книги из ГПНТБ / Александрийский, Д. Арифметика и книга о многоугольных числах

Д И О Ф А Н Т

чество X2? От тройки отнимаются три куба, каждый из которых меньше 1; [итак, задача] приводится к нахожде­ нию трех кубов, каждый из которых меньше 1, а их сумма отнятая от тройки, образует квадрат.

Будем искать каждый их этих кубов меньшим 1; если мы построим сумму этих трех меньшей 1, то каждый из кубов будет гораздо меньше единицы; таким образом, оставшийся [после их вычитаиия] квадрат будет больше 2.

Построим остающийся квадрат большим 2; пусть он будет 21/4[ = 9/4]. Тогда нужно разделить на (три) куба 3/4 или какие-нибудь его кратные, могущие быть разде­ ленными на три куба. Пусть это будет 216; тогда нам нуж­ но разделить 162 на три куба1).

Но 162 представляет сумму куба 125 и разности двух кубов 64 и 27. Из «Поризмов» мы имеем: «Разность вся­ ких двух кубов равна сумме двух кубов» 2).

Вернемся к первоначальной задаче и положим [числа соответственно равными] х3, умноженному на найденные числа, а сумму всех трех полагаем х. Тогда получится, что сумма трех кубов по вычитании каждого из них дает куб.

Было предложено, что сумма всех трех ранялась х. Но сумма этих трех будет 21/4х3; это же равно х\ отсюда

Xполучается 2/3.

Кподстановкам.

17. Найти три таких чпсла, чтобы куб суммы трех, будучи вычтен из каждого, давал куб.

Положим опять, что сумма трех будет х, а эти три числа 2X3, Эх3, 28х3. Остается сумму этих трех приравнять х.

140

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А у

И X получается 6/5. (Сторона 1-го будет 6/5,) 2-го 9/5

и3-го 1 .

Ккубу каждого из этих чисел я прибавляю 1 и воз­ вращаюсь к начальной [задаче]. Беру каждый а:3, взя­ тый число раз из найденных, полагая, что сумма трех равна X. Остается сумму трех приравнять х; но сумма

289

трех равна -gg-x3; приравняв это х, получаем х = 5/17.

Кподстановкам [1-е 341/4913, 2-е 854/4913, 3-е 250/4913.]

18.Найти три числа, равные [в сумме] (квадрату), такие, чтобы куб суммы трех, сложенный с каждым из них, давал квадрат.

Обозначим сумму трех чисел, чтобы она была квадра­ том, через X“, а искомые: 1-е Зх6, 2-е 8 х6 и 3-е 15х6. Тогда куб суммы всех трех, сложенный с каждым из них, ока­ жется квадратом.

Остается приравнять квадрату сумму трех чисел. Но эти три числа вместе суть 26х6; они равны х2. Разделив все на .г2, получим 26х4 = 1 .

Но 1 является квадратом, имеющим сторону квадрат­ ную. так что 26х4 должно быть квадратом, имеющим квад­ ратную сторону; упомянутую же количество х4 получи­ лось из некоторых трех чисел, каждое из которых вместе с 1 дает квадрат. (Итак, дело свелось к отысканию таких трех чисел, чтобы каждое из них вместе с 1 было квадра­ том) и еще чтобы сумма трех была квадратом со стороной

квадрат и, наконец, три сложенные дают квадрат, (име­ ющий стороной квадрат). Задача решена для неопреде­ ленного X.

141

Д И О Ф А Н Т

Положим, что X = 3; тогда 1-е из искомых будет 63, 2-е 15 и 3-е 3.

Возвращаемся к начальной задаче и опять положим все три вместе равными х2, а искомые 63л:0, 15а:0 и З.т°.

квадрата, каждый из которых больше 6 . Если мы каждый из них вычтем из 8 , то и получим искомые числа. Но уже было показано [Ѵп ], как нужно делить 22 на три квад­ рата, чтобы каждый из них был больше 6 .

три квадрата, что нетрудно.

') Решение этой задачи в рукописи не сохранилось. Фрагмент решении, ко­ торый следует за ней, относится к другой задаче. Баше де Ыезпрнак предположил, что между задачами 19 и 20 книги V были еще три, по­ следняя из которых формулировалась примерно так: «Найти три числа, сумма которых дана, и куб суммы минус каждое из них образует квад­ рат». Сохранившийся фрагмент является решением именно этой задачи, если данное число равно 2. Подробнее о гипотезе Баше см. в коммен­ тариях. Там же приводится реконструкция решения задачи 19, принад­ лежащая Э. Стаматнсу. (Прим, ред.)

142

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

21*. Найти три квадрата таких, чтобы тело, построен­ ное на трех, сложенное с каждым из них, давало квадрат.

