книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

динамики'. Ретроспективный обзор этих работ показывает, как рецептурные приемы устранения бес­ конечных значений приводили к проблемам радикаль­ ной перестройки современной физической картины мира, перестройки, включающей переход к новой кон­ цепции бесконечности мира.

Например, в электродинамике Фейнмана2 вместо дифференциальных уравнений гамильтоновского ти­ па используются фактически их решения. Подобный прием дает некоторые рецептурные результаты, ко­ торые, впрочем, могли быть получены и иными путя­ ми. Но в чем состоит принципиальное значение отка­ за от гамильтоновых уравнений и новых методов квантовой электродинамики? Гамильтонов форма­ лизм соответствует дифференциальному представле­ нию поведения элетромагнитного поля от мгновения к мгновению. В случае «реальных» фотонов, когда источник поля и поглощающее его тело разделены сравнительно большим расстоянием и промежутком времени и могут быть разграничены, применение га­ мильтоновых уравнений не приводит к затруднени­ ям. Но в случае виртуальных фотонов не так легко разграничивать излучение и поглощение поля, и со­ ответственно гамильтонов формализм приводит к су­ щественным трудностям. Идея Фейнмана очень близ­ ка к гейзенберговой идее, положенной в основу мат­ рицы рассеяния: в области, где происходит столкно­ вение частиц, мировые точки не следуют одна за другой в определенном порядке, процесс рассеяния1

1См. сб. «Новейшее развитие квантовой электродина­ мики». М., 1954.

R. F e y n m a n . «Phys. Rev.», 1949, 76, 748, 749 См.

перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электро­ динамики», стр. 138— 160, 161—204.

300

рассматривается как целое. Тем самым устраняется «недорелятивизм» гамильтоновых уравнений: в них состояние системы определяется для каждого после­ дующего момента по ее состоянию в настоящий мо­ мент, причем выделение момента времени является неинвариантной операцией относительно лоренцовых преобразований, в отличие от решений гамильтоно­ вых уравнений, кототрые инвариантны при указан­ ных преобразованиях. В электродинамике Фейнмана для ультрамикроскопических областей исчезает фи­ зический эквивалент деления времени и пространства на последовательные мгновения и точки, так же как это исчезало в любых областях при чисто интеграль­ ной аристотелевой трактовке движения. Аналогичным образом и другие концепции в новейшей теории кван­ тованных полей уже не исходят из существования бесконечно малых областей пространства и времени, в которых сохраняется однозначная последователь­ ность мировых точек.

Существование таких областей и является класси­ ческой презумпцией, ограниченной неопределенно­ стью сопряженных переменных, но отнюдь не ликви­ дированной в квантовой механике.

В 1949 г. в статье «в-матрица в квантовой элек­ тродинамике» 1 Дайсон писал о двух уровнях абст­ рактного анализа квантованных полей. Первые — бо­ лее абстрактный — соответствует гамильтонову фор­ мализму. Он основан на игнорировании атомной структуры тела, при помощи которого измеряются переменные данного поля. Точность измерений огра-1

1 F. D y s o n . «Phys. Rev.», 1949, 75, 1736. См. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинами­ ки», стр. 205—238.

301

ничивается лишь Двумя постоянными — скоростью света и квантом действия. Иными словами, классиче­ ская презумпция определенности динамических пере­ менных в каждой точке и в каждое мгновение ограни­ чена соотношениями неопределенности, а возмож­ ность определения физических величин в данное мгновение в конечных пространственных областях ограничена релятивистскими соотношениями.

Другая концепция ближе к действительности, точ­ нее, связана с меньшим уровнем абстракции. В ней учитывается атомистическая структура тел, при по­ мощи которых измеряются переменные данного поля, и точность измерения ограничена не только конечной скоростью света и дискретностью действия, но так­ же постоянной тонкой структуры и еще одной посто­ янной — значением массы электрона. Эти постоян­ ные характеризуют взаимодействия различных полей, ограничивающие точность определения каждой пе­ ременной данного поля.

13

Ультрарелятивистские процессы взаимодействия по­ лей могут сказываться лишь на значении собствен­ ной массы и заряда частицы и не сказываются на ее поведении в макроскопических областях, т. е. не на­ рушают макроскопического нулевого значения поля. Подобные ультрарелятивистские эффекты в вакууме не вытекают из интегральной характеристики прост­ ранства (нулевое значение поля, т. е. отсутствие взаимодействия данной частицы с другими) и не из­ меняют такой характеристики и всего, что из нее сле­ дует,— негативного определения пространства-вре­

302

метрики, выражающей длину отрезка через разности координат его концов; так метрика уступает место естественной метрике, а измерение уступает место счету. Здесь теряет свой смысл понятие инварианта координатных преобразований, и та или иная геомет­ рия Клейна не может описать особенности физиче­ ских процессов. Здесь сохранение определенной фи­ зической величины уже не связано взаимно однознач­ ным образом с инвариантностью соответствующего интеграла и не может быть выражено в виде нулевой дивергенции этой величины.

