книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

Тогда 1-е будет 170/19, 2-е 228/19 и 3-е 217/19.

19. Найти три таких квадрата, чтобы избыток наи­ большего над средним имел заданное отношение к избыт­ ку среднего над наименьшим.

Пусть одна разность будет втрое больше другой. Возьмем меньшее число за а;3, среднее же з? + 2х -j- 1 —

очевидно, квадрат на стороне х -|- 1; тогда наибольшее будет зг + 8а; + 4.

Следовательно, нужно, чтобы аг + 8а: + 4 — Q . Образую квадрат на х (чтобы иметь а;3) н еще стольких

единицах, чтобы образующие квадрат виды, т. е. х и эти единицы, не превышали по количеству 8а; и 4, по чтобы один вид был больше, а другой меньше.

Пусть единиц будет 3; тогда этот квадрат будет х2 + ба: + 9; его приравняем х~ -|~ 8а: -|- 4, и х окажется

равным 21/2.

К подстановкам. Наибольший квадрат будет 30Ѵ4, наименьший 6Ѵ4, а средний 12Ѵ4; и задача выполнена.

20. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный с оставшимся, был квадратом.

Пусть 1-е будет х, а 2-е 1 + 2а:, и квадрат на 1-м, сложенный со 2-м, стал квадратом.

Остается, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, тоже был квадратом. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, будет

пусть 1; большее же возьмем как квадрат меньшего минус а;2, чтобы квадрат меньшего числа без большего стал квадратом.

И так как квадрат меньшего есть а;2 + 2а: + 1, то боль­ шее будет тем, что следует за а;2, т. е. 2а; -\- 1. И квадрат меньшего минус большее является квадратом. Теперь нужно, чтобы и квадрат большего 4а:2 + 4а: + 1 минус меньшее был квадратом. Но квадрат большего минус

70

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА II

Меньшее число будет 8/5, большее же 11/5, и они удовлетворяют предложенному.

22. Найти два таких числа, чтобы квадрат каждого из них вместе с суммой обоих составлял квадрат.

Примем, что меньшее будет х, а большее х + 1; тогда квадрат меньшего, т. е. х2, сложенный с суммой обоих, т. е. 2х + 1, образует квадрат.

Остается сделать, чтобы квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составлял квадрат. Но квадрат большего, сложенный с суммой обоих, составляет а:2 + 4г + 2. И это должно равняться Q .

Образуем квадрат на х — 2; он будет х2 + 4 — 4а:; получаем х = 2/8.

Меньшее будет 2/8, а большее 10/8, и задача сде­ лана.

23. Найти такие два числа, чтобы квадрат каждого минус сумма обоих составлял квадрат.

Теперь остается, чтобы квадрат на меньшем, умень­ шенный на сумму обоих, был тоже квадратом: он будет

2Ѵ2, а большее ЗѴ2, и задача выполнена.

24. Найти два таких числа, чтобы квадрат их суммы, сложенный с каждым из них, был квадратом.

И так как а:2, если мы прибавим к нему За:2 или 8а:2, будет квадратом, то одно из искомых чисел я возьму За:2, а другое 8а;2, а квадрат их суммы положу х2; и квадрат их суммы с добавлением того или другого останется ква­ дратом. И поскольку сумма обоих 11а:2, то ее квадрат будет 121а;4, но он также будет и х2.

Следовательно, 121а;4 равняется х2. А так как сторо­ на одного должна равняться стороне другого, то х ра­

8/121, квадрат же на сумме их 121/14641, и задача вы­ полнена.

71

Д И О Ф А Н Т

25. Найти такие два числа, чтобы квадрат их суммы минус каждое из них составлял квадрат.

Беру сначала некоторый квадрат, вычитая из которого два каких-нибудь числа получаю в остатке квадрат. Пусть это будет 16. Действительно, если из него я вычту 12, то останется квадрат, а если вычту 7, то опять получится квадрат.

Затем опять кладу их в а:2: одно 12а:2, другое 7а;2, а квадрат суммы 16а:2; тогда квадрат суммы минус каждое из них будет квадратом.

Остается, чтобы квадрат суммы равнялся 16а;2; и так как сторона равна стороне, то 19а:2 = 4а:; и х получается

4/19.

1-е число будет 192/361, 2-е же 112/361, и задача вы­ полнена.

26. Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, было квадратом, а стороны этих квадратов в сумме давали заданное число.

