книги из ГПНТБ / Потураев, В. Н. Резина в горном деле

2959 (условно-равновесный модуль Ет = 3,5 МН/м2). Определялась статическая жесткость каждого элемента в отдельности и затем всей системы последовательно соединенных и приклеенных друг

кдругу конусов.

Спомощью формулы (3.5) вычислялась продольная жесткость амортизатора (см. рис. 11). Высота вписываемого полого конуса принималась как 1/i общей высоты, а геометрические размеры выбирались из соображения наиболее полного соответствия вы­ бранного конуса и натурной детали. На рис. 51 показаны расчет­ ные и экспериментальные данные. Как видно, совпадение вполне удовлетворительное, по крайней мере на линейном участке зави­ симости сила — перемещение.

Расчет цилиндра при объемном сжатии

На рис. 12 показана конструкция амортизаторов с эффектом объемного сжатия и нелинейная характеристика зависимости сила — деформация. Расчетная схема для случая сплошного

Рис. 52. Расчетные схемы цилиндра при объемном сжатии: а — состояние 1; 6 — состояние 2; в — состояние 3

цилиндра показана на рис. 52. Состояние 1 (рис. 52, а) соответст­ вует ненагруженному амортизатору; состояние 2 (рис. 52, б) характеризует его в момент первичного контакта по боковой по­ верхности, т. е. начало эффекта объемного сжатия. В состоянии 3 (рис. 52, в) амортизатор испытывает полную деформацию объем­ ного сжатия. С учетом существенно нелинейной силовой характе­ ристики расчет амортизатора следует вести раздельно. На первом этапе определяются величины силы и осадки резинового элемента, необходимые для перевода его из состояния 1 в состояние 2 , т. е. по законам обычного одноосного сжатия. Согласно [5, 6 ] сжима­ ющая сила определится из выражения

Pu = ± G n n * (-§ -+ Т г**) Д12,

где г*=-£-;

70

А12 — осадка образца при переходе из состояния 1 в состояние 2

При дальнейшей деформации резинового элемента задача носит контактный характер. Процесс деформации определяется в основ­ ном величиной контакта по боковой поверхности, т. е. некоторым линейным размером %. Решение подобной задачи с усложненными краевыми условиями вариационными методами теории упругости для несжимаемого материала типа резины весьма затруднительно. В работах [5, 6] приведены некоторые теоретические предпосылки с использованием функции Хевисайда для составления функции перемещений квадратурной формулы Ланцоша. В этом случае

контактной поверхности по оси у и изменяющийся в диапазоне от 0 до 1 .

Суммарная сила с учетом эффекта объемного сжатия опреде­ лится из выражения

Р= £*12+ P‘2,31

исоответственно полная осадка

А= Д12 + Д23.

Экспериментальная проверка приведенных формул показала удовлетворительное совпадение расчетных и опытных данных.

3. РАСЧЕТ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ В РТИ

Релаксационные свойства резины обусловливают при ее де­ формации высокие гистерезисные потери. Поэтому при гармони­ ческом смещении резинового образца возникает так называемый диссипативный разогрев, величина которого пропорциональна работе деформации и выражается площадью петли гистерезиса.

71

Нагрев резиновых элементов от циклического нагружения является результатом конкуренции между гистерезисными тепло­ образованием и потерями тепла в окружающую среду. Образо­ вавшаяся теплота от резинового элемента передается металли­ ческой арматуре, примыкающим к ней металлическим частям машины и рассеивается в окружающую среду. Теплообразование в деталях зависит от ряда факторов и прежде всего от режима и условий деформации, размеров и формы образца, способа охла­ ждения узла нагружения, технологии изготовления детали и фи­ зико-механических характеристик материала. Теплообразование ускоряет физико-механические и химические процессы, про­ текающие в резиновом массиве, и существенно снижает прочность

изделий. Поэтому при констру­ ировании и расчетах РТИ не­ обходимо выбирать такую фор­ му и объем, а также назна­ чать такие режимы деформации, которые обеспечивали бы уро­ вень диссипативного разогрева, допустимый для данной кон­ струкции и выбранной марки резины.

Изучению теплообразования в резиновых деталях посвяще­ ны работы Б. М. Горелика [14], А. А. Суховой [73], Э. Э. Ла-

вендела и В. А. Санкина [33, 34]. Ряд работ в этом направлении выполнен авторами [23, 48, 49, 51, 55, 56, 57, 62].

Рассмотрим три случая определения градиента температур в предварительно поджатом элементе при многократных гармони­ ческих деформациях одноосного сжатия.

С л у ч а й 1. Амортизатор рис. 53 испытывает диссипативный разогрев при естественном отводе тепла в окружающую среду. Механические характеристики резины не зависят от температуры.

В цилиндрической системе координат г, z, <р (осесимметричная задача) напряжения можно выразить через перемещения UW и функцию гидростатического давления S в виде

or= G* (2 ^ + S ) ,

<r„ = G*(2-f +s),

CZ= G * ( 2 ^ + S ),

72

Эти соотношения получены из аналогичных [33] для упругого несжимаемого материала заменой модуля сдвига G на оператор сдвига G*.

Уравнения квазистатического равновесия и условие несжима­ емости в перемещениях принимают тот же самый вид, что и для упругого несжимаемого материала

G*(vW+ir) =0;

Полагая, что вязкоупругие характеристики материала за цикл изменяются незначительно, а температурное поле образца в уста­ новившемся режиме стационарно, уравнение теплопроводности можно записать в следующем виде:

где вР = Т — Т0 — приращение температуры нагрева резинового образца, кР — коэффициент теплопроводности резины, W — функ­ ция источника, определяемая усредненной за цикл суммарной величиной рассеиваемой энергии.

Вследствие условия несжимаемости можно записать

[ ( т г + т ц т г + и ^ - + ш

оо

где В = J к (z) sin ш dz;

о

U°, W° — амплитудные значения периодически меняющихся пере­ мещений; % — параметр релаксации; оо — частота нагружения; к (z) — ядро релаксации; G0 — мгновенный модуль сдвига.

Перемещения и напряжения полого цилиндрического аморти­ затора можно определить, используя метод упруговязкой ана­ логии. