книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах
.pdfД И О Ф Л Н Т
шим равняется разности [чисел], умноженной на умень шенное на единицу количество заданных чисел [4]
Пусть даны любые числа AB, ВГ, BA, BE с одина ковыми разностями; нужно показать, что разность между
л г ° к |
~ |
° |
AB и BE равна разности между AB и ВГ, умноженной на [количество] AB, ВГ, BA, BE, уменьшенное на единицу.
Действительно, поскольку предполагается, что AB, ВГ, BA, BE имеют между собой одинаковые разности, то, значит, АГ, ГД, АЕ будут между собой равными. Следо вательно, ЕА равняется АГ, умноженному на количество АГ, ГД, АЕ; количество же АГ, ГД, АЕ будет на еди ницу меньше количества AB, ВГ, ВA, BE; таким образом, ЕА кратно АГ в число раз, иа единицу меньшее количества AB, ВГ, BA, BE. И АЕ представляет разность между наибольшим и наименьшим числами, а АГ есть их одна общая разность.
III
Если дано любое количество чисел с одинаковыми раз ностями, то сумма наибольшего и наименьшего из них, умноженная на их количество, дает число, вдвое большее суммы всех заданных чисел [5].
Пусть даны любые числа А, В, Г, А, Е, Z с одина
ковыми |
разностями; |
требуется показать, |
что |
сумма |
А и Z, |
умноженная |
на количество А, В, |
Г, А, |
Е, Z, |
|
о А |
7 |
о |
|
|
н |
|
ѳ |
|
образует некоторое число, в два раза большее суммы всех А, В, Г, А, Е, Z.
Количество А, В, Г, А, Е, Z будет или четным, или нечетным.
Положим сначала его четным, и пусть количество за данных чисел будет равно количеству единиц в числе
НѲ. Это НѲ |
будет четным. |
Разделим его пополам |
в К |
и разделим |
НК в Л, М на |
содержащиеся в нем |
еди |
ницы. |
|
|
|
170
О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х
Ипоскольку разность между Z и А такая же, как между
Ги А, то сумма Z и А равна сумме Г и А. Но сумма Z и
Аравна произведению суммы Z и А на НА; так же и сумма
Ги А равна произведению суммы Z и А на AM. На том же основании и сумма Е и В равна произведению суммы Z и А на МК; таким образом, сумма А, В, Г, А, Е, Z равна произведению вместе взятых Z и А на НК. Но про изведение суммы Z и А на НК вдвое меньше произведе ния суммы Z и А на НѲ. Таким образом, сумма всех А,
В, Г, А, Е, Z вдвое больше произведения вместе взятых Z и А на ІіѲ, т. е. на количество А, В, Г, А, Е, Z. Это и требовалось доказать.
Пусть в тех же предположениях количество А, В, Г, А, Е будет нечетным, а в ZH будет столько единиц, сколько имеется А, В, Г, А, Е. Следовательно, ZH будет нечетным, отложим на нем единицу Z0, разделим ѲН пополам в К, а ѲК разделим в точке А на заключаю щиеся в ием единицы. И поскольку Е превосходит Г на
у. н л к н
столько же, как и Г превосходит А, то вместе взятые Г, А будут вдвое больше Г, т. е. произведения Г на ЛК; на том же основании вместе взятые В, А вдвое больше произведения Г и ЛѲ; таким образом, А, Е, В, А бу дут вдвое больше произведения Г иа ѲК. Но ѲН вдвое больше ѲК; тогда А, Е, В, А равны произведению Г на ѲН; так же и Г равно произведению Г и 0Z. Таким образом, сложенные вместе А, В, Г, А, Е равны произ ведению Г -ZH. Но удвоенное произведение Г -ZH будет равно произведению вместе взятых А, Е на ZH. Следова тельно,. удвоенная сумма А, В, Г, А, Е будет равна про изведению вместе взятых А, Е на ZH, т. е. на количество заданных. Это и требовалось доказать.
IV
Если дано, начиная с единицы, любое количество чи сел с одинаковыми разностями, то сумма их всех, умно женная на восьмикратную разность и сложенная с квад ратом уменьшенной на двойку разности, образует квадрат,
171
Д И О Ф А Н Т
сторона которого без двойки будет равна разности, ум ноженной на некоторое число, которое после сложения с единицей будет вдвое больше количества всех взятых чисел, считая и [начальную] единицу Iе].
Пусть будет, начиная с единицы, несколько чисел AB, ДГ и EZ с одинаковыми разностями. Я утверждаю, что все сказанное будет иметь место.