Положим, это тело из трех будет х2\ поищем три квад­ рата таких, чтобы каждый из них вместе с 1 был квадратом.

Это можно получить из каждого прямоугольного тре­ угольника1); я беру три прямоугольных треугольника и, взявши квадрат одного катета, делю его на квадрат друго-

что каждый из них вместе с х2 дает квадрат. Предполагается, что тело из этих трех равняется х2;

на X2, получаем

14400 4 ,

518400Х ~

[Приравниваем] сторону к стороне, получается

120

Единица есть квадрат. Если бы ^ Х' было квадратом,

то задача была бы решена. Но этого нет.

Тогда нужно искать три таких прямоугольных треуголь­ ника, чтобы тело из трех их катетов [а^^зЬ умноженное па тело из их оснований [й^йз], давало квадрат.

Пусть его стороной будет произведение катетов одного из прямоугольных треугольников. Если мы раз­ делим все на произведение катетов упомянутого тре­ угольника, то получится произведение катетов одного треугольника, помноженное на произведение катетов другого треугольника.

И если один из треугольников мы возьмем (3, 4, 5), то придется искать два прямоугольных треугольника таких, чтобы произведение катетов одного было в 1 2 раз больше произведения катетов другого или чтобы площадь одного была в 12 раз больше площади другого. Но если

ники (5, 4, 3), (13, 12, 5) и (17, 15, 8). (Яріси. П. Таннери.)

143

Д И О Ф А Н Т

92581

—и 3-й 1600 X2. И если построенное на них тело при­

Положим, что образуемое ими тело будет х2, а иско­ мые три квадрата берем из прямоугольных треугольников: 1-й 16/25, 2-й 25/169 и 3-й 64/289. Полагаю их в х2; тогда

X2, из которого вычитается каждый [из этих] квадратов, остается квадратом.

Теперь нужно образованное этими тремя числами тело

квадратом, (имеющим стороной квадрат), и опять дело приводится к отысканию трех прямоугольных треуголь­ ников, у которых тело, образуемое тремя катетами и по­ множенное на тело, образуемое тремя гипотенузами, было бы квадратом. И если мы разделим [а ^а ^ с ^ с 3] на [произ­ ведение] гипотенузы и катета 1 -го треугольника, то [про­ изведение] гипотенузы и катета 1 -го треугольника должно быть кратным произведения гипотенузы и катета [2 -го треугольника], причем множителем является произведе­ ние гипотенузы и катета [3-го] прямоугольного тре­ угольника: [ахсг — a2c2 -a3cs]. Пусть [3-й] треугольник будет (3, 4, 5). Дело сводится к нахождению двух прямо­ угольных треугольников таких, чтобы [произведение] ги­ потенузы и катета в 1 -м треугольнике было в 2 0 раз боль-

144

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

ше [произведения] гипотенузы и катета во 2 -м треуголь­ нике: [ а ^ = 2 0 агс2].

Если же в 20 раз, то [отношение площадей можно взять равным] 5. Это нетрудно.

Больший треугольник будет 5, 12, 13, а меньший 3, 4, 5. Отправляясь от этих треугольников, нужно ис­ кать два других таких, чтобы [произведение] гипотенузы и катета в одном треугольнике было 6 , (а в другом 30>.

Тогда в большем треугольнике гипотенуза будет 6 Ѵ3, а катет 60/13. В меньшем же треугольнике гипотенуза

к первоначальной задаче: произведение трех квадратов

Остается произведение трех приравнять х2. Разделив все на X2 и взяв сторону от стороны, получаем х = 65/48

Кподстановкам.

23.Найти три таких квадрата, чтобы образуемое ими тело по вычитании из каждого из них давало квадрат.

Положим опять, что их тело равно х2, а сами они обра­ зуются из каких-нибудь трех прямоугольпых треуголь­ ников; и здесь опять дело сведется к тому, что искалось

впредыдущем предложении.

Если и в этом предложении мы воспользуемся теми же прямоугольными треугольниками и положим искомые квадраты равными

И так как я ищу произведение 1-го на 2-й, вместе с 1 дающее квадрат, то все это, умноженное на 3-й, будет

145

Д И О Ф А Н Т

те с третьим, давало квадрат, равно как и вместе с 1 -м и со 2-м. Но это мы уже показали выше [см. Ѵ21]. Таким образом, те же самые числа удовлетворяют искомому.

25. Найти три таких квадрата, чтобы произведение любых двух без единицы давало квадрат.

[Умножим] все на 3-й; тогда произведение 1-го и 2-го па 3-й, т. е. произведение трех, из которого вычтен 3-й, будет квадратом. Также и произведение трех, из которого вычтены 1-й или 2-й, будет квадратом. Но это уже показано [см. Ѵ22]. Те же три числа удовлетворяют и этому.