Пусть заданное число будет 6.

Если имеются два числа, большее из которых равно учетверенному меньшему минус единица [а.* = 4х2 — 1], то их произведение, увеличенное на меньшее число, обра­ зует квадрат; поэтому полагают меньшее х, а большее 4а: — 1; их произведение, к которому прибавлено мень­ шее число, дает квадрат.

Теперь остается, чтобы их произведение, сложенное с большим числом, т. е. 4а; — 1, тоже было квадратом, сторона которого будет 6 минус сторона 2а; меньшего [квадрата]; тогда, согласпо условиям задачи, сложенные стороны обоих [квадратов] дадут 6. Но это произведение, сложенное с большим [числом], будет 4а;2 + За: — 1, а квадрат 6 — 2а; дает 4а;2 + 36 — 24а:. Приравнивая их между собой, получаем х = 37/27.

К подстановкам. Я положил меньшее равным х (оно будет 37/27), а большее 4а: — 1 будет 121/27, и предло­ женное установлено.

27. Найти такие два числа, чтобы их произведение минус каждое из них было квадратом; стороны этих ква­ дратов в сумме дают заданное число.

Пусть заданное число будет 5.

Если имеются два числа, из которых большее равно учетверенному меньшему с 1, то их произведение минус

72

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА ІХ

меньшее число дает квадрат; возьму большее число 4х + + 1, а меньшее х; их произведение минус меньшее дает квадрат.

Остается, чтобы их произведение минус большее чис­ ло тоже было квадратом; стороны этих квадратов дают в сумме 5. Но их произведение минус большее [число] будет 4х2 — Зх — 1; это равно квадрату на стороне 5 —

— 2х; и х получается 26/17.

Меньшее число будет 26/17, а большее 121/17, и оба удовлетворяют предложенному.

28. Найти два таких квадратных числа, чтобы их произведение вместе с каждым [числом] давало квадрат.

Если один квадрат я положу х2, а другой 1, то про­ изведение будет X2. Нужно, чтобы оно, сложенное с каж­ дым из квадратных чисел, было квадратом. Значит, дело свелось к отысканию квадрата, который, будучи сложен с единицей, дает квадрат.

Полагаю, что квадрат, который я хочу сделать про­ изведением этих чисел, будет х2.

Тогда, если к нему прибавить 1, то он будет х2 + 1. Нужно, чтобы это равнялось квадрату. Этот квадрат строю на стороне х — 2. Он, т. е. х2 + 4 — 4х, должен равняться х2 + 1; и х получается равным 3/4.

Тогда один [квадрат] будет 9/16, а другой 16 [шестнад­ цатых]. Их произведение вместе с 1 дает квадрат.

Теперь нужно, чтобы их произведение вместе со вто­ рым [числом] давало квадрат. И так как это произведение

произведение минус каждое было квадратом.

Если 1-е я положу х2, а 2-е 1, то произведение их будет X2. Значит, нужно, чтобы и оно минус 1 было квадратом. Но X2 есть квадрат; дело свелось к отысканию, какой квадрат минус 1 будет квадратом. Но есть квадрат 25/16; он действительно, после вычитания 16/16 дает квадрат

9/16.

73

Д И О Ф А Н Т

Положу теперь один квадрат х1, а другой 25/16, и их произведение минус х2дает квадрат. Теперь нужно, чтобы их произведение минус 25/16 также было равно квадрату.

равниваем квадрату. Все [множим] на 16 (и берем 25-ю часть >.

1-е число будет 289/64, 2-е 100/64; и задача выполнена. 30. Найтн два таких числа, чтобы их произведение после прибавления пли вычитания суммы было квад­

ратом.

Так как сумма квадратов любых двух чисел после прибавления или вычитания удвоенного их произведе­ ния дает квадрат х), то я взял два числа 2 и 3. Очевидно, что сумма их квадратов вместе с удвоенным произведе­ нием, дающая 25, образует квадрат, и также сумма их квадратов, уменьшенная на их удвоенное произведение, дает квадрат — единицу. Я возьму их произведение рав­ ным 13а:2.

1-е из них я положу х, а 2-е 13а:, и произведение их будет 13а;3. Теперь 13л;2, прибавить ли к нему 12л:2 или вычесть, будет квадратом. Тогда нужно, чтобы 12а;3 равнялось их сумме. Но эта сумма равна 14а;. Значит, 12а;2 равно 14л:; и х будет 14/12, или 7/6.