Пусть НѲ содержит столько единиц, сколько взято чисел, считая и единицу; так как разность, на которую EZ превышает единицу, к разности, на которую AB больше
(единицы), имеет отношение, равное числу |
единиц в |
НѲ без одной, то, если мы положим АК, ЕЛ, |
НМ еди |
ницами, будем иметь, что AZ равно КВ, взятому столько раз, сколько единиц в МѲ: так что AZ равно произве дению КВ-М Э1).
Положим KN = 2 и посмотрим, не будет ли сумма всех [чисел], умноженная на 8 КВ (где КВ есть разность чисел) и сложенная с квадратом NB (т. е. уменьшенной на двойку разности)2), равна квадрату, сторона которого
без двойки образует некоторое число, |
равное |
разности, |
||||
т. е. КВ. |
умноженной на сумму НЭ и ѲМ 3). |
|
||||
о о |
о |
--------- о --------- о --------- о — |
£ |
ОН |
||
о |
А |
К |
N |
В |
|
|
|
О--------- О----------------------------- -----— ----- о |
|
ом |
|||
|
Г |
|
|
Л |
|
|
|
о------о |
|
|
О |
(9? |
|
|
Е |
Л |
|
|
Z |
о
6ѳ
Сумма всех [чисел] равна половине произведения вмес те взятых EZ и ЕЛ на ѲН; (представим произведение
’) Так как АК = |
1 и AB — первое число после единицы, то |
КВ будет раз |
||||||
ностью d |
прогрессии. Далее, НѲ = |
п — числу |
взятых |
членов, AZ = |
||||
= |
d (п — 1). |
(Прим, перев.) |
|
|
|
|||
*) То |
есть |
S-Sd + |
( d — 2)*. |
(Прим , |
перев.) |
|
|
|
*) То |
есть |
S -8d + |
(d — 2)2 = |
[2 + d |
(2n — 1)]*. |
(Прим , |
перев.) |
172
О М Н О Г О У Г О Л Ь Н Ы Х Ч И С Л А Х
вместе взятых |
ZE и ЕЛ на ѲН> как сумму AZ и НѲ и |
||||
2ЕЛ-НѲ, т. е. |
2НѲ; тогда |
сумма |
всех |
членов будет |
|
равна (половине) |
AZ-НѲ и |
2НѲ. |
Но |
доказано, что |
|
AZ равно КВ-МѲ, |
и, значит, AZ-НѲ будет равно телу |
||||
КВ-МѲ-НѲ, и, следовательно, сумма всех равна по |
|||||
ловине [суммы] тела КВ-МѲ-НѲ и 2НѲ х). |
|||||
Тогда, если |
разделим НѲ пополам в S, то получим, |
что сумма всех равна телу КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ІІѲ. Посмотрим, не будет ли тело КВ-НѲ-ѲЕ вместе с ѲН, помноженное на 8КВ и увеличенное на NB2, тоже квад ратом 2).
Но тело КВ-НѲ-ѲН, помноженное на КВ, состав
ляет произведение |
НѲ-ѲЕ на КВ2 3). Таким образом, |
|||||
тело КВ-НѲ-ѲЕ, |
умноженное |
на |
8КВ, будет равно |
|||
НѲ-ѲЕ, умноженномуI на 8КВ2, |
или же произведению |
|||||
8НѲ-ѲЕ-КВ2, т. е. |
4НЭ-ѲМ-КВ2. |
|
|
|||
Если |
прибавить |
к этому произведение НѲ на 8КВ |
||||
и NB2, то |
не получится ли квадрат? Но НѲ, умноженное |
|||||
на 8КВ, |
дает 8НѲ-КВ; |
значит, |
не |
составит |
ли квадрат |
|
4НѲ-ѲМ, умноженное |
на КВ2, |
сложенное |
с 8НѲ-КВ |
|||
и NB2? |
|
|
|
|
|
|
Но 8НѲ • КВ раскладывается на |
4HN • КВ и учетверен |
|||||
ную сумму НѲ,ѲМ |
(умноженную |
на КВ. |
Не составит |
ли сумма произведения 4НѲ-ѲМ), умноженного на КВ2, 4НМ-КВ и учетверенной суммы НѲ, ѲМ, умноженной на КВ, и и NB2 квадрата 4)?
