номов Гурвица: 1) все коэффициенты Сь должны быть положительными; 2) нули и полюса реактансной функ
ции R(x, С) должны быть вещественными и положи тельными.
Если в результате вычислений получено физически нереализуемое решение, то следует изменить исходные данные задачи: увеличить (уменьшить) порядок фазо вого контура либо изменить наклон и подъем линейной части заданной ФЧХ, если это возможно по условиям решаемой задачи. Кроме этого, условия физической ре ализуемости можно ввести в число ограничительных не равенств при составлении матрицы L.
При определении ограничительных неравенств, обе спечивающих физическую реализуемость фазового кон тура, используется метод зон [34]. Сущность его состо ит в том, что по известному ориентировочному распре-
делению нулей и полюсов функции R(x, С) определяют
ся зоны, в которых полиномы числителя N(x, CN) и зна- —♦
менателя М(х, См) должны принимать плюс и минус. Важной особенностью метода зон является то, что он гарантирует перемежаемость необходимого числа ве щественных положительных нулей и полюсов функции
R(x, С), что является достаточным условием ее физи ческой реализуемости. Математическое выражение ха рактеристик этих зон позволяет составить ограничитель ные неравенства, дополняющие систему (10.50).
В соответствии с (10.50) для заданных d дискрет ных значений х составляется система ограничительных неравенств и формируется матрица L, решение которой позволяет получить оптимальные Ch, удовлетворяющие условию физической реализуемости. Однако практика расчета показывает, что необязательно составлять до полнительные ограничительные неравенства для всех зон. Более того, оказалось целесообразным задавать их только для зон, расположенных вне множества Е, т. е. вне диапазона аппроксимации (корректирования).
Помимо применения системы ограничительных не равенств, задачу синтеза фазового контура по заданной ФЧХ можно сформулировать, используя систему урав нений. Такой метод применяется в работе [67]. Сущест венное различие в математической формулировке зада чи заключается в том, что в первом случае число точек
аппроксимации не зависит от числа варьируемых пазоо
раметров, тогда как во втором случае число учитывае мых точек аппроксимации равно числу варьируемых па раметров. Казалось бы, в принципе, первый способ дол жен обеспечить более высокую степень копирования за данной характеристики. Однако практика расчета пока зывает, что оба метода по точности воспроизведения ха рактеристик примерно одинаковы, так как увеличение сложности заданной ФЧХ, как правило, приводит к воз растанию порядка синтезируемого фазового контура, а значит, и к увеличению числа варьируемых параметров. Этого оказывается достаточно, чтобы получить высокую точность воспроизведения заданной ФЧХ.
Рассмотрим методику составления уравнений и ал горитм расчета фазового контура по заданной ФЧХ или ее неравномерности для низкочастотной и полосовой си стемы [67].
Задача синтеза фазового контура для низкочастот ной системы может быть сформулирована следующим образом: по заданной непрерывной функции Ь3(ьз) тре буется найти коэффициенты Си полинома Гурвица V/(co) минимально возможной степени п и наклон ре зультирующей фазо-частотной характеристики т, при которых функция
Ab (to) = b (со) Ьа(со)—■тсо |
(10.51) |
в полосе частот корректирования О^со^Ссоь не превы сит по абсолютному значению величину АЬт.
Как видно из формулировки задачи и записи величи ны отклонения (10.51), функцию 63((о) можно тракто вать как ФЧХ или ее неравномерность, которая кор ректируется фазовым контуром. Поэтому к числу неиз вестных, вернее, к числу варьируемых параметров, кро ме коэффициентов Си полинома Гурвица, входят нак лон ФЧХ т и степень полинома п. Правда, два послед ние параметра нельзя считать независимыми друг от друга. При решении задачи обычно полагают п извест
ным |
и вместо минимизации Д6(со) |
минимизируют функ |
цию |
А (со) = tg (Д6(со)/2, требуя, |
чтобы она наименее |
отклонялась от нуля. Эта задача не может быть реше на аналитически и решается численными методами наи лучшего равномерного (чебышевского) приближения.
