книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

Было найдено, что .т = 120/23. Если подставлять в 1-е число, то Зт будет 3G0. Остается знаменатель: 120 [два­ дцать третьих] подставляем в х — 3, получаем 51. Окон­ чательно 1-е число будет 360/51; 2-е 120/23, так как оно не имеет X в знаменателе; 3-е число, точно так же [подставля­ ем] 120/23 в Ах, получаем 480, н также [подставляем] в знаменатель 120 [двадцать третьих], т. е. в х — 4, полу­ чаем 480/28, и доказательство очевидно.

37. Найти такие три числа, чтобы произведение лю­ бых двух из них имело заданное отношение к сумме всех трех.

Примем, что произведение 1-го и 2-го втрое больше суммы всех трех, произведение 2-го и 3-го вчетверо боль­ ше всех трех и произведение 3-го и 1-го в пять раз больше всех трех.

Так как произведение двух любых чисел имеет задан­ ное отношение к сумме трех, то я буду сначала искать три числа и еще одно произвольное, чтобы произведение двух любых имело заданное отношение к этому произвольному числу.

Пусть это произвольное число будет 5. И так как про­ изведение 1-го на 2-е втрое больше произвольного, т. е. 5, то, следовательно, произведение 1-го на 2-е будет 15. Пусть 2-е будет х, тогда первое равно 15/а;.

Затем, так как произведение 2-го и 3-го в четыре раза больше 5, то, значит, произведение 2-го на 3-е будет 20. Но 2-е есть х, тогда 3-е будет 20/х.

Остается, чтобы произведение 3-го и 1-го, т. е. 300/я2, было в пять раз больше 5. Получается, что 300/z2 = 25.

И если бы отношение двух видов было отношением квадрата к квадрату, то задача была бы у меня решена. Но 300 — количество Ихг — будет произведением 15 на 20. А 15 втрое больше 5 и 20 в четыре раза больше. Мы хо­ тим, чтобы утроенное 5, умноженное на учетверенное 5, имело к упятеренному 5 отношение квадрата к квадрату. Но 5 — это произвольное число г). Итак, мне приходится

120

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А IV

Пусть искомое число будет т; оно, увеличенное в 3 раза и умноженное на четырехкратное себя же, будет 42т2; теперь нужно, чтобы это имело к пятикратному х такое же отношение, как квадрат к квадрату. Мы, значит, хотим, чтобы 12т2 имело к 5т отношение, как квадратное число

ниваю 60а;3 к 900т2; и х получается равным 15. К подстановкам. Искомое будет 15.

[Вместо 5] полагаю произвольное число равным 15; тогда произведение 1-го и 2-го будет 45. И 2-е число есть X; следовательно, 1-е будет 45/т. Таким же образом 3-е будет 60/т.

Остается, чтобы произведение 1-го и 3-го, т. е. 2700/т2, было пятикратным 15:

И X получается равным 6.

К подстановкам. 1-е число будет 7Ѵ2, 2-е 6 и 3-е 10. И если бы сумма трех чисел была 15, то искомое было

бы найдено. Полагаю, что сумма трех равна 15т2, а сами три, выраженные в х, как мы нашли, будут: 1-е 71/2а;, 2-е 6т, 3-е же Ют.

Остается лишь, чтобы сумма этих трех чисел равня­ лась 15т2, а сумма трех будет (23Ѵ2)т. Следовательно,

(23Ѵг) X = 15т2;

иX получается равным 47/30.

Кподстановкам. 1-е будет 352Ѵг, 2-е 282 и 3-е 470 тридцатых.

38. Найти такие три числа, чтобы сумма этих трех, ум­ ноженная на 1-е, давала треугольник *), умноженная на 2-е,— квадрат, а на 3-е, — куб.

Положим сумму трех чисел т2, 1-е же 1/т2, взятое тре­ угольное число раз, например 6, 2-е 4 -1/т2, а 3-е 1/т2 ку­ бичное число раз, пусть 8.

та (та + 1 )

') Треугольное число есть сумма l + 2 + 3 + . . . + n

2

8 Д + I = □ . (Прим риИ.)

121

Д И О Ф А Н Т

И ж2, умноженное на 1-е число, дает 6 — треугольное число, умноженное на 2-е, дает 4 — квадратное число, а умноженное на 3-е — 8 — кубическое число.

Остается, чтобы сумма трех была ж2, но эта сумма рав­ на 18/ж2:

я2 = 18 ~ . X3

Множим все на ж2, получится ж4 = 18.

Теперь нужно, чтобы 18 было квадратным числом, сто­ рона которого тоже квадрат. Но 18 представляет сумму треугольного, квадратного и кубического чисел. Мне при­ ходится искать, каким образом квадрат, сторона которого есть квадрат, можно разделить на треугольник, квад­ рат и куб.