Но 1-е равно х: оно будет 7/6, а 2-е — 13а;: оно будет 91/6, и задача выполнена.

31. Найти два чпсла, равные [вместе] квадрату, и такие, чтобы их произведение плюс и л и минус их сумма было квадратом.

Если имеются два числа, из которых одно вдвое больше другого, то сложенные их квадраты после прибавления или вычитания удвоенного их произведения дадут ква­

нется 4ж2 — квадрат. Если же к 20х* я прибавлю 16.-е2, то получится 36х2 — опять квадрат. Поэтому он считает произведение равным 20х2, чтобы после прибавления или отнятия одного и того же чпсла все равно полу­ чался бы квадрат. (Колшентарий Максшіа Плапуды.)

7 4

изадача решена.

32.Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них, сложенный со следующим, давал квадрат.

Положим, что 1-е будет х; если одно число будет пре­ вышать удвоенное другое на единицу, то квадрат мень­ шего числа, сложенный с большим, образует квадрат.

атакже квадрат 2-го, сложенный с 3-м, даст квадрат 4а;2 +

+8а; + 4.

Теперь нужно, чтобы квадрат 3-го, сложенный с 1-м, образовал квадрат. Но квадрат 3-го вместе с 1-м будет 16а:2 + 25а; + 9. Это должно быть равно квадрату.

33. Найти три таких числа, чтобы квадрат каждого из них после вычитания следующего был квадратом.

вычитания большего должен быть квадратом Ц 2); по­

чтобы Квадрат 3-го числа минус 1-е был квадратом; но

75

ленное на 1, дает в частном 12, разделенное на 2 дает 6, а на 3 дает в частном 4. И если я вычту делитель из част­ ного и возьму половину полученной разности, то этих разностей будет три: 1-я Б1/^ 2-я 2 и 3-я Ѵ3. Теперь оче­ видно, что квадрат каждой такой разности, сложеипый с 12, дает квадрат: 1-й 421/4, 2-й 16 и 3-й 121/4.

Теперь выражаю их в z-ax: 1-й будет 572z, 2-й 2х и 3-й 1/2.т. И сумма этих трех должна равняться 12z2, сумма же трех будет 8z. Следовательно,

8z = 12z2,

откуда z = 4/в.

Тогда 1-е число будет 22/6, 2-е 8/6, 3-е 2/6, и пред­

Я беру точно так же некоторое число, которое имеет три делителя; пусть оно опять будет 12. Прикладывая делитель к частному и беря половину, полагаю три числа: одно ß1/2x, другое 4z, третье 31/2х. Показывается, что ква­ драт на каждом из них без 12 будет квадратом. Остается, чтобы все три равнялись 12z2. Но три сложенных дают

76

А РИ Ф М Е ТИ К А К Н И ГА I II

КНИГА III

1. Найти три такие числа, чтобы квадрат каждого из них, будучи вычтен из общей суммы всех трех, давал квадрат.

Положи два квадрата на сторонах — один х , а другой 2а;; тогда сумма обоих квадратов будет 5а:2.

Полагаю сумму всех трех чисел равной 5а;2, а из иско­ мых чисел одно X, а другое 2х\ и так два из назначенных [условий] выполнены. И мы имеем 5, подразделеноѳ на два квадрата,— единицу и четверку; теперь надо под­ разделить 5 еще иа два других квадрата, как это показано выше (П9), а именно-4/25 из 121/25.

3-е число я полагаю равным стороне одного из этих квадратов; пусть оно будет х\ тогда его квадрат, вы­

чтенный из суммы обоих, даст опять квадрат 121/25.

1-е я полагаю За;2, 2-е 8а;2, а 3-е 15а:2, чтобы квадрат суммы трех, т. е. а:3, сложенный с каждым из них, давал бы соот­ ветственно квадрат, т.- е. 4а;2, <9х2> и 16а:2.

И нужно, чтобы эти три сложенные оказались равными стороне квадрата суммы всех трех, т. е. х. Ыо все три сложенные равны 26а:3; и х получается равным 1 (двад­

77

Д И О Ф А Н Т

Положим, что сумма трех чисел будет 4х, а ее квадрат 16х2; если из него вычесть 7х2, 12а;2 и 15х2, то получатся квадраты.

