книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах
.pdfД И О Ф А Н Т
квадратом. Но он будет 10816а;4 |
+ 221а? — Q . Сократив |
на X2, полупим 10816а;2 -j-221 = |
Q . Пусть этот квадрат |
будет на стороне 104а; + 1 ; и х = |
55/52. |
К подстановкам. 1-ѳ число будет 36621/2704, 2-е [число] |
|
157300/2704, 3-е 317304/2704. |
|
17*. Найти три числа, сумма которых равна квадрату, такие, чтобы квадрат на каждом из них минус следующее число был тоже квадратом.
Опять возьмем среднее число 4а;; так как я хочу, чтобы квадрат 1-го числа после вычитания 2-го, т. е. 4х, был квад ратом, то я пришел к отысканию квадрата, который без 4а; был бы тоже квадратом.
Прежде всего я ищу два числа, произведение которых было бы 4.Т. Но 4а; имеют множителями 2 и 2а;. Беру поло вину их суммы и полагаю первое число х + 1; одно из условий у меня удовлетворено. Затем я хочу, чтобы квад рат 2-го числа, т. е. 16а;2, после вычитания 3-го был квад ратом; следовательно, если из 16а? отнимем некоторый квадрат (пусть он будет на стороне 4а; — 1, т. е. 16а;2 + + 1—8а;, что я и вычитаю из 16а?), то остаток 8а; — 1; я и беру 3-е число равным 8а; — 1, и второе условие вы полнено.
Затем я хочу, чтобы эти три числа давали в сумме квадрат, т. е. чтобы 13а; равнялось квадрату; пусть пос ледний будет равен 169а?, а х равен 13ж2 4).
К подстановкам. 1-е число будет 13а? + 1 , 2-е 52а? и 3-е 104а? — 1. И снова у меня выполнены в неопределен ной форме три заданпых условия.
Остается, чтобы квадрат 3-го числа минус 1-е был квад ратом. Но квадрат 3-го числа минус 1-е число будет
10816а;4 - 221а? = Q
[Сокращаем] все на а?:
10816а;2 — 221 = Q
Пусть [этот квадрат будет] на стороне 104а; — 1; тогда х получается равным 111/104.
К подстановкам. 1-е число будет 170989/10816, 2-е 640692/10816, 3-е 1270568/10816.
') Здесь Диофант, как и в ГѴ'і6, вводит новое неизвестное которое обозна чает тем же символом, что и первоначальное. {Прим, ред.)
100
|
А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV |
18. |
Найти два таких числа, чтобы куб 1-го, будучи сло |
жен со 2-м, давал куб, а квадрат 2-го, будучи сложен с 1-м, |
|
давал |
квадрат. |
Положим, что 1-е число будет ж, а 2-е будет кубическое число [минус ж8], пусть 8 — ж*. И получится, что куб 1-го числа, сложенный со 2-м числом, дает куб.
Остается сделать, чтобы квадрат 2-го числа, сложенный
с1-м, давал квадрат. Но квадрат 2-го числа, сложенный
с1-м, будет хв + X + 64 — 16ж3; (пусть это равно квад
рату на стороне ж3 -)- 8, т. е. ж® + 16ж3 + 6 4 ). Прибавив к обеим частям недостающие члены и отбрасывая одина ковые, получаем в остатке
ж= 32ж3,
апосле сокращения на ж
32Ж2 = 1 .
Но 1 есть квадрат; если бы 32ж2 было тоже квадратом, то равенство дало бы решение. Но 32ж3 полупилось из дважды 16ж3, а 16ж3 есть дважды 8, помноженное на ж3. Таким образом, 32ж2 получилось из четырежды 8. Мне нуж но найти куб, который, четырежды взятый, давал бы квадрат.
Пусть искомый куб будет ж3; он, четырежды взятый, 4ж3, должен равняться квадрату. Пусть этот квадрат будет 16ж2; тогда ж получится равным 4.
К подстановкам. Куб будет 64.
Итак, кладу 2-е число равным 64 — ж3. Теперь остается сделать, чтобы квадрат 2-го, сложенный с 1-м, давал квад рат. Но квадрат 2-го, сложенный с 1-м, дает
ж° + 4096 -f- ж — 128Ж 3 = Q .