Теперь, когда известно п, формулировка задачи бу дет такой: пусть на отрезке {а, Ь\ задана непрерывная функция ф(Х). Требуется найти такие значения про
зе1
извольных параметров Cit С2 ... Сп функции f(x, Ci, Cz . . . Сп) определенного класса, при которых на отрез ке [а, 6] наибольшее по абсолютной величине значение функции разности A(x)=f(xi, Сь С2 ..., Сп) —ф(Х) бы ло бы минимально возможным, т. е. требуется найти та кие С*, при которых А(х) на отрезке [а, Ь] наименее от клонялась бы от нуля.
Невозможность получить точное решение, а также развитие ЭВМ привели к созданию численных методов. Е. Я. Ремез [58] разработал два алгоритма, каждый из которых позволяет получить последовательность мно гочленов, сходящихся к многочлену, наименее откло няющемуся от нуля.
При решении задачи с использованием второго алго ритма численного метода чебышевских приближений
Е. Я. Ремеза необходимо составить систему п + 2 |
урав |
нений, из |
которых определяются коэффициенты |
Си, |
т |
и значение |
± L (величину отклонения функции Д(<») |
от |
нуля). Если же п считать неизвестным, то число урав нений соответственно будет п+ 3. Для дальнейших рас
четов |
перейдем |
к |
нормированной |
частоте |
£2 = |
=■(о>/соо) |
|
(юо^шг) |
и запишем реактансную функцию фа |
зового контура (10.44) |
в виде |
|
|
|
|
|
Cm+2 P - C OT+3 Q3 + |
■ ■ • ( - ! ) 1С п & 1 |
(10.52) |
Д(Й) = |
С ^ |
+ |
• |
• |
. ( - i r C m+1Q’m |
|
|
С х - |
|
Введем |
обозначение гф(Q) = 1/2i[(oo7'£2—fr3(Q)], тогда, ис |
пользуя |
|
(10.51), |
(10.52) |
и |
(8.20), можем записать |
А <Й) = tg |
= |
tg |
|
- |
ф (Q) ] = |
tg [R (Q) - |
ф (й)1= |
__ |
R ( Q ) ~ 1дф(Я) |
|
_ R (Я) cos ф (Я) — sin ф (Q) |
(Ю 5 3 ) |
|
1 |
+ R (Я) tg ф (О) |
|
R (Я) sin ф (Я) + cos ф (Я) ’ |
|
|
sin ф (Я) + Д (Я) cos ф (Я) |
(10.54) |
|
cos ф (Я) — Д (Я) sin ф (Я) |
|
|
По выбранным п + 2 точкам аппроксимации £l(n, k) со ставляют систему расчетных уравнений (первое прибли жение) :
Д 1( Й 1.0 = |
- |
( - 1)“1'1 ' |
|
A i (^ 2 ,1 ) = + ( — 1)” ^ |
|
A (£2/i,i) ~ |
+ |
Li |
(10.55) |
|
A (£2n+i,i) = |
|
1Li |
|
A (Q„+2,i) = Li |
|
Чтобы преодолеть трудности решения системы нелиней ных уравнений (10.55), необходимо, прежде всего, за даться величиной т и уменьшить число уравнений, ис ключив, например, последнее. При выборе наклона ре зультирующей ФЧХ следует исходить из условия исклю чения отрицательного группового времени во всей поло се частот, т. е.
dQ |
(00Т |
db3(Q) - |
> 0 . |
(10.56) |
2 |
dQ |
|
|
Иногда бывает полезно сделать графическое построе ние результирующей ФЧХ и определить интересующие величины.