Но 4НМ-КВ = 2NK-KB6). Увеличив это на NB2, получим [сумму] КВ2 и KN2. Теперь, не образует ли квад
рата [сумма] 4ѲН-ѲМ, умноженного |
на КВ2, и 4 на |
|
сумму НѲ, ѲМ, умноженную на КВ, |
и ВК2 и KN2? |
|
Но КВ2 равняется ИМ2-КВ2 и после прибавления к |
||
4НѲ-ѲМ, умноженного на |
КВ2, образует сумму НѲ, |
|
‘) Замечательно, что адесь Диофант |
свободно складывает «тело» со стороной |
2НѲ. Такие действия в классической греческой математике считались недопустимыми. Этой точки зрения придерживался еще Ф. Виет. Дио фант же трактует, очевидно, и тело и сторону как числа, мы бы теперь ска
|
зали — как элементы одного и того |
же поля. (Пріш . реЭ.) |
||
") |
(КВ-НѲ-ѲЕ + ѲН)-8КВ + |
NB2 = |
□ . |
(Пріш . перев.) |
■’) |
(КВ-НѲ -ѲЕ)-КВ = НѲ-ѲЗ-КВ*. |
(Прим, перев.) |
||
«) То есть 4 Н Ѳ Ѳ М - К В 2 + |
4HM -KB + |
4(НѲ + ѲМ )-КВ + NB* = Q , |
||
|
(Пріш . перев.) |
|
|
|
>) |
НМ = 1, NK = 2. (П ріш . |
перев.) |
|
|
173
Д И О Ф А Н Т
ѲМ в квадрате, умноженную на КВ2 г). Теперь, не об
разует |
ли квадрата сумма квадрата вместе |
взятых |
НѲ |
и ѲМ, |
умноженного на КВ2, и учетверенной |
суммы НѲ, |
|
ѲМ, умноженной на КВ, и KN2 2)? |
|
на |
|
Если положим произведение суммы НѲ и ѲМ |
КВ равным некоторому числу Щ , то и квадрат вместе взятых НѲ и ѲМ, умноженный на КВ2, будет равен N£2, что мы докажем ниже. Следовательно, образует ли квадрат сумма N |2 и NK2 вместе с учетверенной суммой НѲ и ѲМ, умноженной на КВ ?
Но произведение 4 на (сумму) НѲ, ѲМ и на КВ равно 4N|, так как мы положили N£ равным произведе нию [суммы] НѲ, ѲМ на КВ, а 4N£ = 2NJ--NK, ибо NK мы положили равным 2. Итак, не образует ли квад рата (сумма) N£2 и NK2 вместе с 2N£-NK?
Но она действительно будет квадратом, сторона кото рого равна К |; если уменьшить ее на двойку NK, то оиа даст некоторое число N|, равное разности КВ, умножен ной на сумму НѲ, ѲМ; если к последней прибавить единицу НМ, то мы получим (удвоенное) число всех взятых членов.
Д о к а з а т ь п р о п у щ е н н о е [7].
Пусть вместе взятые НѲ и ѲМ равняются А, а КВ равно В и произведение вместе взятых НѲ, ѲМДіа КВ равно Г.
Я утверждаю, |
что квадрат вместе взятых НѲ, |
ѲМ |
|||
(т. е. |
квадрат на А), умноженный на квадрат КВ |
(т. е. |
|||
квадрат на В), |
равен квадрату на Г. |
|
|||
Ч |
Так |
как |
НМ = |
НѲ — ѲМ. (Прѵлі. порее.). |
|
*) |
То |
есть |
(НѲ + ѲМ)2-КВ2 + 4(НѲ + ѲМ1-КВ -г KN2 = □ . |
(Прим, |
порее.)
174
О М Н ОГОУГОЛЬНЫ Х ЧИСЛАХ
Отложим на прямой AE, EZ, равное соответственно А и В, построим на них два квадрата ДѲ, ЕЛ и до полним параллелограмм 0Z.
Тогда ДЕ относится к EZ, как ДѲ к параллелограмму Z0; а как 0Е к ЕК, так и параллелограмм 0Z к ЕЛ; следовательно, параллелограмм 0Z есть средняя пропор циональная между квадратами ДѲ и KZ; значит, произ ведение квадратов Д0 • KZ равно квадрату параллело грамма 0Z х); и квадрат ДѲ равен квадрату вместе взятых ІТѲ и ѲМ, квадрат же ZK равен квадрату КВ, и паралле лограмм 0Z равен N£. И следовательно, квадрат на вмес те взятых ІіѲ, ѲМ, умноженный на квадрат КВ, равен квадрату N |.
После того, как все предшествующее изложено, мы утверждаем, что если имеются числа, начиная с единицы в любом количестве и с какой угодно разностью, то вся их совокупность есть многоугольник; он имеет углы, количество которых равно разности этих чисел, увели ченной на двойку, а стороной его будет количество этих чисел, считая и единицу.