Ультрарелятивистские эффекты оказываются вне эрлангенской физики потому, что они состоят в ка­ чественных переходах частицы одного типа (кванта одного поля) в частицу другого типа (в квант другого поля). Их античным прообразом служит не аристоте­ лево «местное движение», т. е. перемещение (фора) а, скорее, «субстанциальное движение», т. е. исчез­ новение (ффора) и возникновение (тегцзьд ) тела. Не­ много позже мы внесем необходимые исправления в эту характеристику прообразов современного пред­ ставления о трансмутациях элементарных частиц. Сейчас остановимся на связи между неэрлангенским миром ультрарелятивистских эффектов, воздействую­ щих на собственную массу и заряд частицы, и эрлангенским миром, где частицы движутся с той или иной скоростью, неограниченной (механика Ньютона) или ограниченной (механика Эйнштейна), безусловно оп­ ределенной в каждой точке (классическая механика) или определенной за счет неопределенности коорди­ нат (квантовая механика). Какова связь между этими мирами? Если закономерности неэрлангенской физи­ ки нельзя вывести из макроскопических закономер­ ностей, то, быть мржет, удастся вывести макроскопц-

304

ческие закономерности из неэрлангенских закономер­ ностей ультрамикроскопического мира?

Здесь мы вступаем в область совершенно гипоте­ тических построений, которые очень далеки от одно­ значного качественного объяснения фактов и тем бо­ лее от строгой количественной теории, но могут ил­ люстрировать в некоторой мере характер тенденций, наметившихся в теории элементарных частиц, и по­ мочь исторической ретроспекции. Каковы бы ни были исторические прообразы, каковы бы ни были конкретные формы идеи квантованного пространствавремени, медленно пробивающий себе дорогу в современной физике, во всяком случае мы можем считать логически мыслимым представление об эле­ ментарных сдвигах-регенерациях с постоянной скоро­ стью, равной скорости света. Эти сдвиги образуют ультрамикроскопическую траекторию частицы. Ма­ кроскопическая траектория — результат большого числа подобных элементарных сдвигов. Макроскопи­ ческая траектория частицы с ненулевой собственной массой отличается от ультрамикроскопической тра­ ектории, и ее макроскопическая скорость меньше ультрамикроскопической скорости.

Мы приходим к негативному определению актуа­ льно бесконечного множества мировых точек. Но бес­ конечность этого множества условная. Она сохраня­ ется только в макроскопическом аспекте. В ультрамикроскопическом представлении она исчезает. Мно­ жество мировых точек бесконечно, множество прост­ ранственно-временных клеток в конечной пространст­ венно-временной области конечно. Бесконечность появляется при переходе от ультрамикроскопической траектории частицы к макроскопической траекто­

рии,

305

Уже в 20-е годы квантовые идеи дали толчок попыткам радикального отказа от понятия бесконеч­ ности в математике. Гильберт говорил, что квантовая теория ведет к атомистическим представлениям о про­

устраняет и бесконечность и ее противоречия, следо­ вательно, и парадоксы Зенона. По поводу апорий дихотомии Гильберт и Бернайс пишут, что простран­ ственно-временное представление движения не обя­ зательно применимо к областям, которые в настоя­ щее время не могут быть наблюдаемы2.

Вывод, относящийся к апориям Зенона, очевиден: если нет бесконечности, то нет и ее противоречий. Но вывод об ограниченной делимости пространства, о непрерывном пространстве как о приближенном представлении, разумеется, совсем не очевиден. Мы подчеркнем здесь одну сторону, дела, важную для историка науки. Из квантовой теории вовсе не сле­ дует однозначным образом существование атомисти­ ческой структуры пространства и времени, сущест­ вование далее неделимых конечных пространствен­ ных расстояний и интервалов времени. Гильберт экстраполировал наметившиеся в физике тенденции и исходил в своих математических построениях из веро­ ятной, но еще не построенной физической концепции. Это важный и, потвидимому, весьма плодотворный метод. Развитие квантовой механики и квантовой электродинамики сделало вероятным существование элементарных пространственно-временных клеток.

зоб

Но сейчас можно пойтй дальше й исходить, если не в математической теории, то в ретроспективных исто­ рических оценках, из новых тенденций релятивист­ ской квантовой механики и квантовой электродина­ мики. Если уже стать на путь Гильберта и оценивать понятие актуальной бесконечности с точки зрения еще не построенных в однозначной форме физиче­ ских теорий, то, пожалуй, имеет смысл учитывать при этом дальнейшие тенденции, выводящие соотно­ шения теории относительности из картины дискрет­ ных клеток пространства-времени. Тогда актуальная бесконечность пространства и времени вновь входит в картину мира, правда, на сей раз как приближенное представление, справедливое для областей, больших по сравнению с элементарными пространственно-вре­ менными клетками. Первая версия актуальной беско­ нечности как сосчитанной бесконечности принадле­ жит истории; вторая версия — понятие актуальной бесконечности, реализующейся в бесконечных множе­ ствах, обладающих определенной мощностью и соот­ ветствующих бесконечным многообразиям физиче­ ских свойств, связанных функциональной зависимо­ стью,— сохраняется в качестве приближенного пред­ ставления. Третья версия — актуальная бесконеч­ ность как результат статистической континуализации конечных множеств, бесконечность, появляющаяся при переходе от счета конечного многообразия дискретных объектов к измерению бесконечного ма­ кроскопически непрерывного многообразия.

Таким образом, понятие бесконечности и понятие относительности в историческом развитии последова­ тельно раскрывали свою логическую связь и воз­ можность аксиоматизации относительности на осно­ ве представления о не имеющем границ, негативно

307