книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

из которого видно, что амплитудночастотная характерис­ тика фазового контура не зависит от частоты и равна единице, а фазо-частотная характеристика определяется только аргументам полинома Гурвица. Этим и объяс­ няется возможность применения фазовых контуров в кор­ ректирующих устройствах, изменяющих только фазочастотную характеристику тракта.

Фазовый контур представляет собой реактивный че­ тырехполюсник мостового типа, постоянная передачи ко­ торого для случая согласованных нагрузок (J?i=i?2=^o, рис. 2.1) может быть записана так:

Аргумент полинома Гурвица может быть выражен

Используя (8.7), можно также представить аргумент по­ линома Гурвица через отношение полиномов нечетной и четной степеней:

Формулы (8.19), '(8.20) позволяют легко определить фазо-частотную характеристику, если известна переда­ точная функция или соответствующий ей полином Гур-

220

вида рассчитываемого фазового контура. Так, для фа­ зового контура первого порядка из (8.19) и (8.4) можно записать

Если при расчете фазокорректирующего устройства при­ ходится использовать групповое время, то для его вы­ числения необходимо взять производную по круговой частоте от фазо-частотной характеристики:

db(ш) 2а*

(8.22)

Аналогично для фазового контура второго порядка из

(8.19), (8.5) и (8.6) получаем:

Частотные характеристики сдвига фазы и группового времени фазового контура первого и второго порядков

изображены соответст­ венно на рис. 8.2 и 8.3. Фазо-частотная харак­ теристика фазового контура первого поряд­ ка при любых коэффи­ циентах о* является возрастающей функци­ ей и изменяется в пре­ делах от 0 при ю=0

221

до л при бесконечно высокой частоте. Частотная зависи­ мость группового времени убывает от значения, равного t — 2 ! o h , при ю = 0 и стремится к нулю при со— > - о о . Увели­ чение значения ок приводит к пропорциональному растя­ жению шкалы частот и к сжатию шкалы времени. Ха­ рактерной частотной точкой фазового контура является (о= оа, при которой А:(со) = л/2 и i = 1 /ста. Фазо-частотная характеристика контура второго порядка, как видно из

вует монотонно убывающей зависимости группового вре­ мени. При а 2>4р полином Гурвица будет иметь вещест­ венные корни, что равносильно превращению рассматри­ ваемого фазового контура в каскадное соединение двух фазовых контуров первого порядка, характеристики ко­ торых описываются выражениями (8.21) и (8.22).

Фазовый контур является реактивным четырехполюс­ ником постоянного характеристического сопротивления.

о—

о-

Двухполюсники Za, Zb (рис. 8.4) скрещенной мостовой схемы четырехполюсника такого типа связаны соотно­ шением

2 2 2

Соотношения (8.29) позволяют но известному выраже­ нию полинома Гурвица определить операторное сопро­ тивление плеч мостового фазового контура. Так, для k-ro фазового контура первого порядка, используя (8.4), можем записать:

Таким образом, в одну пару ветвей мостовой схемы фазового контура (рис. 8.5) включена индуктивность, а в другую пару — емкость, значение которых

Полученные значения индуктивности и емкости позво­ ляют найти резонансную круговую частоту фазового зве­ на первого порядка:

Используя выражение полинома Гурвица второй сте­ пени (8.5) и ф-лы 1(8.29), можем записать операторные сопротивления плеч мостовой схемы для /-го фазового контура второго порядка:

a i R%p a i R0

Операторному сопротивлению Zab(p) соответствует па­ раллельный реактивный контур, у которого

а операторному сопротивлению Zbi(p) — последователь­ ный реактивный контур с элементами:

Отсюда следует, что одна пара ветвей мостового фазо­

Практические схемы фазовыравнивающих устройств, предназначенных для корректирования каналов магист­ ральной связи, обычно включают несколько фазовых звеньев первого и второго порядков. Поэтому фазо-час­ тотную характеристику фазового корректора, состоящего из г звеньев первого и п—г звеньев второго порядка, с

224

Приведенные формулы, определяющие основные свой­ ства фазовых звеньев, находят применение при синтезе фазовыравнивающих устройств. Однако, как правило, они нуждаются в дополнительных преобразованиях, ко­ торые позволяют представить их в удобной для расчета форме. Эти преобразования и методика расчета фазо­ вых корректоров рассматриваются в гл. 9 и 10. Вопро­ сам реализации фазовыравнивающих устройств посвя­ щена гл. 11.

