книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

ыии задач. Ко II веку относится Мичиганский папирус 620, в котором при решении задач, эквивалентных системе линейных уравнений, применяется тот же символ для не­ известного. Поскольку папирус представляет популярное изложение того, что делалось в научной литературе, то можно считать, что за 50—100 лет, протекших после Герона, оперирование с неизвестными стало общепри­ нятым.

Итак, один из источников творчества Диофанта — это то арифметико-алгебраическое направление, которое раз­ вивалось в александрийской математике в I —II веках н. э.

Второй источник творчества Диофанта естественно искать в работах по исследованию неопределенных урав­ нений. Однако об этой традиции мы знаем очень мало. Известно только, что еще в Древнем Вавилоне ставился вопрос о рациональных решениях уравнения

Пифагору приписывают правило для нахождения цело­ численных его решений, а именно:

Х = т3 — 1 Y = т, Z = '+ 1

где т — нечетное число (Прокл, Комментарий к Евклиду). При т = 3 получается треугольник со сторонами 3, 4, 5, который также связывается с именем Пифагора. Общие формулы для решения уравнения (*) содержатся в «На­ чалах» Евклида (кн. X, предл. 29):

X = ? - q \ Y = 2pq, Z = f + q \

где p, q — целые числа. Этими формулами часто пользу­ ется Диофант.

Второе неопределенное уравнение, исследованное

Оно получило впоследствии название уравнение Пелля (без особых исторических оснований), а теперь его чаще называют именем Ферма (что более обосновано историчес­ ки). Евклид показал, как находить все его решения, ис­ ходя из наименьшего («Начала», кн. II, предл. 9) для слу­ чая а = 2. Архимед поставил перед александрийскими-

9

И. Г. БАШМАКОЙА

математиками задачу о быках, которая приводится к уравнению (**) для а — 4 729 494, наименьшее решение которого записывается с помощью 206 545 десятичных знаков. По-видимому, он специально подобрал такое значение а, чтобы решение нельзя было найти путем про­ стого подбора. Его интересовало, владели ли александ­ рийцы общим методом нахождения наименьшего решения. Интересно, что точно к такому же приему прибегнул впоследствии Пьер Ферма: он также поставил перед своими корреспондентами задачу решения уравнения (**) для специально подобранных значений а, для которых наименьшее решение было очень велико. Это и все, что известно.

Поэтому внезапное появление такого обилия и раз­ нообразия задач, которое мы встречаем в «Арифметике», до сих пор остается загадкой.

Остается также совершенно неясным вопрос о связи «Арифметики» с исследованиями конических сечений, проведенными с такой полнотой Аполлонием, и кривых высших порядков, которыми занимались последующие математики. Многие задачи Диофанта эквивалентны на­ хождению рациональных точек на окружности или ги­ перболе, а подстановки, которые он делает, отвечают проведсншо прямых через некоторую точку рассматривае­ мой кривой и нахождению второй точки пересечения с кривой. Догадывался ли об этом Диофант? Пользовался ли он геометрической интерпретацией? Его произведения не позволяют нам ответить на этот вопрос, хотя, конечно, маловероятно, чтобы он не усматривал связи неопределен­ ных уравнений с соответствующими алгебраическими кривыми.

3. Числовая область и буквенная символика

Первой книге «Арифметики» предпослано введение, кото­ рое является первым известным нам изложением основ алгебры. Здесь строится числовая область, вводятся символы для неизвестного и его степеней, формулируют­ ся некоторые аксиомы, определяющие операцию умноже­ ния, правила действия с многочленами и уравнениями.

Диофант строит свою алгебру не на базе геометрии, как это имело место в классической греческой математике,

10

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

а на основе арифметики. Поэтому определение числовой области, в которой было бы возможно производить все четыре действия арифметики, приобретает первосте­ пенное значение. В определении (I) Диофант вводит число как множество единив;, т. е. повторяет определение 2 книги VII «Начал» Евклида. Это определение восходит еще к Платону и Аристотелю, а вероятно, и к пифаго­ рейцам; оно описывает натуральные числа, и в соответст­ вии с этим дроби не считались числами. В «Началах» нет дробей, но есть учение об отношениях целых чисел, над которыми, впрочем, определяется только одна опе­ рация — составление отношений, соответствующая умно­ жению; сложение для отношений чисел не было опре­ делено.

