (x) иѵ = Q {x)

или

396

Пользуясь правом произвольного выбора одной из функций и или V, выбираем функцию ѵ как одно из ре шений уравнения

Разделив переменные				в этом		уравнении, находим
			^-	=		-P{x)dx,
откуда
	d^	= - j	p	(x) dx,		In V = -		J P (x) dx
и
				-	f P (x)		dx
			V = e		J
При	таком	выборе	функции			ѵ	уравнение (30)			примет
вид
		-$P(x)dx			d	u
что	дает
Интегрируя,		находим			J P
		»-J	Q{x)eJ		J P	[x)	dx dx	+ C
и, наконец,
	У-	P (x)	dx	Q(x)e			P {x) dx	dx	+	(3D
	У-								+

Таково общее решение линейного дифференциального
уравнения (25).							c}.
П Р И М Е Р 7. При		постоянном			напряжении	V	в	цепи	по за
кону	Ома	V	=	RI,					(32)

где	R — сопротивление	цепи	и	/ — сила тока;		так	как	V	н R —
величины постоянные, то сила			тока		/ здесь также		постоянна. При

переменном напряжении V в ряде случаев наблюдается явление, называемое самоиндукцией, которое состоит в возникновении элек тродвижущей силы, пропорциональной скорости изменения силы тока /. Явление самоиндукции возникает, если например, в сеть включаются двигатели (а также при замыкании и размыкании тока постоянного напряжения). Скорость изменения тока есть пронзвод-

397

пая силы тока по времени: - ^ - • Если сила тока убывает

то возникающая электродвижущая сила действует в одном направ

лении с напряжением V, а если сила тока возрастает [^~jfir > oj>

то эта сила действует в направлении, противоположном V. Таким образом, величину возникающей электродвижущей силы можно

,dl

представить выражением —L-^j-, где L — множитель пропорцио нальности (коэффициент самоиндукции)- При наличии самоиндукции

соотношение	между	V, R и	/	выражается		уже не	равенством		(32),
а принимает вггд
		V	-	L ~	= RI,				(33)
так как теперь имеется добавочная электродвижущая							сила	— L	-jp-
Равенство	(33)	представляет			спбои	линейное	дифференциаль
ное уравнение первого порядка, в котором						/— неизвестная		функция
переменной t.	Переписав уравнение				(33) в	виде
		dt		L	L

и воспользовавшись формулой (31) для общего решения линейного уравнения, находим

, - . - ' * * [ / ( £ ; * - ) Л + с ]

или, так как R и L — постоянные ^а потому J"-j- dt =		-£- ' j ,
VeL	dt Ar С
§ 1/0. Линейные дифференциальные уравнения вто
рого порядка с постоянными коэффициентами.		Решение
однородного уравнения. 1. Уравнения вида
У" + РУ' + ЧУ =	Пх),	(34)

где р и q— числа, а у— функция переменной х, носят наименование, указанное в названии этого параграфа. Для случая, когда f{x) = 0, уравнение

ІГ + Р / + <Ю = Р

(35)

называется однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами или линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффи-

398

циентами без правой части. Уравнение (34) называют

неоднородным или уравнением с правой частью.

Многие вопросы механики, в частности вопросы, свя занные с исследованием колебательных движений, при водят к уравнениям указанных типов.

Рассмотрим, например, вертикальное колебание тела массы m, подвешенного на пружине, закрепленной од ним концом около положения равновесия О; в положе нии равновесия вес тела уравновешивается упругой си лон пружины. Если, оттянув пружину, вывести тело из равновесия, то оно начнет коле


баться около точки О (рис. 134).
На рис. 134 (положение {!))
изображена			пружина		без	подве
шенного к ней груза. После под
вешивания			груза под действием
тяжести mg тела пружина рас
тянется на длину s0. Рис. 134
(положение				(2))	изображает		f7j	/2>
положение			равновесия			груза.
Если,	оттянув			пружину,		вывести			(з)
тело	из	положения			равновесия,				(з)
то оно начнет колебаться около								Рис.	134.
точки О. Обозначим через s от
клонение		тела		от	положения		равновесия		в момент

времени / (рис. 134, положение (-5)). Отклонение s по


вертикали		вниз будем		считать	положительным,			а
вверх — отрицательным.				Таким	образом,		изменение
длины пружины в момент времени t складывается								из
величины		So и отклонения		s от положения			равновесия,
т. е. будет		равно s0 + s. Движение			тела	будет происхо
дить	под	действием	так	называемой		восстанавливаю
щей	силы	пружины,	сопротивления		среды, в которой			ко

леблется тело, и силы тяжести груза.

В обычных условиях восстанавливающая сила пру жины пропорциональна изменению длины пружины, а сила сопротивления среды пропорциональна скорости движения тела. Обозначим соответствующие коэффи

циенты пропорциональности через k	и /	(k >	0,	/ > 0 ) .
В положении равновесия вес mg тела	уравновешивается
восстанавливающей силон пружины,	так	что	mg	= ks0.

Направление восстанавливающей силы пружины про тивоположно направлению движения, а сила сопротив ления среды противоположна направлению скорости

399

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4440 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