книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

К О М М Е Н Т А Р И Й

Почти одновременно с Диофантом во «Введения в арифметику» Анатолия Александрийского (III век и. э.) появились обозначения степеней неизвестного по мультипликативному принципу: «квад- рато-куб» обозначал в этой системе шестую степень, а «кубо-куб» — девятую. Зато пятая степень не могла быть образована из пре­ дыдущих; она называлась «первой невыразимой» (äXo-foc npmxoQ),

седьмая степень — «второй невыразимой» (аХо-рэ? Веитвро?) и т. д. К сожалению, этот неудобный способ обозначения был воспринят математиками Индии и частью ученых Средневекового Востока и Европы. В частности, по такому принципу образовывали степени неизвестного коссисты.

В Европе аддитивный принцип образования степеней был впер­

. . ., 6). Для их обозначения Диофант применяет косой крест Л, который ставится справа сверху вслед за нпдексом. Например, і 2 обозначался как Аг , а х~2 — как А1-* .

4. Особенно интересны определения (V) и (VI). После поясне­ ния умножения положительных степеней неизвестного Диофант формулирует два общих утверждения относительно видов (ві’Ѣое), т. ѳ. отеценей неизвестного, взятых с некоторым числовым коэф­ фициентом:

1) любое число, умноженное на одноименную с ним дробь (т. е. на обратный элемент), дает единицу:

г * і_1 = 1;

2) любой вид при умножении на единицу остается неиз­ менным:

ахп•1 = ахп .

Таким образом, здесь Диофант впервые выделяет два чисто групповых свойства операции умножения. Приходится только

184

веков. В соответствии с этим производные слова от этого глагола, например характеризующие группы отрицательных членов, пере­ ведены как «недостаточные члены», «недостающие» и т. д.

Положительное число во «Введении» называется словом «ияар|і?» (далее это слово нигде не встречается), которое обозна­ чает «существование», «бытие», а во множественном числе — «иму­ щество». Здесь оно переведено как «наличие».

Для сравнения приведем переводы соответствующих терминов на латинский язык в классическом издании «Арифметики» Диофанта

что они уже хорошо известны.

Отметим, что в случаях, когда надо вычесть из обеих частей уравнения отрицательные члены, Диофант говорит о «прибавлении недостатков», т. е. терминология у него здесь отлична от нашей.

Для характеристики отрицательного числа вводится символ Д , отвечающий нашему минусу.

На протяжении всех шести книг Диофант широко пользуется отрицательными числами, применяя их в промежуточных выклад­ ках и в качестве промежуточных результатов. Так, например, в за­ дачах 11]2, ІІ13, ІІ20> 1123, І І 28, I І2В И П 32 СТОрОНЫ КВЭДрЭТОВ, КОТО­ РЫМ должны быть равны левые части уравнений, при выбранных числовых параметрах получаются отрицательными. Это не сму­

щает Диофанта, потому что окончательный результат (т. е. сами Квадраты) будет положительным.

185

К О М М Е Н Т А РИ И

Итак, Диофант расширяет область чисел до поля рациональ­ ных чисел Q — минимального бесконечного поля, над которым можно развивать обычную алгебру.

Однако он еще не рассматривает отрицательные числа как рав­ ноправные положительным. Решения обязательно должны быть положительными. Эту точку зрения восприняли Виет, Ферма и другие математики XVI — XVII веков.

6. Для обозначения операций сложения и умножения у Дио­

фанта нет специальных символов. Все члены многочлена, которые должны быть сложены, просто приписываются друг к другу, после чего ставится знак минус и записываются все отрицательные члены. При этом сначала записывается степень неизвестного, а затем чис­

а также для произвольного постоянного (параметра) создает боль­ шие трудности, и приходится только изумляться виртуозной изобретательности Диофанта, который выбирает неизвестное так, что все искомые величины удобно и просто через пего выражаются. Правда, ему иногда приходится на протяжении решения одной задачи обозначать символом g последовательно два или три иско­ мых числа.