Пусть этот квадрат будет на стороне ж3 + 64; тогда квад рат равен
ж6 + 4096 + 128ж3.
Получается, что ж = 256ж3. И, следовательно, ж равен од ной (шестнадцатой).
К подстановкам. 1-е число будет 1/16, а 2-е [число] 262143/4096.
19*. Найти три числа в неопределенной форме такие, чтобы произведение любых двух вместе с единицей дава ло квадрат.
101
Д И О Ф А Н Т
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го и 2-го вместе
с1 давало квадрат, то, если отнять 1 от любого квадрата,
яполучу произведение 1-го и 2-го чисел. Строю квадрат из взятого какое-нибудь число раз ж и 1; пусть это будет
X + 1. Тогда сам квадрат |
будет ж2 + 2х + 1. Если от |
нять 1, то остаток X2 + 2а,- будет произведением 1-го и 2-го |
|
чисел. |
тогда 1-е будет х + 2. |
Пусть 2-е число будет х; |
|
Затем, если я хочу, чтобы произведение 2-го и 3-го |
|
чисел образовало вместе с 1 |
квадрат, то подобным же обра |
зом. отняв 1 от какого-нибудь квадрата, я получу произ ведение 2-го и 3-го чисел. Построим квадрат на Зж + 1: он будет 9а:2 + 6ж + 1. Значит, если я отниму 1, то полу чится 9а:2 + баг, произведением 2-го и 3-го чисел должно быть 9а;2 + ба:; в него входит 2-е число х. Таким образом, остающееся 3-е число будет 9а: + б.
Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей было квадратом. Но произведение 1-го и 3-го чисел вместе с единицей будет 9а;2 + 24а; + 1 3 = 0 . Я имею а:2 взятым квадратное число раз; (если бы я имел и квадратное число единиц), то удвоенное произведение чи сел при а:2 и 1 было бы равно числу при ж, и три заданных условия были бы выполнены в неопределенной форме.
Но 13 получилось из произведения 2 и 6 вместе с при бавленной 1; далее, 2 получилось из [1-го] удвоенного про изведения X и 1, а 6 — из 2-го удвоенного произведения За; и 1. Я хочу получить квадрат из [1-го] удвоенного числа при X, помноженного на [2-е] удвоенное число при а:, и с [прибавленной] 1 [(2-1)-(2-3) + 1]. Но [1-е] удвоенное число при X, умноженное па [2-е] удвоенное число при х, равняется учетверенному произведению обоих чисел при X. Я хочу получить квадрат из учетверенного произведе ния этих чисел и единицы. Для всякой пары чисел учет веренное их произведение, сложенное с квадратом их раз ности, будет квадратом; поэтому, если мы построим квад рат их разности, то учетверенное произведение этих чи сел вместе с единицей будет квадратом.
Если квадрат разности равен 1, то и сама разность бу дет 1. Тогда нужно строить [квадраты] на ж, взятых после довательное число раз, вместе с прибавляемой единицей (пусть это будут на х + 1 и 2ж + 1). И квадрат на х + 1 будет ж2 + 2х + 1.
102
|
|
А РИ Ф М ЕТИ К А М К Н И ГА |
IV |
|
Если я |
отниму единицу, то останется х2 + 2ж. Следо |
|||
вательно, |
произведение |
1-го и 2-го чисел будет х2 + |
2а:. |
|
Если 2-е число будет х, |
то остающееся 1-е будет х + |
2. |
||
Далее, |
квадрат на 2а: + 1 будет 4а;2 + 4а; + 1; |
если |
||
я точно так же отниму 1, то остаток получится 4а:2 |
+ |
4а;; |
тогда произведение 2-го и 3-го чисел будет 4а:2 + 4а:, в ко тором 2-е есть х; следовательно, остающееся 3-е число будет 4а: + 4.
Итак, в неопределенной форме решена задача, как сделать, чтобы произведение любых двух чисел [из трех] вместе с единицей давало квадрат, и х будет таким, каким мы захотим. Искать в неопределенной форме — это зна чит получить такую подстановку *), чтобы условия удов летворялись, если подставить такое х, какое мы захотим.