Пусть квадрат будет ж4 + 1—2з?. Тогда, если я от ж4 отниму ж4 + 1—2Ж2, то в остатке получится 2ж2 — 1; это опять нужно разделить на треугольник и куб. И пусть куб будет 8; тогда останется треугольник 2ж® — 9, кото­ рый нужно приравнять треугольнику.

Но всякий треугольник, взятый 8 раз и получивший прибавок 1, становится квадратом. Следовательно, 16ж2—

— 71 = Q . Строю этот квадрат на стороне 4ж — 1. Квад­ рат будет Ібж2 -f-1—8ж; и ж будет равен 9.

К подстановкам. Треугольник будет 153, квадрат

39*. Найти такие три числа, чтобы разность наиболь­ шего и среднего имела заданное отношение к разности сред­

122

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А ІѴ

него и наименьшего и, кроме того, суммы двух любых чи­ сел давали квадрат.

Потребуем, чтобы разность наибольшего и среднего была втрое больше разности среднего и наименьшего.

Так как сумма среднего и наименьшего должна быть квадратом, то пусть этот квадрат будет 4. Тогда среднее должно быть больше двойки; пусть оно будет х -|- 2; следовательно, меньшее будет 2 — х.

И так как разность между наибольшим и средним втрое больше разности между средним и наименьшим, а раз­ ность среднего и наименьшего равна 2х, то разность наи­

наименьшего должна дать квадрат, и сумма наибольшего) и среднего тоже должна дать квадрат. И получается двой­ ное равенство:

8а: + 4 = 0 и 6ж + 4 = 0 .

И так как числа единиц являются квадратными, то ра­ венство решается легко.

Я образую два числа, чтобы их произведение равня­ лось 2х, как мы знаем для двойных равенств; пусть эти

этому я хочу иметь х меньшим 2, так чтобы 6а: 4 были меньше 16. Действительно, если двойка множится на 6а: и прибавляется 4, то получается 16.

Так как я ищу [решения] 8 а ; - | - 4 = 0 и 6 а ; + 4 — 0 , а квадрат двойки, т. е. 4, является квадратом, то у меня получились три квадрата:

8а: Д- 4, 6а; -f- 4 и 4,

и разность наибольшего и среднего чисел является треть­ ей частью разности среднего и наименьшего. Итак, я при­ шел к необходимости найти такие три квадрата, чтобы разность наибольшего и среднего была третьей частью разности среднего и наименьшего, кроме того, чтобы наи­ меньший квадрат равнялся 4, а средний был меньше 16.

Возьмем наименьший квадрат 4, а сторону среднего X + 2; тогда сам квадрат будет а? + 4ж + 4.

123

Д И О Ф А Н Т

Так как разность наибольшего и среднего [квадратов] является Ѵ3 разности среднего и наименьшего, а разность среднего и наименьшего есть а2 + 4а, так что разность

Все на 9:

12а2 + 48а; + 36 = Q

Берем четвертую часть:

За2 + 12а- + 9 = 0

Еще я хочу, чтобы средний квадрат был меньше 16, а

6 раз с прибавлением 12 (т. е. количества а в уравнении), причем вся сумма разделена на разность, на которую квад­ рат на этом числе больше 3— количества а2 в уравнении 1). Итак, мне нужно отыскать какое-то число, взятое 6 раз с прибавлением 12 и разделенное на разность, на которую квадрат этого числа больше 3, [оно и] дает частное, мень­ шее 2.

Пусть искомое число будет а 2); оно, взятое 6 раз с до­

и сделать частное меньше 2. Но 2, разделенное на единицу, дает частное 2. Значит, 6а + 12 имеет к а2 — 3 отношение

124

квадрата будет 43/11, а сам квадрат 1849/121. Возвращаюсь к первоначальной задаче и полагаю

1849/121, являющееся квадратом, равным 6а; + 4; множим на 121; и х получается 1365/726, что будет менее двойки.

[Мы возвращаемся] к подстановкам первоначальной задачи; мы полагали среднее число х + 2, наименьшее 2 — а;, а наибольшее 7а; + 2. Наибольшее будет 11007/726, среднее 2817/726 и наименьшее (третье) 87/726. И так как знаменатель 726 не является квадратом, но только его 6-й частью, то, взявши 121, что будет квадратом, и разделив

Если ты желаешь [получить] целые числа, то для уничтожения х/г помножь на 4. Тогда будут: первое число

7338/484, второе 1878/484, третье 58/484. И доказатель­ ство очевидно.

40. Найти такие три числа, чтобы разность, на которую квадрат наибольшего числа превышает квадрат среднего, имела заданное отношение к разности среднего и наимень­ шего чисел; кроме того, суммы взятых попарно чисел должны быть квадратами.

Пусть разность на которую квадрат наибольшего чис­ ла превышает квадрат среднего, будет втрое больше разно­ сти среднего и наименьшего чисел.

Так как наибольшее число вместе со средним образует квадрат, то пусть он будет 16а;2. Следовательно, наиболь­ шее число будет больше 8а;2; пусть оно будет 8а;2 + 2.