Произвольным постоянным Диофант обычно придает конкрет­ ные числовые значения. Каждую задачу он сначала формулирует в общем виде, а затем повторяет еще раз уже для конкретных значе­ ний параметров. Далее, при подстановках он всегда оговаривает, какой из коэффициентов может быть взят произвольным, а какой

486

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА I

пых значений параметра, вместо которого можно взять любое другое произвольное значение. В дальнейшем, при .пояснении хода

решения Диофанта, мы будем ставить буквенный коэффициент лишь в тех случаях, когда сам Диофант указывает на возможность

произвольного выбора параметра.

Заметим еще, что если параметрам, входящим в условие задачи или в подстановку, надо придать числовые значения, причем ника­ ких дополнительных специальных условий на них не накладывает­ ся, то Диофант, как правило, выбирает последовательные натураль­ ные числа, например 2, 3, 4, что при греческой нумерации выглядит как ß, у, Ö, т. е. параметры обозначаются последовательными бук­ вами алфавита, что подчеркивает их произвольность (об этом см. подробнее в статье Е. И. Славутина «Об арифметике Диофапта», Проблемы истории математики, МГУ, 1972).

В наших комментариях мы будем обозначать параметры бук­ вами, выражающими в алфавитной нумерации те числовые значе­ ния, которые дает им Диофант. Мы будем отступать .от этого пра­ вила только в тех случаях, когда это может привести к недоразу­ мениям (например, если двум различным параметрам Диофант придает значение ß = 2, то один из параметров мы будем обозна­

чать ß, а другой — какой-нибудь другой буквой греческого ал­ фавита) .

7. В определении (XI) приведены правила действий с много­ членами и уравнениями. В частности, формулируется правило при­ ведения подобных

ахп + Ьхп — (а -(- Ь)хп

и правило прибавления к обеим частям уравнения одного и того же числа или вида. Оба эти правила получили впоследствии из­ вестность под арабизированными названиями «алджебр» и «альмукабалы».

В «Арифметике» слово «тсАуА-сх;» играет ту же роль, что и наше слово «коэффициент». В переводе, однако, применяется слово «ко­ личество», поэтому оборот «Iibvj р.т] біАол/Ѵ^ІНі» в определении (XI), т. е. «виды с различными коэффициентами», переведен как «виды, взятые в неодинаковых количествах».

8. О задачах книги Г.

В книге I собраны задачи, эквивалентные одному линейному уравнению от одного неизвестного или системам т уравнений от п неизвестных, т ^ п (п = 2, 3, 4), каждое из которых не выше

второй степени.

187

КО М М Е Н Т А РИ И

Только пять задач, а именно Іы, І22. І2з, І24 ]І Т2ьт являются

по своей постановке неопределенными, однако в ходе решения Дио­ фант доопределяет их всякий раз так, чтобы задачи стали опреде­

Диофант замечает, что одно из чисел можно задать произвольно, лишь бы только оно было больше значения к. После этого он берет к = 3, X — 12, тогда второе искомое число получается из линей­

ного уравнения. Интересно отметить, что ту же задачу Диофант решает в ІІ3, но там он фиксирует только к, а оба искомых числа

выражает через неизвестное:

188

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

КОММЕНТАРИИ К КНИГЕ II

1.' Начиная с книги II, Диофант ставит и решает задачи, экви­ валентные неопределенным уравнениям и системам таких уравне­ ний, причем в книге II рассматриваются неопределенные уравнения

тоже каждое из уравнений имеет вторую степень относительно квад­ ратов неизвестных.

вая — к двум уравнениям с тремя неизвестными, вторая — к трем уравнениям с тремя неизвестными, так что она не является неопре­ деленной. Эти задачи аналогичны задачам І22 и І23 и, по мнению большинства исследователей, представляют позднейшую вставку. Во всяком случае, в книге II они являютсячужеродным телом.

где F2 (X, У) — неприводимый над полем Q рациональных чисел

многочлен второй степени с рациональными коэффициентами, Дио­ фант применяет следующие два метода.

М е т о д А. Пусть уравнение (1) имеет рациональное решение ЙТ0, У„. Тогда, чтобы найти новое рациональное решение, Диофант делает подстановку

(2)

189