20*. Найти четыре таких числа, чтобы произведения любых двух, сложенные с единицей, образовали квадрат.
Так как я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 2-е вместе с 1 давало квадрат, то, отняв от какого-нибудь квадрата 1, я буду иметь произведение 1-го числа на 2-е.
Образую квадрат на ж + 1; он будет х2 + 2х + |
1. Если |
|
отнять 1, то остаток х2 -+- 2х даст произведение |
1-го |
на |
2-е. Пусть 1-е число будет х , тогда <2-е будет х +> 2. |
3-е |
|
Далее, я хочу, чтобы произведение 1-го числа на |
с 1 давало квадрат; образую квадрат на 2х + 1, взяв х на 1 большее число раз, согласно доказанному в пред шествующем; от взятого квадрата отниму 1; произведе ние 1-го числа на 3-е возьму равным 4а;2 + 4ж. В этом [про изведении] содержится 1-е число х; остающееся 3-е число будет 4ж + 4.
Еще я хочу, чтобы произведение 1-го числа на 4-е вместе с 1 давало квадрат; этот квадрат я строю на За; + 1, [увеличивая на 1 число ранее взятых х]; взявши этот квад рат и отняв 1, буду иметь произведение 1-го числа на 4-е 9а:2 -г баг, в этом произведении содержится 1-е число ж; тогда останется 4-е число 9х + 6.
И так как получается, что произведение 3-го числа на 4-е вместе с 1 дает квадрат, а произведение 2-го числа на 4-е с 1 будет
9а:2 + 24а: + 13 = Q
'< , ^
ОYi и;іоота<п!. Здесь по смыслу следовало бы перевести «такую формулу». (Лргш. ред.)
103
Д И О Ф А Н Т
то я приравниваю его квадрату на стороне 3,г — 4, и по лучается X, равный одной (шестнадцатой).
К подстановкам. [Тогда в шестнадцатых долях] 1-е
число будет 1, 2-е 33, 3-е 68 и 4-е 105.
21. Найти такие три числа, составляющие пропорцию, чтобы разность двух любых из них была квадратом.
Положим, что меньшее равно я, среднее х + 4, чтобы их разность была квадратом, а большее число х + 13, чтобы и разность этого числа и среднего тоже была квад ратом.
Если бы разность наибольшего и наименьшего числа была квадратом, то получилось бы в неопределенной фор ме решение задачи, что разность двух любых чисел равна квадрату.
Но наибольшее число превышает меньшее на 13, а 13 есть сумма квадратов — 4 и 9; следовательно, мне нужно найти два квадрата, сумма которых была бы квадратом.
Это легко [сделать], используя прямоугольный тре угольник; они будут 9 и 16. Я полагаю наименьшее число равным X, среднее х + 9, а большее х -|- 25, и разность двух любых чисел будет квадратом.
Остается лишь, чтобы они были пропорциональны. Но если три чпсла пропорциональны, то произведение край них равно квадрату на среднем. Но произведение наи
большего и |
наименьшего, |
т. е. произведение крайних, |
||
равно хг + |
2Ъх, |
квадрат |
же |
среднего х2 + 18а: + 81 = |
= х 2 + 25а:; |
и х |
получается |
равным 81/7. |
|
К подстановкам. Меньшее будет 81, среднее 144, боль |
||||
шее 256 седьмых. |
|
|
|
|
22*. Найти такие три числа, чтобы составленное из них |
||||
тело *) после прибавления |
каждого из них представляло |
|||
квадрат. |
|
|
|
|
Пусть составленное из трех тело будет хг + 2х, а 1-е число равно 1, чтобы тело из трех после прибавления 1-го числа было квадратом.