8.3. Минимально фазовые корректирующие устройства й

Минимально фазовыми электрическими цепями, как уже отмечалось, называют цепи, операторные передаточ­ ные функции которых (8.9) не имеют нулей в правой полуплоскости -комплексной плоскости р. Из всего мно­ гообразия минимально фазовых цепей мы будем рас­ сматривать корректирующие минимально фазовые цепи, обладающие тем свойством, что их операторные переда­ точные функции не имеют нулей ни в правой полуплос­ кости, ни на мнимой оси i со плоскости р (оси частот), включая бесконечно удаленную точку, т. е.

где W(p), V(p) — полиномы Гурвица с равными сте­

пенями.

Постоянная передачи цепи g (со) —а (со) -И b (со) выра­ жается через передаточную функцию в виде

‘) Такие корректирующие устройства иногда называют мини­ мально фазовыми амплитудно-фазовыми корректорами (МАФК) (2 2 ].

откуда

Так как функция g(p) является аналитической в пра­ вой полуплоскости и на мнимой оси, то затухание и фа­ зовая мера передачи связаны между собой зависи­ мостью Коши—Римана как гармонические функции. Это свойство минимально фазовых цепей уже использова­ лось нами для расчета фазо-частотной характеристики и группового времени тракта по заданной амплитудночастотной характеристики (гл. 3). Теперь зависимость между затуханием и фазой минимально фазовой цепи рассматривается с точки зрения возможности компен­ сации (полной или частичной) нелинейности фазо-час­ тотной характеристики тракта путем соответствующих изменений его амплитудно-частотной характеристики.

В монографии Г. Боде [10] подробно рассматрива­ ются методы определения необходимой частотной зави­ симости затухания (фазы) минимально фазовой цепи, обеспечивающей требуемую частотную зависимость фа­ зы (затухания). Приводимые в (10] формулы связи за­ тухания и фазы позволяют установить, что криволинейность ФЧХ обусловлена наличием резкого возрастания затухания вне рабочей полосы в непосредственной бли­ зости от граничной частоты. Поэтому для линеаризации фазо-частотной характеристики тракта приходится уменьшать крутизну нарастания частотной зависимости затухания, снижая селективность тракта, либо даже при­ давать ей некоторое усиление на границах полосы про­ пускания, несколько увеличивая рабочую полосу частот тракта.

Несмотря на то, что используемые Г. Боде методы расчета зависимости между затуханием и фазой мини­ мально фазовых цепей имеют широкую область приме­ нения, они относятся, прежде всего, к проектированию многокаскадных усилителей с обратной связью. Это сле­ дует из примеров, рассмотренных в монографии (10], и рекомендаций устанавливать элементы, обеспечивающие необходимую частотную зависимость затухания, в меж­ каскадных цепях либо в цепях отрицательной обратной связи усилителя. Говоря о применении этих методов для корректирования каналов магистральной связи, следует

226

отметить необходимость некоторого расширения круг* решаемых задач, а именно, рассмотреть вопрос о воз­ можности одновременного корректирования амплитудночастотной и фазо-частотной характеристик. Принципи­ альное решение такой задачи дается в работах Н. И. Жи­ вицы и А. А. Ланнэ [22, 35].