Действительно, мы доказали, что сумма всех имеющих ся чисел, умноженная на 8КВ и сложенная с NB2, дает |К 2; если мы возьмем другую единицу АО, то получим КО = 2; одновременно KN также будет 2. Следовательно, OB, ВК и BN будут иметь одинаковые разности; значит, восьмикратное произведение большего [числа] OB на сред нее ВК, сложенное с BN2, будет равно квадрату, сторона которого равняется сумме большего OB и удвоенного среднего ВК. Таким образом, OB, умноженное на 8КВ и сложенное с NB2, равняется квадрату на вместе взятых OB и 2КВ; его сторона, уменьшенная на двойку ОК, дает в остатке ЗКВ; это же будет КВ, умноженное на трой ку; тройка же, сложенная с единицей, представляет удвоенную двойку.
■) Здесь уже Диофант оперирует с такими немыслимьши для классической античной математики понятиями, как квадрат параллелограмма и произ ведение двух квадратов. Хотя доказательство проводится на геометриче ских объектах, по они служат скорее для наглядности, по существу ж е площади и квадраты их понимаются как числа. (Ярtut. pcfl.)
175
Д И О Ф А Н Т
Таким образом, сумма всех взятых чисел вместе с единицей решает ту же задачу, что и OB; но ОБ является совершенно произвольным, и первым многоугольником после единицы (так как единица есть АО, а второе число AB), и имеет стороной двойку. Итак, вся совокупность
взятых |
членов |
есть многоугольник, равноугольный с |
|||
OB, имеющий число углов, большее разности КВ на двой |
|||||
ку ОК; |
сторона |
же этого многоугольника |
будет НѲ, |
что |
|
представляет количество взятых |
членов, |
считая и |
еди |
||
ницу. |
|
|
что Гипсикл .принял за |
||
Таким образом, доказано то, |
определение [8].
«Если взять сколько-нибудь чисел, начиная с единицы, имеющих одинаковые разности, то сумма их, если разность единица, будет Треугольником, если же двойка) , то четырехугольником, а если тройка — пятиугольником. Количество углов определяется разностью, увеличенной па двойку, а сторона — количеством взятых чисел, считая и единицу».
Если разность равна единице, то получаются тре угольники, стороны которых равняются наибольшим из предложенных Ічисел], и произведение наибольшего из предложенных на число, большее его на единицу, равно удвоенному рассматриваемому треугольнику. И если [многоугольное число] OB, имеющее столько углов, сколь ко в нем заключается единиц, множится на 8-кратпое числа, которое меньше его на двойку (т. е. па разность, которая умножается на 8КВ), и увеличивается па квад рат числа, которое меньше его на четыре (это будет NB2), то получается квадрат *).
Поэтому многоугольные числа имеют и такое опреде ление:
Всякий многоугольник, помноженный на восьмикрат ное числа, меньшего на два количества его углов, и сло женный с квадратом числа, меньшего количества его
углов |
на |
четыре, образует квадрат. |
|
') Если |
N — число углов рассматриваемого |
многоуголышка, то разность |
|
d = N — 2. |
Тогда формула, устаповлепная |
в предложении ГѴ, принимает |
|
вид |
|
|
|
S-8 (N — 2) + (N — 4)1 = [2 + (2п — 1) (ЛГ — 2)К (Ярилі. перво.)
176
О М Н О ГО У ГО ЛЬН Ы Х ЧИСЛАХ
После доказательства определения Гипсикла, а также и нового определения многоугольников остается лишь показать, как по заданной стороне находится предло женный многоугольник.
В самом деле, имея заданной сторону НѲ некоторого многоугольника, а также количество его углов, ми име ем данной и КВ. Но тогда данным будет и произведение суммы НѲ, ѲМ на КВ, а это равно N£; отсюда же мы получаем данной и К |, так как NK равна двум. Тогда данным будет и К£2, отнимая же отсюда уже данный NB2, получим данным и остаток, который будет кратным искомому многоугольнику, а именно по кратности 8КВ. Таким образом, мы можем определить и искомое много угольное число х). Подобным же образом для заданного многоугольного числа находим его сторону ИѲ; это и требовалось показать.
Для желающих легко запомнить преподанное поучи тельнее будет привести следующий метод.
Взявши сторону многоугольника, будем всегда удваи вать ее и вычитать единицу; остаток множим на число углов, уменьшенное па двойку; к полученному всегда прибавляем двойку и сумму возводим в квадрат; отсюда вычитаем квадрат числа углов без четверки и остающееся делим па восемь раз взятое число углов без двойки; таким образом получается искомый многоугольник.