Тогда я беру 1-е число 7х2, 2-е 12х2 и 3-е 15а:2. Остается, чтобы сумма полученных трех равнялась трем [первона­ чальным]. Но мы положили, что сумма трех начальных

Положим сумму трех чисел равной х, а ее квадрат х2, и пусть три числа будут 2а:2, 5х2 и 10а;2; тогда каждое число, из которого вычтен квадрат суммы трех, т. е. а;2, должно быть квадратом.

И так как квадрат суммы трех чисел имеет, конечно, стороной сумму этих трех чисел, то эта сумма трех, рав­ ная X, будет также равна 17а;2. И х получается равным

одной<17-й>, а X2 — одной <289-й>.

1-е чпсло будет 2, 2-е 5, 3-е 10 [двести восемьдесят девятых]; и предложенное выполнено1).

5.Найти три числа, сумма которых равна квадрату,

итакие, чтобы два из них, взятые вместе, превышали оставшееся третье на квадрат.

Положим, что три числа, взятые вместе, равны квадрату на стороне х + 1, т. е. х2 + 2х + 1; пусть 1-е и 2-е вместе

превышают 3-е число на 1; тогда 3-е число будет Ѵ2х2 +

+X, так как 1-е и 2-е вместе должны превышать 3-е на 1 .

Далее, 2-е и 3-е должны превышать 1-е на квадрат; пусть этот квадрат х2; тогда 1-е точно так же будет х + Ѵ2; и как остаток получим 1/2х2 + 1/, — 2-е число. Остается, чтобы 1-е вместе с 3-м превышали 2-е на квадрат. Но 1-е вместе с 3-м превышают среднее на 2х = Q .

Пусть этот квадрат будет 16; и х получается равным 8. 1-е число будет 8Ѵ2, 2-е 3272, 3-е 40; и предложенное

выполнено.

И н а ч е . Сначала я ищу три квадратных числа, сум­ ма которых была бы равна квадрату. Если я сложу два

*) Тавнери подозревает, что задачи 111,-4 этой книги, очень похожие на за­ дачи Им и Пи книги II, проскользнули в текст из древнего коммента­ рия. (Hpuaf. тіepee.)

78

А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА XII

квадратных числа, например 4 и 9, и поищу, какой квад­ рат, сложенный с 13, дает квадрат, то я найду 36. И эти три квадрата [в сумме] равны одному 0 .

Теперь дело свелось к отысканию трех чисел, чтобы они, взятые попарно, превышали оставшееся третье на заданное число: пусть 1-е вместе со 2-м будет больше 3-го на 4, а 2-е вместе с 3-м больше 1-го на 9, а 3-е вместе с 1-м больше 2-го на 36.

Это же показано выше 1); и 1-е будет 20, 2-е же 6х/2

и3-е 221/3; и они выполняют предложенное.

6.Найти три числа, равные в сумме квадрату, и такие, чтобы они, взятые по два, давали квадрат.

Возьмем три [числа в сумме], равные 0 , [а именно]

X — 1; но эти три числа в сумме дают х2 + 2х + 1; сле­ довательно, оставшееся 1-е число будет кх. Но 1-е вместе со 2-м положено было х2\ значит, 2-е будет х2 — кх.

Следовательно, еще нужно, чтобы 1-е вместе с 3-м, равные 6х + 1, равнялись квадрату; пусть этот квадрат будет 121; тогда х получится равным 20.

1-е число будет 80, 2-е 320, 3-е 41; они удовлетворяют заданию.

И и а ч е. Положим, что сумма трех чисел равна X2 + 2х -|- 1, и пусть 1-е вместе со 2-м дает х2\ тогда остав­ шееся 3-е будет 2х + 1. Пусть также 2-е вместе с 3-м равно X2 4- 1 — 2х\ из них 3-е = 2х + 1; тогда остав­ шееся 2-е будет х2 — кх. Но 1-е вместе со 2-м также будет х2\ из них 2-е равно х2 — кх; следовательно, остающееся 1-е будет кх. И все три сложенные дают заданный выше 0 = X2 + 2х + 1, и 1-е вместе со 2-м и 2-е вместе с 3-м образуют 0 .

Следовательно, нужно, чтобы и 3-е, сложенное с 1-м, т. е. 6х + 1, равнялось 0 ; пусть он будет 36; и х полу­ чится 35/6.

1-е число будет 140/6, т. е. 840/36, 2-е 385/36 и 3-е

79