книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

Последнее выражение преобразует плоскость комплекс­ ной переменной р в плоскость Z, называемую часто плос­ костью Чебышева. Круги плоскости р соответствуют эл­ липсам плоскости Z, причем единичный круг плоскости Z преобразуется в отрезок [—icoc, icoc] мнимой оси плос­ кости р. Из выражения (10.21) видно, что зависимость между р и Z имеет квадратичный характер, поэтому од­ ной точке плоскости р (точке р\) соответствуют две точ­ ки плоскости Z (точки Z'1 и —l/Z'i). Эту неоднозначность

летворяет условию j Z j >1. Кроме того, это условие обес­ печивает сходимость степенных рядов, используемых при выводе расчетных соотношений.

Используя выражение (10.21), преобразуем каждый

Тогда (10.20) можно представить в виде

Вводя обозначение /T*=/i[(ZjZ'2. .-^/(Z ^.-.Z ")],перепишем (10.23):

290

Полученное выражение постоянной передачи фазового корректора приравняем заданной фазовой характерис­ тике (10.18), тогда

В правой части равенства (10.25) стоит сумма двух лога­ рифмов одной и той же функции от Z и (—1/Z), а в ле­ вой части— сумма двух рядов от Z и (—1fZ). В теории синтеза цепей [76] существует теорема, которая утверж­ дает, что при отсутствии отрицательных степеней k (что выполняется в данном случае) выражение (10.25) может быть представлено в виде двух уравнений:

S

(10.27)

В дальнейших расчетах будем использовать лишь ур-ние (10.26). Для вывода расчетного соотношения, связываю­ щего расположение нулей и полюсов функции с за­ данными исходными условиями, продифференцируем

правую и левую части (10.26) но переменной Z. После дифференцирования получим:

Левая часть ур-ния (10.28) представляет ряд'Степени на единицу меньше, чем для левой части ур-ния (10.26). Правую часть (10.28) также можно представить в виде рядов, разложив каждую дробь в степенной ряд:

Рассмотренное разложение дробей дает сходящиеся на вещественной оси частот плоскости р или на единичном круге \Z\ — 1 плоскости Z степенные ряды, так как ис­ следуемая область ограничена условием Z > 1, которому удовлетворяют нули и полюса функции eg<p>рассчитывае­ мого фазового корректора. Приравнивая члены с одина­ ковыми степенями, из (10.28) получим

Как и следовало ожидать, уравнения четных степеней не входят в число расчетных соотношений. Учитывая су-

292

шествующую зависимость между нулями и полюсами функции egM фазового контура, выразим координаты ну­ лей через координаты полюсов отдельных фазовых звеньев второго порядка (в данном случае 1-го звена):

Подставляя (10.31) в (10.30), после ряда промежуточ­ ных преобразований получим соотношение, связывающее параметры (расположение полюсов) рассчитываемого контура с заданной характеристикой:

+ггт cos Фя = Q

-----cos Зф, -J------- cos Зфо -)-••• ф*-------{-

—cos 5ф, И— — cos 5ф,+ • • • + —^----Ь

Из (10.32) видно, что можно получить систему уравне­ ний, необходимую для определения параметров синтези­ руемого фазового корректора (модулей \Zm \ и углов фто), заданных в плоскости Z.

Известно, что система трансцендентных уравнений вида (10.32) не может быть решена в конечном виде. Поэтому приходится прибегать к приближенному реше­ нию. Для этого необходимо произвести анализ системы уравнений и методом подбора найти решение. Чтобы со­ кратить запись отдельных выражений системы (10.32), введем новые переменные и обозначения, которые позво­ ляют рассматривать раздельно требуемые и получаемые

величины, характеризующие рассчитываемый фазовый корректор.

Пусть распределение полюсов функции eg<p>характе­ ризуется системой уравнений:

где Ckw Chq, Chm — составляющие заданной неравномер­ ности и линейной части ФЧХ (подъема и наклона), ко­ торые определяются с помощью расчетных схем прибли­ женного гармонического анализа.

Чтобы принятые параметры фазового корректора удовлетворяли заданным, необходимо выполнить усло­

вие A i^ A t; Л3= Л 3; Л5= Л 5 и т. д. Сравнение величины

Ah и Ah позволяет определить степень приближения при­ нятого распределения полюсов к тому распределению, которое обеспечивает нужный эффект корректирования.