Совершенно иную трактовку мы встречаем у Диофанта. Несмотря на повторение определения Евклида, Диофант на протяжении всех своих книг называет числом (ар$р.6;) неизвестное, либо состоящее из неопределенного числа единиц, либо являющееся дробью. При решении задач он не делает отличия между целыми и дробями, называя и те и другие числами. Более того, он знает и об ирраци­ ональных числах, однако не включает их в ту область, в которой он ищет решение. Так, в задаче ІѴ9, получив равенство

35ж2 = 5,

он пишет: «и х [т. е. неизвестное число.— И. Б.\ не рационально, так как отношение одного вида к другому не будет отношением двух квадратов». Такие же обороты встречаются и в других задачах.

Но и такое расширение являлось еще недостаточным для построения алгебры. Диофанту нужна была область, замкнутая относительно всех четырех действий ариф­ метики, т. е. поле. И вот в определении (IX) он вводит отрицательные числа (отрицательное число он называет словом ХвТфіс). Делает он это, по существу, аксиомати­ чески, а именно, он определяет чисто формально «правило знаков» при умножении. Никакой интерпретации отри­ цательные числа у него не получают.

Разумеется, новые числа еще не имели равноправпя с положительными: так, решение задач ищется только в полуполе Q+. Но такую ситуацию мы встречаем в истории

И

И. Г. БАШМАКОВА

науки очень часто. Здесь невольно напрашивается аналогия между Диофантом и Бомбелли (XVI век). И тот и другой ввели новые числа: первый — отрицательные, второй — мнимые. Сделали они это одним и тем же способом — определив правило умножения новых чисел. Оба они не дали для новых объектов никакой интерпре­ тации. Наконец, и тот и другой применяли новые числа только в промежуточных выкладках, а окончательный результат искали в старой числовой области.

Далее, Диофант вводит буквенную символику: он вво­ дит специальные знаки для неизвестного числа и его пер­ вых шести положительных и отрицательных степеней (подробнее об этом см. в комментарии к книге I). Здесь заметим только, что для названия степеней неизвестного применяется еще геометрическая терминология: третья степень называется кубом (как и у нас), корень квадрат­ ный из числа называется его стороной и т. д. Однако Диофант свободно складывает квадраты и кубы между собой и со сторонами, т. е. рассматривает все эти объекты как числа. Более того, он вводит квадрато-квадраты и кубо-кубы, не имея, конечно, в виду объекты пространств четырех и шести измерений.

Присоединив к полю рациональных чисел Q 1) неиз­ вестное, Диофант специально останавливается на прави­ лах умножения его степеней. Замечательно, что он явно выделяет два чисто групповых свойства этой операции,

аименно:

1)я-аГ1 = 1;

2) хп-1 = хп.

Итак, алгебра Диофанта на первый взгляд есть ал­ гебра рациональных функций одного переменного. Но в большинстве его задач вопрос ставится о нескольких неизвестных (часто пяти, шести и больше). Как же он оперирует с ними?

Для решения задачи Диофант выражает все искомые числа как рациональные функции одного основного неизвестного и параметров. Этим параметрам, правда, придаются конкретные числовые значения. Но Диофант при этом обычно (но не всегда) оговаривает, что они могли бы бытъ и любыми другими. Параметры играют в «Ариф-

1) в дальнейшей буква Q будет всегда обозначать поле рациональных чисел.

12

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

метике» роль дополнительных неизвестных. При этом Диофант часто берет в качестве параметров последова­ тельные числа 1, 2, 3 или 2, 3, 4, чем подчеркивается несущественность приданных параметрам конкретных зна­ чений.

Если оказывается, что выбранные значения парамет­ ров не годятся, т. е. основное неизвестное получается ир­ рациональным или отрицательным, Диофант выясняет, посредством каких операций оно было получено из пара­

которое не имеет решений в Q+. Тогда Диофант восстанав­ ливает последовательность операций, с помощью которых

(см., например, задачи ІѴ8_ц).

Таким образом, обычный для арифметики Древнего Востока «метод ложного положения» преобразуется у Диофанта в настоящий алгебраический анализ.