И поскольку сумма наибольшего и среднего чисел больше суммы наибольшего и наименьшего и" сумма) наи­ большего и среднего равиа'ібя2, то, следовательно, сумма наибольшего и наименьшего будет меньше 16а;2, но больше 8а;2. Пусть сумма наибольшего и наименьшего будет 9а:2. И сумма наибольшего и среднего равна 16а;2, из которых

125

инаименьшего чисел, но разность квадратов наибольшего

исреднего чисел будет 64а;2, а разность среднего и наимень­

шего чисел равна 7а;2; мы желаем, чтобы 64а;2 было втрое больше 7а;2, а 7а;2, взятое 3 раза, дает 21а;2. Но [ко­

21

Я полагаю наибольшее число равным 8а;2 + ^ і сРеД-

Остается одно условие, чтобы сумма среднего и наимень­ шего числа была квадратом. Но среднее и наименьшее

число [вместе] дают 9а:2 — р , что должно равняться ква­

драту. 1 jr,у iijпустьu i D nнаu v iuсторонеp u iic ид/ За;u —• JTJL6. И Ла/ ;iiUi4получаетсяj чистил p сшашінравным

597/576.

К подстановкам. Наибольшее число будет равно

3069000/331776, среднее 2633544/331776 и наименьшее 138681/331776.

КНИГА V

1. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое из них минус данное число было квадратом.

Пусть (данное) число будет 12.

Геометрическая пропорция получается, когда произве­ дение крайних имеет среднее в качестве стороны.

■Прежде всего ищу, какой (квадрат) после вычитания 12 (дает квадрат). Это не представляет трудностей [см. задачу П10], и такое число будет 421/«.

126

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

(Теперь первое число из крайних полагаю равным 421/4>і второе же а;2; тогда среднее будет (61/2):с.

Нужно, чтобы каждое пз остальных чисел минус 12

2. Найти такие три числа в геометрической пропорции, чтобы каждое пз них после прибавления заданного числа было квадратом.

Пусть заданное число 20.

Опять отыскиваю какой-нибудь квадрат, который после прибавления 20 остается квадратом; это будет 16. Теперь одно из крайних я беру равным 16, а другое х2, тогда среднее будет Ах, и по предшествующей [задаче] остается искать

Ах + 20 = Q и хг + 20 = Q .

И их разность есть х2 — Ах. Деление: делитель х, частное X — 4. Половина разности, умноженная на себя, дает 4, которое надо приравнять меньшему 4а; + 20; это же не­ возможно, ибо 4 должно быть не менее 20.

Но А является четвертой частью 16, а 16 не будет каким угодно числом: это квадрат, который после приба­ вления 20 является квадратом; значит, мне предстоит искать, какой квадрат имеет четвертую часть большую 20 и сложенный с 20 дает квадрат. Этот квадрат будет больше 80.

Но 81 есть квадрат больший 80; следовательно, если за сторону искомого квадрата возьмем х + 9, то тогда сам квадрат будет х2 -f- 18а; + 81; он вместе с 20 должен

127

Д И О Ф А Н Т

Теперь возвращаюсь к началу и полагаю одно из крайних ЭОѴі ! а третье х2. Тогда среднее будет 9г/з я; и мне надо искать х2 + 20 = Q и {^/2)х + 20 = Q . И разность есть X2 — (9Ѵа)а:; делитель и частное будут х и х — 97гПоло­ вина разности, умноженная на самое себя, будет 361/16,

1681/23104.

3*. К данному числу подыскать такие три числа, чтобы каждое, а также произведение любых двух из них, будучи прибавлены к заданному числу, давали квадрат.

Следовательно, остается, чтобы и это, сложенное с 5, да­ вало квадрат. Пусть 4х2 + 28х + 34 равно квадрату на стороне 2х — 6 . Это будет

4х2 + 36 — 24х = 4х2 -f- 28х + 34,

и X получается 1/26.

') Этот поризм, ио-видимому, имеет отношение ко второму, также потерян­ ному, решению 10-й задачи книги III, где спрашивается, при каких ус­ ловиях удовлетворяются уравнения

128

бы каждое из них пли произведение двух любых минус данное число было квадратом.

Пусть заданное число будет 6 .

Опять таким же образом полагаю два последователь­

ся квадрату, положим на стороне 2ж — 6 . И этот квадрат

двух любых, сложенное с их суммой или с оставшимся, давало квадрат.

Мы опять имеем в «Поризмах» х):

«Для двух любых последовательных квадратных чисел находится еще одно число, равное удвоенной

ж2 + 9 — 6 ж = ж2 + Зж + 3;

иж будет равен 2/3.

Кподстановкам. 1-е число будет 25/9, 2-е 64/9 и 3-е

196/9.

6 . Найти такие три числа, чтобы каждое из них минус

двойка давало квадрат и также чтобы произведение любых