В качестве первого приближения распределения по­ люсов в правой полуплоскости Z можно принять равно­ мерное распределение, под которым понимается разме­ щение полюсов на окружности радиусом 1/R с рав­ номерными углами. Такое распределение полюсов, об­ ладая удобством их математического представления, до­ вольно близко приближается к требуемому распределе­ нию полюсов фазовых корректоров.

Задавшись порядком рассчитываемого фазового кор­

А = Я5Ф5

294

Полученные величины Ль равенств (10.35) сравнивают с величинами Ль соотношения .(10.34), которые вычис­

ляют при различных значениях т и q. Из условия Л « Л 1 вычисляют ориентировочное значение R, при котором рас­

считывают значения Л3, Л5 и т. д. Следует отметить, что

выполнение условия A i ^ A i необязательно, так как ос­ новная синусоидальная составляющая определяет лишь линейный наклон и не вносит погрешности корректирова­ ния. Действительно, пусть Ьш = ааш, тогда согласно

(10.21) имеем b(a) —аосос sin Ф = 2 С4sin Ф.

При выборе значений R для ф-л (10.35) необходимо обращать внимание на то, чтобы не нарушить условие физической реализуемости фазового корректора:

Аг ^ ЛЗтмакс (10.36

Следовательно, любое- R, удовлетворяющее условии (10.36), может быть принято для расчета. Однако надс учитывать, что выбор малых значений R (0,5>R) при­

водит к значительному уменьшению Ль высших поряд­ ков, вследствие чего возрастает погрешность за счет выс­ ших членов аппроксимирующего полинома (Л7, А%, Ли). Наоборот, .вы'бор R, близких к единице <(/?>0,85), может привести к значительной погрешности за счет неучиты­ ваемых членов высших составляющих принятого фа­

зового контура (А 1з, A is). Поэтому наиболее удобным

является выбор R из условия Л1 = Ai.

Величина расхождения требуемой и получаемой фа­ зовых характеристик может быть оценена разностями:

(10.37)

Первое принятое распределение полюсов (равномерное) дает обычно большую величину расхождений Ль. Анали­

зируя характер изменений отдельных Ль, можно устано­ вить, какие надо сделать перемещения в распределении полюсов (прежде всего, следует изменить углы <рь), что­

бы получить лучшее совпадение Ль и Ль. Большую по­ мощь здесь могут оказать таблицы косинусов кратных углов и_графическое представление рассматриваемых ве­

личин Ль и Ль ,причем последние рассматриваются функ­ циями наклона.

295

Кроме изменения углов <р отдельных звеньев, целесо­ образно изменять величину радиуса для некоторых звень­ ев. Это проще всего сделать введением дополнительных множителей у(у = 1,01-М,2 или у = 0,8ч-0,99). Пусть, например, требуется ввести множители уч, у*, уп, тогда расчетные соотношения (10.33) с учетом составляющих неравномерности ФЧХ примут вид

После того как будет достигнуто значительное умень­ шение величины расхождения Ль можно перейти к оцен­ ке погрешности фазового корректирования, вычислив сначала коэффициенты погрешности корректирования гармоник:

6з = 4 д б; 66= 4 -Д 5; 67= 4 д7 . . ., (10.39)

а затем и функции погрешности корректирования:

При расчете частотной зависимости погрешности кор­ ректирования полезными оказываются таблицы синусов кратных углов.

Следует иметь в виду, что в ф-ле (10.40) не учиты­ вается погрешность аппроксимации заданной неравно­ мерности. Поэтому общая погрешность корректирова­ ния будет определяться по формуле

где о (со) = bH3(a)—b нФК (со) — погрешность аппрокси­ мации; ЬнфК (со) — заданная неравномерность ФЧХ;

6НФк (со) = 2Ctsin® + 2C3sin3® — функция, аппроксими­ рующая заданную неравномерность ФЧХ, в которой ко­ эффициенты Ck определяются с помощью расчетных схем приближенного гармонического анализа.

Если общая погрешность корректирования, рассчи- - тайная по ф-ле (10.41), удовлетворяет требованиям, то переходят к определению координат полюсов фазового корректора, расположенных в первой четверти плоско­ сти Z. Если же общая погрешность корректирования оказывается больше допустимой, то необходимо про­ должить уточнение расположения полюсов функции е*<*\

2 9 6

учитывая также частотную зависимость погрешности ап­ проксимации.

Координаты полюсов фазового корректора в плоско­ сти Z рассчитываются по известным значениям хi и <р( по формуле

е^(р) в плоскости р осуществляется по ф-ле (10.21): рг—

0>С 2/ = щ-Исо;. Расчет значений элементов мо­

2 Zt

стовой схемы фазовых звеньев выполняется по ф-лам

(8.31а) и (8.316).