Далее, я хочу, чтобы тело из трех вместе со 2-м было
квадратом; я |
ищу квадрат, по вычитании из которого |
|
X2 -+- 2х |
буду |
иметь 2-е число. Строю квадрат на х + 3, |
и этот Q |
— (а;2 + 2х) дает 4х + 9. 2-е число я полагаю |
|
равным 4х + |
9. |
|
О отереск;. |
(Прим. рад.) |
104
А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV
2- |
Но так как тело из трех х2 |
+ |
2х, |
а произведение 1-го и |
го 4х + 9, то, разделив х2 + |
2х |
на 4а: + 9, я получу |
||
3- |
е число. |
|
|
|
|
Но это деление невозможно; для его возможности нуж |
|||
но равенство отношений х2 к 4 |
х и 2 х |
к 9, и перестановочно; |
кака:2 к 2а:, так и 4х к 9. Но количество х21) представляет половину количества 2а;. Если бы и 4х были по коли честву половиной 9, то деление было бы возможным. Но 4х получились из разности, на которую 6а; больше 2а:; а 6а: — из удвоенного произведения 3 на х, т. е. из удво ения 3; а 9 есть квадрат 3; таким образом, мне нужно най ти некоторое число, вроде 3, которое после удвоения и уменьшения на двойку было бы половиной своего квад рата.
Пусть искомое число будет х; после удвоения и умень шения на двойку получится 2а: — 2, а квадрат искомого
будет X2. Мы желаем, чтобы 2а; — 2 было у а;2.
Следовательно, х2 — 4х — 4; |
и а; будет 2. |
Я возвращаюсь к начальной задаче; 1-м числом я имел |
|
1, а тело, составленное из трех, |
было х2 + 2а:. Нужно, |
чтобы тело из трех с добавлением 2-го числа составляло квадрат. Таким образом, если от некоторого квадрата я
отниму X2 + 2х, |
то получу 2-е число. Строю квадрат на |
X плюс столько |
единиц, чтобы эти единицы, удвоенные |
и уменьшенные на двойку, были половиной своего квад рата; это уже было сделано, и это число есть 2.
Я строю квадрат на х + 2; он будет х2 + 4а; + 4. Если я вычту тело из трех, т. е. х2 + 2а;, то остаток будет 2-е чис ло. Произведение 1-го и 2-го <2а: + 4; если тело из трех, т. е. X2 + 2а;, я разделю на произведение 1-го и 2-го), т. е. на 2а; + 4, то буду иметь 3-е число; полученное част ное будет х/2.
И остается, чтобы составленное из трех тело вместе с 3-м числом было квадратом. Но это тело вместе с 3-м будет X2 -\-21/гх = Q , пусть 4а;2, откуда х получается 5/6.
Кподстановкам. В шестых долях 1-е будет 6, 2-е 34
и3-е 2Ѵ2.
23. Найти такие три числа, чтобы составленное из них тело минус каждое из этих чисел давало квадрат.
М Количество то яХт]0о<;; мы сказали бы ^коэффициент». (Прим. персе.)
105
Д И О Ф А Н Т
Возьмем X как 1-е кисло, а тело из трех х2 + z; после вычитания 1-го это дает квадрат. И так как тело из трех X2 + X, а 1-е число х, то, значит, произведение 2-го и 3-го чисел будет х + 1. Пусть 2-е число 1; тогда остающееся 3-е равно х + 1.
Теперь надо, чтобы составленное из трех тело после вычитания 2-го и 3-го давало квадрат. Остатки будут: один X2 + X — 1, равный квадрату, другой х2 — 1, тоже равный квадрату.
Получилось двойное равенство; беру разность: она бу дет z; составляю два числа, произведение которых было бы [этим] X. Это X я разделю на 1/2; частное будет 2х, т. е. удвоенной стороной квадрата z2; это ты уже знаешь; получается х равным 17 восьмым.
К подстановкам. 1-е число будет 17 [восьмых], 2-е чис ло 1, 3-е 25/8.
24. Данное число разложить на два числа и сделать, чтобы их произведение было кубом без стороны.
Пусть данное число будет 6.
Положим 1-е число х; тогда остаток 6 — х будет 2-м числом. Остается, чтобы их произведение было кубом без стороны. Но их произведение будет 6z — х2; это должно равняться кубу без стороны. Образую куб на х, взятом сколько-то раз минус 1, пусть на 2z — 1. Построенный куб без стороны будет 8х3 + 4х — 12z2. Это должно рав няться 6z — z2.