Наиболее распространенной записью зависимости ме­ жду затуханием и фазой, используемой в современной теории синтеза цепей, является представление ее парой преобразования Гильберта:

где буквы V.P.'означают, что в точках, где подынтеграль­ ное выражение обращается в бесконечность, интеграл вычисляется в смысле Коши. Так, если на мнимой оси

Я<7-»0 J СТ2+ (Ш— дг)2

Непосредственное использование интегральных соот­ ношений (8.39) для синтеза цепей вызывает затруднения, связанные со сложной зависимостью подынтегральных выражений, соответствующих реальным требуемым ха­ рактеристикам затухания и фазы. Поэтому оказалось целесообразным перейти к новой переменной [87], вводи­ мой согласно соотношению

(8.41)

которое преобразует шкалу частот со6(— оо) в отре­ зок {—я, л] шкалы ф. Тогда, учитывая четность функции АЧХ и нечетность ФЧХ, их можно представить на шкале

.новой переменной ф в виде

Полученные выражения интересны тем, что веществен­ ная и мнимая части функции g(co), связанные преобра­ зованием Гильберта, образуются одна из другой заме­ ной синусов на косинусы. Рассматриваемое преобразо­ вание справедливо для корректирующих цепей, у кото­ рых нет полюсов затухания на оси частот (i со) и

lim а (со) = с, lim b (со) = 0.

Принципиально важным для синтеза минимально фа­ зовых корректирующих устройств является вопрос о воз­ можности создания таких цепей по заданным частотным характеристикам, корректируемого тракта. Так, в теоре­ ме о дополняющей функции корректирующей Минималь­ но фазовой цепи, доказанной Г. Боде ,[10], утверждается, что для любой минимально фазовой функции передачи, не обладающей полюсами затухания на оси веществен­ ных частот, существует такая дополняющая функция, что сумма этих двух функций дает постоянное затухание и нулевой фазовый сдвиг на всех частотах. Доказатель­

другая функция Tk(p) = V(p)/W(p), которая реализуется с точностью до постоянного множителя.

Следовательно, согласно теореме Г. Боде для опре­ деленного типа минимально фазовой корректирующей Цепи, заданной во всем диапазоне частот юб (—оо, сю), можно подобрать корректирующую функцию и построить корректор. Однако эта теорема не позволяет устано­ вить возможность создания минимально фазового кор­ ректора для электрических цепей, функция передачи ко­ торых не обладает свойством минимально фазовых кор­ ректирующих цепей, в частности, для каналов магист­ ральной связи, имеющих произвольно заданные на огра-

228

ничейном интервале частот характеристики затухания и фазы.

Чтобы доказать возможность синтеза минимально фа­ зового корректора по заданным в ограниченном диана-

.зоне частот зависимостям затухания и фазы, достаточ­ но установить существование физически реализуемой функции Т(р) минимально фазового типа, аппроксими­ рующей с требуемой точностью заданные характеристи­ ки. Отсюда, вводя определенные ограничения на задан­ ные характеристики цепи, молено сформулировать зада­ чу синтеза минимально фазового корректора в следую­ щем виде: по заданным в ограниченном диапазоне час­ тот (множестве Еи ) непрерывным зависимостям зату­

хания а3((о) и фазы Ь3(со), для которых ♦'fЕ со |п3(со) |srfco

J |6;i((o)sflfoL» имеют смысл, найти физически реали-

'со

зуемую функцию Т(р) минимально фазового типа, удов­ летворяющую условию {35]:

где S — целое число; 6а, бь — пололеительные малые ве­ личины.

Возможность решения задачи синтеза минимально фазового корректора устанавливается следующей тео­ ремой i[35]: ограниченные и непрерывные на ограничен­ ном множестве Еа функции а3(со), Ь$(а>) могут быть с любой наперед заданной степенью точности аппроксими­ рованы в смысле среднестепенного критерия с произ­ вольным показателем 5 в виде вещественной и мнимой частей минимально фазовой функции.

Используя ф-лу (8.41) и соотношения (8,42), запи­ шем аппроксимирующую функцию

Очевидно, теорема будет доказана, если будет доказано существование последовательности коэффициентов оо,, которая удовлетворяет условию

2 2 9