На этом задачу синтеза фазового корректора по за­ данной неравномерности ФЧХ следует считать закон­ ченной и можно переходить к решению задачи реали­ зации фазового корректора (см. гл. 11).

10.3.Алгоритмы расчета на ЭВМ фазовых корректоров по заданной ФЧХ или ее неравномерности

Вотличиеот синтеза фазокорректирующих уст­ ройств по заданной неравномерности ФЧХ, когда не предъявляется каких-либо требований к наклону и подъему результирующей ФЧХ тракта, при расчете фа­ зового контура по заданной ФЧХ предусматривается воспроизведение с определенной точностью как нерав­ номерности, так и наклона ФЧХ. Поэтому при синтезе фазового контура по заданной фазовой характеристике необходимо, прежде всего, выяснить возможность соз­ дания цепи, которая воспроизводила бы с определенной точностью заданную характеристику. Так как ФЧХ фа­ зового контура является монотонно возрастающей функ­ цией, то произвольно заданная на интервале {ал, соз] не­ прерывная функция £>з (со) может быть воспроизведена фазокорректирующей цепью с точностью до постоянно­ го наклона. Это положение может быть подтверждено

теоремой {34].

Оптимальный расчет фазового контура по заданной ФЧХ заключается в выборе параметров фазокорректи­ рующей цепи, которые обеспечивают максимальную точ­ ность воспроизведения характеристики при минималь­ ном порядке фазового контура. Один из путей решения такой задачи предложен А. А. Ланнэ [34].

2 9 7

Математически задачу построения передаточной функции фазового контура по заданной ФЧХ можно сформулировать так: по заданной на множестве Ев функции 03(Q) построить передаточную функцию 0(Q) так, чтобы

max pe(Q) | 03 (Q) — 0(Q )|=m in, Q£Ea , (10.43)

где рв (Q)—весовая функция; 0(Q) = —2 arclg R (Q, C) —

Реактансными называются функции, которые с точ­ ностью до вещественного постоянного множителя пред­ ставляют отношение четной и нечетной (или обратное отношение нечетной к четной) частей полинома Гурвица. Согласно (8.7) рассматриваемая реактансная функ­ ция определяется как

М (Q2)

тогда полином Гурвица можно представить через коэф­ фициенты реактансной функции.

P(Q) = Q + Сщ-1-2Cl -|- QQ2 Ст-(з Q3+ . . . (10.46)

Используя (10.45), (10.44) и заменяя £22 на х можем за­ писать

где m — t или m — t + 1.

В теории синтеза цепей [34, 67] часто вместо мини­ мизации модуля разности Д (£2)=р0 (£2) |03(£2) —0(£2) |

минимизируют модуль выражения tg — Д(£2), который

представляют тангенсом разности двух углов в виде

2 9 8

Подставляя (10.47) в (10.48) и применяя введенную переменную х = й 2, получим новую формулировку зада­ чи: при ограничениях

найти вектор С, для которого 6= min. В левой части ог­ раничительного неравенства (10.49) стоит дробно-рацио­ нальная функция. Полагая, что знак знаменателя дроб- «о-ip ационалвной 'функции положителен, т. е. oosl,(x)M(x,

См) —sin l(x) Y~xN (х, CN) > 0, вместо модульного не­ равенства можно записать пару простых:

р (х) sin I (х) М (х, См) + р (* ) cos g (х) V x N (х, CN) —

—б [cos £(х) М [ х , См) — sin 6(jc)V^'iV' (дс, c j ] <0, ■

—р (дс)sin I (х) М [х, См) —р (х) cos I (х) V xN (дс, CN) —

—6 [cos l (х)М (х, См) — sin I (х) V x N (дс, Cw)] < 0

(10.50)

Переход от множества Е к дискретному множеству то­

чек Е позволяет представить неравенства (10.50) в ви­ де системы неравенств, которая при фиксированном б будет линейной относительно коэффициентов С^. По­ этому при ее решении могут быть использованы мето­ ды линейного программирования.

Решение системы линейных неравенств, составленных ■ в соответствии с (10.50), дает возможность получить значения коэффициентов Ch, которые аппроксимируют заданную ФЧХ с высокой точностью. Однако нет уве­ ренности, что полученное решение может быть физиче­ ски реализуемым. Для определения физической реали­ зуемости решения можно использовать свойства поли-

299