Порядок полинома Гурвица п обычно определяется по данным предварительных или аналогичных преды дущих расчетов. Если известна величина т, то ориенти ровочное значение п можно выбрать из соображений обеспечения перепада фазы характеристики, приходя щегося на рабочий диапазон частот. Практика расчета показывает, что для обеспечения требуемой точности корректирования используемый перепад фазы фазового
контура |
не превосходит (п— 1)я. |
Следовательно, |
(OqtQb—b3(Qb)s^ (п— 1)я, откуда |
|
|
п > 1 ~Ь |
b3(Q) |
(10.57) |
|
я |
|
|
|
После выбора значений т и п переходят к решению |
системы из |
( п + 1) ур-ний, аналогичной |
(10.55), которая |
при неизвестных L остается нелинейной. Для перехода |
к системе |
линейных уравнений пользуются обычным |
приемом — задаются величиной Li.i и исключают (п + |
+ 1)-е уравнение. |
Подставляя значение Ai(£2ft, jj из |
(10.55) в (10.54), |
получают систему линейных уравне |
ний, из |
которой определяют коэффициенты С&. Далее |
по ф-ле |
(10.53) находят значение A (Q) в точке Qn+i, i и |
сравнивают с принятым Liiit после чего определяют но
|
вое значение Li:Z и |
расчет повторяют до тех |
пор, пока |
|
не будет |
выполнено |
(га+ 1)-е |
отброшенное уравнение |
|
системы |
(10.55). Последующие значения Li,v |
рассчиты |
|
вают по рекуррентной формуле |
|
|
U |
^1,V— 1 £ ( |
, у —2 ) |
,у —2 £ ( ^ l , v — i ) |
(10.58) |
|
£( |
,у—2) |
5( ^l.y-l) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|(L 1>V) = ( - ! ) “A (Qn+1,b L,,v) - L , . v. |
(10.59) |
Величина и принимается равной единице, если функция A(Q„+i,i) должна быть отрицательной, если же она по ложительна, то и— 2.
Дальнейшим этапом расчета является процесс вы равнивания максимумов отклонения функции A(Q). По заданным значениям Си рассчитывают частотную зави симость A(Q), для которой отмечают точки £2&,2 макси мальных отклонений. Их берут в качестве точек аппро
ксимации для Л2(£2) и процесс расчета |
повторяют до |
тех пор, пока все максимумы (минимумы) |
не будут оди |
наковыми при минимальном L. |
|
Если система из (п + 2) уравнений вида (10.55) удов летворяется при значениях переменной до £2=0,85—0,9, то расчет можно считать закопченным. Если интервал приближения оказывается меньше, чем нормальный, то это свидетельствует о малом выбранном наклоне ре зультирующей ФЧХ и необходимо увеличить т, а при увеличенном интервале приближения необходимо умень шить наклон ФЧХ (уменьшить т).
При синтезе фазового контура полосовой системы не прерывная функция М®) задается в интервале коррек тирования [coj, ,со2], а результирующая ФЧХ корректора и корректируемой цепи вместо шт становится &0+т£0, где Ь0 — начальный участок, определяющий подъем ре зультирующей ФЧХ. Поэтому, в отличие от расчета фа зового корректора низкочастотной системы, здесь в чис ло варьируемых параметров будет входить также и Ь0.
Тогда согласно (10.55) |
имеем |
|
А b(ш) = b (и) + Ь3(со) — Ь0— тс>. |
(10.60) |
Вводя нормированную |
частоту £2 = (о/ш2, получим |
|
фп(Й)= |
|
(10.61) |
Выбирают ( п + 4) точек аппроксимации, для которых составляют систему из (п-\-4) уравнений вида (10.55). Задаваясь t, п, Ь0 и исключая два первых и последнее
уравнения, получают систему, которая решается таким же способом, как и для низкочастотной системы. Затем рассчитывают зависимость Ai(Q) и определяют макси мумы и минимумы; соответствующие им значения S2 ис пользуются для образования системы уравнений Д2(£2). Если при расчете A(Q) не проявляется экстремальное значение в низкочастотной части диапазона, то это оз начает, что выбранное значение Ь0 велико и его надо
уменьшить алгебраически (придавая отрицательные зна чения). Изменив Ьо, продолжают процесс выравнивания
максимумов до тех пор, пока не достигнут одинаковой величины отклонения Afc(Q) в диапазоне корректирова ния. Программа для расчета с помощью ЭВМ фазового контура по заданной ФЧХ и ее неравномерности приве дена в [67].
10.4. Пример расчета фазового корректора по заданной неравномерности ФЧХ
Рассчитать стандартный фазовый корректор для канала тч с эф фективно _ передаваемой полосой частот (ЭППЧ)—300-^-2700 Гц, неравномерность фазо-частотной характеристики которого приведена в табл. 10.1. Корректор должен компенсировать фазовые искажения импульсных сигналов так, чтобы амплитуда парных эхо-сигналов не превышала ду =0,15.