Обратно, если дано само многоугольное число, то его сторона находится следующим образом. Множим число па восемь раз взятое число углов без двойки. К получен ному прибавим квадрат числа углов без четверки; если заданное число было действительно многоугольным, то должен получиться квадрат. От стороны этого квадрата вычитаем всегда двойку и делим остаток на количество углов, уменьшенное на два, к частному прибавляем еди ницу и от полученного берем половину; после этого потлучится искомая сторона многоугольника.
*) Зная сторону (число членов прогрессии) ГІѲ = п. а также число углов N , находим разность прогрессии КВ = d = N — 2. Далее, N5 = = (НѲ + ѲМ)-КВ = (n + п — 1) ff; многоугольное число (т. е. сумма S про-
грессии) получается по формуле S—[ä + (2W—1) rfj* —i d |
. (Прііаі. лерез.) |
8(і |
|
177
Д И О Ф А Н Т
[Найти, сколькими способами данное число можно пред ставить в виде многоугольника [8].
Пусть дано число AB, количество углов которого равно ВГ, и возьмем на ВГ двойку ГД и четверку ГЕ. Так как AB является многоугольником, имеющим ВГ углов, то 8АВ-ВД вместе с BE2 образуют квад ра.
А Ѳ в ""е ~д ""г |
л |
к |
о
г
Пусть стороной его будет ZH, тогда
ZH2 равняется [сумме] 8АВ-ВД и BE2.
Возьмем на AB единицу АѲ и разложим 8АВ-ВД иа 4АѲ-ВД и учетверенную сумму AB, ВѲ, (умноженную на ВД. Положим, что ДК равно учетверенной сумме AB, ВѲ>, и преобразуем учетверенную сумму AB, ВѲ, ум ноженную на ВД, в произведение КД-ДВ, а4АѲ-ВД в 2ВД-ДЕ (так как ЕД = 2). Значит,
ZH2 = КД-ДВ и 2ВД-АЕ и BE2.
Но
2ВД-ДЕ и BE2 = ВД2 и ДЕ2.
Значит,
ZIT2 = КД-ДВ и ВД2 и ДЕ2.
Но
КД-ДВ и ВД2 = КВ-ВД;
значит,
ZH2 = КВ-ВД и ДЕ2.
Теперь, так |
как ДК, равное учетверенной сумме |
AB, ВѲ, больше, |
чем 4АѲ, т. е. четырех, а ДГ равно |
двойке, то остаток ГК больше, чем 2ГД. Значит, точка, делящая ДК пополам, упадет на ГК, пусть в Л. Преобразу
ем КВ-ВД в разность ВЛ2 |
и |
АД2. Ведь ДК разде |
|
лен пополам в Л и к |
нему |
приложено ДВ. Тогда |
|
КВ-ВД вместе |
с |
АД2 |
равно AB2 *); |
') Евклид, кн. II, предл. С. {Прим. |
ред.). |
|
178
О М Н ОГОУГОЛЬНЫ Х ЧИСЛАХ
значит,
разность ДВ2 и ЛД2 равна КВ-ВД.
Следовательно,
ZH2 равняется разности ВЛ2 и ЛД2 вместе с ДЕ2. Прибавляем к обеим частям ДА2, тогда
[сумма] ZH2 и ДЛ2 равна [сумме] ВЛ2 и ДЕ2.
Но если [сумма] |
двух чисел равна |
[сумме] |
других |
двух чисел, то и |
[соответствующпе]им |
разности |
будут |
равны; значит, |
|
|
|
разность ЛД2 и ДЕ2 равна разности ЛВ2 и ZH2. И так как
ЕД = ДГ
и прибавляется ГЛ, то
ЕЛ - ЛГ вместе с ГД2 равно АЛ2.
Значит, разность ДА2 и ДЕ2, т. е. разность ДА2 и ДГ2, составляющая произведение ЕЛ-ЛГ, равна разности ЛВ2 и ZH2.
Положим
ZM = ВЛ.
(Действительно, ВЛ больше ZH, так как доказано, что
[сумма] ZH2 и АЛ2 равна [сумме] ВЛ2 и ДЕ2,
наконец, АЛ2 больше, чем ДГ2, т. е. больше ДЕ2, значит,
БД2 |
больше ZH2. Значит, положим |
|
|
ZM = BA.) |
|
Тогда |
|
|
|
разность ZM2 и ZH2 равна ЕЛ-ЛГ. |
|
И |
так как ДК есть учетверенная сумма AB, |
ВѲ, а |
AK |
делится в точке Л пополам, то ДЛ является |
удво |
енной суммой AB и ВѲ. Но |
|
ДГ = 2АѲ,
179