В этом отношении очень интересны задачи ІІІ10_11: при выбранных значениях параметров (4 и 5) обе они сводят­

на конкретные числа, но как на символы для обозначения произвольных чисел, то видно, что эти уравнения раз­ решимы не всегда, а лишь при определенных условиях. И вот Диофант, не обращая внимания на случайно полу­ ченные решения, ищет и здесь общие условия, которым должны удовлетворять параметры для того, чтобы решение существовало при любых допустимых значепнях. (См. комментарий к IІІ10_1;1.)

Таким образом, символы для параметров несут в «Ариф­ метике» двойную функцию: во-первых, это конкретные числа, а во-вторых, обозначения для произвольного чис­ ла. Только недостаток символики не позволил Диофанту разделить эти функции.

13

И. Г. БАШМАКОВА

А. Неопределенные уравнения

Основным содержанием «Арифметики» является решение в рациональных положительных числах неопределенных уравнений

где F и Fi — многочлены с рациональными коэффициен­ тами, а т О п.

Но что означало для Диофанта решить такую систему? Достаточно ли было отыскать какое-нибудь одно решение

нальных решений системы (2) и определить его алгебраи­

Множество М (К ), разумеется, зависит от поля К. Одна и та же система может не иметь решения в некотором

Q (/3 ) у него бесконечно много решений.

Наиболее простым является случай, когда неизвестные можно выразить как рациональные функции с коэффи­

где / (х, у) — многочлен, неприводимый над Q. Это урав­ нение представляет на плоскости XOY кривую Г. Если можно выразить неизвестные в виде

14

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

где ер и г)) — рациональные функции с рациональными коэффициентами, так что

/ Іф (0. Ф (*)1 = О,

то кривая Г называется рациональной. Говорят также, что уравнение (3) униформизируется в рациональных функциях.

В конце XIX — начале XX веков Д. Гильберт и А. Гурвицх) и, независимо от них, А. Пуанкаре2) показали, что всякая кривая рода 0, на которой лежит хотя бы одна рациональная точка, будет рациональной. Мы покажем, что Диофант доказал эту теорему для всех кривых второго порядка.

Если же род кривой Г больше 0, то униформизации в рациональных функциях не существует. Но если род в точности равен 1, то множество М (Q) также имеет ал­ гебраическую структуру, а именно оно является абелевой группой с конечным числом образующих. Первое из этих утверждений А. Пуанкаре доказал с помощью ме­ тодов, которые применял уже Диофант, а второе он высказал в виде гипотезы, которую доказал в 20-х годах нынешнего века Л. Морделл 3).

Относительно кривых рода !> 2 окончательных ре­ зультатов до сих пор не существует. Неизвестно даже, может ли кривая рода > 2 иметь бесконечно много ра­ циональных точек.

Система (2) определяет, вообще говоря, аффинное многообразие М(г) измерения г = п — т. Если А <-Т) би­ рационально изоморфно аффинному пространству Qr, то оно называется рациональным. Оно называется унирациональным, если Qr можно рационально отобразить на него.

Перейдем теперь к постановке вопроса у Диофанта. Среди историков науки до сих нор распространено

15

И. Г. БАШМАКОВА

Диофант довольствовался нахождением одного поло­ жительного рационального решения задали (см., например, Ван-дер-13ардеи, Пробуждающаяся наука, М., Физматгиз, 1959, стр. 375). Между тем это совершенно неверно! Основная цель Диофанта состоит в том, чтобы выразить, если это возможно, неизвестные уравнения (1) или сис­ темы (2) как рациональные функции от одного или не­ скольких параметров

Диофант, по-вндпмому, не интересуется вопросом о том, нашел ли он все решения задачи или только некоторую, хотя бы и бесконечную, часть их. Так, например, система, к которой сводится задача IIIБ, определяет многооб­ разие А(3>. Диофант приводит два ее решения, в первом из которых неизвестные выражаются как функции от од­ ного параметра, а во втором — от трех.