|
|
Т А Б Л И Ц А 10.1 |
|
|
|
f. Гц |
f, |
Гц |
|
f, Гц |
V'»)-" |
f, Гц |
йн(®).° |
300 |
0 |
1000 |
93 |
1600 |
—9 |
2200 |
—107 |
400 |
50 |
1100 |
79 |
1700 |
—26 |
2300 |
—111 |
500 |
86 |
1200 |
63 |
1800 |
—45 |
2400 |
—109 |
600 |
109 |
1300 |
45 |
1900 |
—64 |
2500 |
—92 |
700 |
116 |
1400 |
27 |
2000 |
—82 |
2600 |
—49 |
800 . |
114 |
1500 |
10 |
2100 |
—97 |
2700 |
0 |
В соответствии со схемой приближенного гармонического анали
за (приложение 2 ) точки аппроксимации определяются по формуле
/х—fcsin £15°. Для нашего случая имеем /с=2700 Гц, тогда точки аппроксимации и значения неравномерности ФЧХ будут:
/i = 699 |
Гц, |
6 i = 116°, |
Д = 2340 |
Гц, |
6 4= —112°, |
/а=1350 |
Гц, |
62 = 36°, |
/ 5= 2610 |
Гц, |
6 5= —45°, |
/з= 1910 |
Гц, 6 з= —65°, /в = 2700 |
Гц, |
66=0°. |
Это позволяет рассчитать коэффициенты тригонометрического поли нома (2.21) и (10.17):
С, = —23,2°, |
С3= 17,3°, |
С5= 43,5° . |
Си = 3,26°, |
Се=5,3°, |
С, = 5,26°. |
Для проверки точности аппроксимации и определения погрешности необходимо рассчитать значения функции при различных частотах (различных Ф) по формуле
б"(Ф) = г с ^ т ф - ) - 2С3 ЗФ . . . + 2Cu sin 11Ф. |
(10.62) |
Однако практически оказывается достаточно рассчитать значения аппроксимирующего тригонометрического полинома в узлах аппрок симации и между ними. Расчет значений аппроксимирующей функ ции в узлах аппроксимации удобно сделать по формулам:
*i=[C 1+ C u ] sin 15°+[С,+С,] sin 45°+[С 7+С,1 sin 75°;
1-
26а — [Cj — С5 —|—С7 —Сц ] sin 30° -)- [С3— С,] sin 90°;
2 |
63 = |
[С7 -)- С3 — Сг, — С7 -(- С„ )- Сц] sin 45°; |
|
64 = |
[Cj — С5 -(- С7 — Си ] sin 60°; |
2 |
65 = |
[Cj Сц] sin 75°— [Сэ -j- C,] sin 45°-]-[C5 C7] sin 15°. |
Для расчета значений аппроксимирующей функции для точек между узлами по ф-ле (10.62) полезно использовать данные табл. 10.2 .
|
|
|
ТАБЛИЦА |
10,2 |
|
|
ф,° |
|
sin Ф |
sin ЗФ |
sin 5Ф |
sin 7Ф |
sin 9Ф |
Sill 1 1Ф |
7,5 |
|
0,1305 |
0,3827 |
0,6088 |
0,7934 |
0,9239 |
0,9914 |
22,5 |
|
0,3827 |
0,9239 |
0,9239 |
0,3827 |
-0 ,3 82 7 |
—0,9239 |
37,5 |
|
0,6088 |
0,9239 |
-0,1305 |
—0,9914 |
—0,3827 |
0,7934 |
52,5 |
|
0,7934 |
0,3827 |
—0,9914 |
0,1305 |
0,9239 |
—0,6088 |
67,5 |
* |
0,9239 |
—0,3827 |
—0,3827 |
0,9239 |
—0,9239 |
0,3827 |
82,5 |
|
0,9914 |
—0,9239 |
0,7934 |
—0,6088 |
0,3827 |
—0..1305 |
Сравнение рассчитанных значений Ь(Ф) и заданных 6(Ф) с уче том приведенных выше значений С* дает заметное отклонение ха рактеристик в низкочастотной части диапазона. Для уменьшения отклонений рассматриваемых характеристик целесообразно придать неравномерности ФЧХ дополнительный наклон, как это сделано на рис. 10.2 сплошной линией. Тогда исходные значения функции в уз
лах аппроксимации будут: 6 1 = 190°, Ьг= 85°, Ь3 = —35°, 64 = -—98°,
Ьъ = —46°, 6в=0°, что дает следующие значения коэффициентов:
Ct = —10,4°, |
С3 = 37,9°, С5=53,8°, |
Ci1 = 3,72°, |
С9= 9,48°, С7= 11,5°. |
Погрешность аппроксимации (с учетом линейного_ наклона) в диа
пазоне корректирования не превышает .Омане —Ь—Ь= 1°. Пересчитаем значения коэффициентов полинома заданной неравномерности ФЧХ в радианы:
С,н = —0,1815, С3„=0,661, С5и=0,94,
Ciih= 0,065, С9н= 0,1655, С7и=0,205.