Если бы количества z в каждой стороне равенства были равными, то остались бы для сравнения члены с х3 и z2, и X получилось бы рациональным. Но 4z получается из разности 6z и 2z, т. е. из утроенного 2z; и если из утроен ного 2z вычесть 2z, то получится дважды 2z. Но 6 является произвольным согласно предположению. Таким образом, я вынужден отыскивать число, как это 2z, которое, бу дучи взято 2 раза, давало бы 6. Это число есть 3.
Я ищу 6z — z2, равное кубу без стороны. Теперь сторону этого куба я беру 3z — 1; построенный на ней куб без своей стороны будет
27z3 + 6z — 27z2 = 6z — z2;
иz получается равным 26/27.
Кподстановкам. 1-е число будет 26, а 2-е 136 [двадцать седьмых долей].
106
А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV
25. Данное число разложить на такие три числа, чтобы [построенное] на них тело было кубом, сторона которого равнялась сумме разностей между этими числами.
Пусть данное число 4.
Так как составленное из трех чисел тело есть куб, то пусть он будет 8а:3 и его сторона 2х. Но разность 2-го и 1-го чисел, затем 3-го и 2-го и, наконец, 3-го и 1-го чисел [в сумме] дает удвоенную разность 3-го и 1-го чисел, т. е. если три числа не равны, то сумма трех разностей будет вдвое больше разности крайних чисел.
По предположению мы имеем сторону куба, равную 2х; тогда 2х должно быть суммой всех трех разностей; следовательно, 3-е больше 1-го па х. Пусть 1-е число равно какому-нибудь количеству х-ов, положим 2х; тогда 3-е число будет Зх. А так как составленный из трех объем будет 8ж3 и произведение 1-го и 3-го равно 6х2, то остаю щееся 2-е будет
И если бы 2-е число было больше 1-го и меньше 3-го, то задача была бы решена. Но 2-е число получилось из де ления 8 на произведение 1-го и 3-го. Но 1-ѳ и 3-ѳ не будут любыми числами, но разнятся на 1; следовательно, я дол жен искать два числа, разнящиеся между собой па 1 и та кие, чтобы 8, разделенное на их произведение, давало число, большее меньшего и меньшее большего.
Положим |
меньшее |
равным |
х, тогда |
большее будет |
|
X + 1. |
Если я |
разделю |
8 на их произведение, т. е. на |
||
X2 -f- X, |
то получится среднее, |
равное х^ |
х Мы хотим, |
чтобы оно было больше х и меньше х + 1. И так как раз ность этих чисел есть 1, то разность между 1-м и 2-м мень ше 1 1), так что 2-е вместе с 1 будет больше 1-го. Но 2-е вместе с 1, взятое в долях х2 + х, будет
8 + ж3 + .г
X“ —|—X
и это больше, чем х + 1. Умножим обе части неравенства на знаменатели:
X2 + X -j- 8 больше X3 + 2я2 + х.
’) В этом месте под і-м числом Диофант понимает наибольшее, под 2-м — среднее и под 3-м — наименьшее. (Прим. реО.)
107
Д И О Ф А Н Т
После отбрасывания подобных получается: 8 больше X3 + X2.
Образую куб, который включал бы а:3 + а;2. Пусть
тогда сторона этого куба будет х + |
1І3. И так как 8 боль |
||||
ше, |
чем а;3 + х2, и |
куб на х + |
Ѵ3 также больше а:3 |
+ х2, |
|
то |
я приравняю их |
стороны, |
т. е. |
положу 2 = х |
-f- х/зі |
иX получится равным 5/3.
Кподстановкам. 1-е число будет 8/3, 2-ѳ 9/5, 3-е 5/3. Множим все три на 15. 1-е число будет 40, 2-ѳ 27 и 3-е
25.Так мы избавились от знаменателей и нашли три числа, чтобы построенный на них объем был кубом, сторона ко торого равнялась бы сумме их разностей.