Большинство кривых и многообразий, к которым приводят задачи Диофанта, являются рациональными (хотя встречаются и нерациональные многообразия). При этом, как правило, Диофант получает выражения для неизвестных через параметры, которым приданы кон­ кретные числовые значения, так что и само решение получается в рациональных числах. Однако, как мы уже говорили, вместо чисел, изображающих парамет­ ры, можно взять любые другие (произвольные или удовлетворяющие некоторым условиям) и, таким обра­ зом, получить не одно, а бесконечно много решений. На это обстоятельство неоднократно указывает Диофант.

числа в виде Х г — (ß2 — 1)t, Х 2— (у2 — 1)t, Х 3 = (б2 —1)t,

Однако в «Арифметике» имеются и такие^задачи, в которых Диофант требует пайти решение «в неопределен­ ной форме», т. е. найти явно те рациональные функции,

16

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ

которые униформішіруют неопределенное уравнение (см., например, леммы к задачам ІѴ34_36). Диофант поясняет, что нужно найти такие выражения (или формулы), которые удовлетворяли бы задаче, если вместо неизвестного х подставить такое числовое значение, какое мы захотим.

Но не все задачи «Арифметики» сводятся к системам, определяющим рациональные кривые и рациональные многообразия. Особенно интересны задачи, которые приво­ дятся к определению рациональных точек эллиптической кривой (т. е. кривой рода 1). Здесь Диофант применяет новые замечательные методы, позволяющие, зная одно или два рациональных решения соответствующего урав­ нения, найти новое его рациональное решение. Ниже мы подробно рассмотрим эти методы, а теперь перейдем к краткому обзору «Арифметики».

5. Шесть книг «Арифметики»

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими решениями, полученными разными спосо­ бами) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим про­ изведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и расположены так, что слу­ жат иллюстрацией вполне определенных общих методов. Как это было принято в античной математике, методы не формулируются общим образом, отдельно от задач, но раскрываются в процессе решения. Напомним, что даже знаменитый «метод исчерпывания» — первый вариант тео­ рии пределов — не был выделен в чистом виде ни его соз­ дателем Евдоксом из Книда, ни Архимедом. Только ма­ тематикам XVII века, на основании анализа «Начал» Евклида и квадратур Архимеда, удалось его извлечь

исформулировать общим образом. То же самое мы попы­ таемся делать при разборе задач Диофанта.

Все задачи книги I являются определенными. Если они

иставятся как неопределенные, то доопределяются в про­ цессе решения. В этой же книге имеется несколько задач (І27_зо), которые приводятся к системам дша-лтавнений от

двух неизвестных, эквивалентнымквадраііномуураци§н^ркя

ЧИТАНЫ .

И. Г. БАШМАКОВА

Для того чтобы решения были рациональными, Диофант требует, чтобы дискриминант уравнения был полным квадратом. Делает он это без специальных пояснений, что свидетельствует о том, что в его время формула решения квадратного уравнения во всех ее вариантах была хорошо известна.

•Задачи книги II относятся уже к собственно неопреде­ ленному анализу. Первые десять задач эквивалентны урав­ нениям вида

где F2 (X , F) — многочлен второй степени с рацио­ нальными коэффициентами (т. е. соответствующая кривая имеет род 0). На этих задачах Диофант показывает свой метод и, по существу, доказывает частный случай теоремы Гильберта — Гурвица — Пуанкаре, о которой мы гово­ рили выше, а именно:

«Если уравнение (5) имеет рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много рациональных решений, причем неизвестные могут быть выражены как рациональные функции одного параметра:

X = ф (f), Y = ф (г).»

Мы расскажем подробно об этом методе Диофанта в комментариях к книге II. Здесь же отметим следующее: в книге II общий метод для выражения неизвестных в виде рациональных функций параметра излагается всег­ да для конкретных значений параметра, и о числе решений явно ничего не говорится. О бесконечности числа решений можно заключить только из самого метода. В задаче ІІІ19, применяя решение задачи ІІ8, Диофант уже явно говорит о том, что число ее решений бесконечно, а именно он пишет:

достаточно ясно вытекает из его метода. Наконец, в книге VI Диофант доказывает две леммы о том, что если урав­ нение аХ2 + Ь = Y 2 имеет одно рациональное решение, то оно имеет и бесконечно много других решений (леммы к задачам ѴІ12 и ѴІ16).

Остальные задачи книги II сводятся к системам урав­ нений, каждое из которых не выше второй степени.

18