26. Найти три квадрата таких, чтобы произведение любых двух, отнятое от единицы, было квадратом.

Опять в поисках произведения двух чисел, которые нужно вычесть из единицы, чтобы получить квадрат, умножив все на 3-й, можно свести все дело к отысканию трех чисел таких, чтобы произведение их, вычтенное из каждого числа, давало квадрат, а это мы уже сделали

[см. Ѵ23].

27*. Для заданного числа подобрать три квадрата так, чтобы два любых из них, сложенные вместе с заданным числом, давали квадрат.

Пусть заданное число будет 15.

И пусть одно из искомых будет 9. Нужно найти еще

Итак, нужно искать такие два квадрата, чтобы каждый из них вместе с 24 давал квадрат. Возьмем какие-нибудь делители 24, которые образуют катеты прямоугольного

квадратов на пих с 24 дает квадрат.

Остается, чтобы сумма обоих квадратов с 15 давала квадрат. Получаем

^ + 25®»-9 = Q

14G

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

Пусть этот квадрат будет 25а;2. Тогда х = 5/6.

28*. Для данного числа подобрать три квадрата таких, чтобы сумма двух любых без заданного числа была квадратом.

Пусть заданное число 13.

Положим опять, что один из искомых квадратов будет 25. (Требуется найти два других таких), чтобы каждый

тов и некоторого числа таких, чтобы квадрат этого числа после вычитания квадратов на искомых давал некоторое (число), которое к удвоенному начальному числу имело

после вычитания квадратов на искомых дал бы в остатке

147

Д И О Ф А Н Т

три квадрата: 1-й а:2, 2-й 9, 3-й 16. И сумма квадратов

30.«Некто смешал впио в пять драхм и п восемь за конпііі. Спутникам чтобы своим в плаванье радостным быть.

Цену за псе заплатил числом каким-то квадратным. Если прибавить к нему заданный счет одппиц, То оно снопа к тебе другим позратится квадратом; Будет его стороной конгпсв сколько купил.

Сколько во псом сочти восьмидрахмовых конгиев было, Также и всех остальных, стоивших только пять драхм?»

Обозначаемое этой эпиграммой будет таким.

Некто купил вино двух сортов, 1-е стоило 8 драхм за копгий, а 2-е 5 драхм, и заплатил за все цену, выражаемую квадратным числом; это чпсло, сложенное с 60, образует квадрат, сторона которого равна количеству всех куплен­ ных конгиев. Скажи раздельно, сколько было восьми- и пятидрахмовых конгиев.

Пусть количество конгиев будет х, так что цена станет X2 — 60. Дальше нужно приравнять х2 — 60 некоторому квадрату и сторону этого квадрата взять равной х минус сколько-то единиц.

Но X2 — 60 складывается из двух чисел; цены восьми­ драхмовых конгиев и цены пятидрахмовых; <и пятая часть цены пятидрахмовых конгиев) дает количество пятидрахмовых, а восьмая часть цены восьмидрахмовых дает количество восьмидрахмовых. И так как общее ко­ личество конгиев составляет х, то приходится некоторое число, равное х2 — 60, разделить на два числа так, чтобы 1 / 8 одного и Ѵ5 другого составляли х.

148

А Р И Ф М Е Т И К А К Н И Г А V

И это я могу только сделать, если возьму х большим,

5z и некоторому числу, большему 60, так что х необходимо будет не меньше 1 1 .

Затем, так как х2 — 60 меньше 8 z, то придадим к обоим 60; тогда х2 равняется 8 z и некоторому числу, меньшему 60; поэтому следует искать z не большим 1 2 , но показано,

и увеличенного на 60, а потом разделенного на себя удво­ енного. И дело сводится к отысканию некоторого числа такого, чтобы его квадрат, увеличенный на 60 и разделенный

давало частное, меньше 1 2 , так что х2 + 60 должно быть меньше 24z; тогда 24z будет равно х2 и некоторому числу, большему 60. Значит, х должно быть меньше 21. Но оно больше 19, пусть оно будет 20.

Таким образом, приравнивая х2 — 60 квадрату, мы должны взять сторону последнего х — 2 0 ; отсюда полу­ чается, что X = ІНД, а х2 = ІЗЗ1/^

Отнимаю 60; останется 721/4. Итак, нужно разделить 72Ѵ4 на два числа так, чтобы пятая часть 1-го и восьмая

!) Здесь Диофант вводит новое неизвестное, которое обозначает тем же сим­ волом, что и первоначальное. (Прим, рев.)

149