Теперь я полагаю 1-е число равным 40а;, 2-е 21х и 3-е 25а;; образованный из них объем будет кубом, сторона которого равна сумме их разностей. Остается лишь срав нить сумму трех этих чисел с заданным числом; дано же было 4. Таким образом, 92а; равно 4; и а; будет одна (двад цать третья).
К подстановкам. 1-е число будет 40, 2-е 27 и 3-е
25[двадцать третьих].
26.Найти такие два числа, чтобы их произведение, сложенное с каждым из них, давало куб.
Составляю 1-е число из кубического количества а;-ов *); пусть оно будет 8а:; 2-е полагаю х2 — 1; одно условие удов летворено: их произведение, сложенное с 1-м числом, дает куб.
Остается лишь, чтобы их произведение вместе со 2-м числом давало куб. Но это произведение, сложенное со 2-м числом, будет
8а^ + а:2 — 8а: — 1,
оно должно равняться кубу. Строю этот куб на стороне
2а; — 1; и а; будет 14/13.
К подстановкам. 1-е число будет 112/13, 2-е 27/169. 27. Найти два числа, произведение которых минус
каждое дает куб.
Составляю, подобно предыдущему, 1-е число из куби
ческого количества х, пусть |
8а:, а 2-е полагаю х2 |
-j- 1, |
‘) Мы сказали бы: <..т с коэффициентом, |
равным кубическому числу». |
(Прим, |
перс.:.) |
|
|
108
А РИ Ф М ЕТИ К А К Н И ГА IV
и их произведение минус < 1-е будет кубом. Затем это про изведение минус) 2-е дает 8а:3 -)- 8а; — х2 — 1. Это должно равняться кубу, что невозможно 1).
Опять положу одно число равным кубическому коли
честву плюс 1; пусть оно будет 8х + |
1; другое же число |
||||
X2. Тогда их произведение минус 2-е |
будет кубом. Опять |
||||
их произведение без 1-го будет |
8а:3 + х2 —- 8а; — 1; |
это |
|||
приравняем кубу на стороне 2а: — 1; и а: получается |
рав |
||||
ным 14/13. |
|
|
|
|
|
К подстановкам. 1-е будет 125/13, а 2-е 196/169. |
|
||||
28. |
Найти такие два числа, |
чтобы их |
произведение, |
||
с прибавлением или вычитанием их суммы, |
было кубом. |
Так как произведение чисел вместе с суммой образует куб, то пусть этот куб будет 64. Затем, так как их про изведение без суммы образует <куб, то пусть этот куб бу дет) 8. Следовательно, удвоенная сумма [этих чисел], равная разности [этих кубов], будет 56, т. е. сумма равна 28. Но произведение этих чисел вместе с их суммой равно 64; следовательно, их произведение будет остатком, рав ным 36. Теперь мне приходится найти два числа таких, что
бы их <сумма была) |
28, |
а произведение 36, [задача І27]. |
|||
Пусть большее |
число |
будет |
х + 14; тогда меньшее |
||
14 — X. Остается |
их |
произведение 196 — х2 приравнять |
|||
36, и получится |
X2 = |
160. |
|
то моя задача была бы |
|
Если бы 160 |
было квадратом, |
решена. Но 160 представляет разность между 196 и 36. А 196 есть квадрат 14, и 14 представляет половину 28. Та
ким |
образом, 196 |
представляет произведение |
полови |
ны |
28 на самое себя. Но 28 есть половина 56, так |
что 14 |
|
будет четвертью 56; |
а 56 есть разность двух кубов 64 и 8, |
а 36 — это половина суммы этих кубов. Таким образом, я пришел к тому, чтобы найти два куба, четверть разности которых, будучи умножена на самое себя, без половины
суммы давала бы квадрат. |
|
1, а меньшего |
||||
Пусть сторона большего куба будет х + |
||||||
X — 1; |
и |
кубы |
будут: больший |
<х3> + |
Зха + |
Зх + 1, |
а меньший |
х3 + |
Зх —• Зх2 — 1, и |
четверть их |
разности |
||
■) Уравнение |
легко решается, если взять куб на стороне |
— A-j или |
||||
( А * — |
; |
этим методом Диофант воспользовался |
выше (ГѴ,4). (Прим. |
Я . Татіери.)
109