Рассчитаем коэффициенты линейного подъема ФЧХ. В соответствии с рис. 10.3, задаваясь значением q= 1 рад, определим ординаты для
точек аппроксимации и рассчитаем коэффициенты:
Ci, =0,1415, С з,=0,2095, С5, =0,124,
Си, =0,01545, С9?=0,0291, Си =0,0669.
Тогда исходные данные для расчета фазового корректора с учетом ф-л (10.10) и (10.34) можно записать:
Aj = — Сх = 0,09075 + дО,07075 + т 0,7535
А3 = — С3 = — 0,991 + 90,315
Н5 = — С5 = — 2,35 + 90,31
, (10.63)
А, = — С, = — 0,718 + 90,234
Л ,= у С , = - 0,744+ 90,131
Лп = - у С п = — 0,357 + 90,085
где т — порядок фазового контура.
Легко показать, что максимально допустимая величина отрица тельного значения 9=0,349т.
Пусть рассчитываемый фазовый корректор имеет три звена второго порядка, тогда при равномерном распределении углов ср система расчетных ур-ний (10.33) с учетом (10.35) может быть пере писана так:
|
Ak = 2Rk [cos к 15 + cos к 45 + |
cos k 75], |
(10.64) |
где k = \ , 3, |
. . ., 11. |
|
|
|
|
Используя |
таблицы |
cos кх, |
легко определить значения |
отдель |
ных строк системы (10.64): |
|
|
|
А, = |
2RW,671; |
+ = 2R 60,577; + |
= — 2^ 0,477; |
|
Т„ = |
2Я»0,588; |
~Ап = |
— 2tf»2,054 . |
|
|
Из сравнения полученных значений с (10.63) можно установить, что ни при каком R и q Акф А к, так как все Ak имеют отрицательные
значения, тогда как большинство Ak имеет положительный знак. Анализируя таблицу cos кх, можно наметить такие изменения
углов, чтобы у большего числа 7Ц знаки стали отрицательными. Такими углами являются ф1=22°, ф2=34°, ф3=46°. Тогда вместо
(10.64) имеем
|
Ak — 2R,! [cos k 22 + cos £34 +cos £46], |
(10.65) |
что дает |
|
|
X3 = |
— l,08tf3; ~A5 = — 3 ,92/?6; ~Д7 = — 1,24^; |
|
Xe = |
0,42R0; Xn = — 0,62/?+ |
|
Задаваясь отдельными значениями R (0,7; 0,8; 0,9),_можем, исполь
зуя таблицы степеней чисел, рассчитать значения Аь. Сделав по строение (рис. 10.4), аналогичное тому, которое выполнено нами для
Рис. 10.4
последующих этапов приближения, можем оценить, что основное расхождение рассчитываемой и заданной характеристик опреде
ляется Ад и Лц. Дальнейшим шагом подбора параметров коррек тора является введение множителей у, которые позволяют предста вить (10.65) в виде
Ak — 2Rk [ух cos £22 у, cos£34 + у3 cos £46]. |
(10.66) |
Задаваясь различными значениями у (0,9<у<Г,1), стремятся умень шить величину расхождения характеристик.
Несколько вариантов пробных расчетов позволили установить,
что лучшим оказывается |
следующее распределение; <pi=22°; y i =l ; |
ф2= 33°; у2=0,92; <р3=46°; |
у3=0,97, которое дает; |
Хх = 4,74R; ~А3 = — 0.792Д»; |
Х5 = -3,067?5; |
Т, = — 1,237??ГХв = - 0,582^; |
Хп = — 1, Ш ". |
Построим графики значений Ah и Ah, причем последние в соответ ствии с (10.63) рассматриваются функциями _переменной q. На
рис. 10.4 представлены графики значений Ak и Ak, из которых вид
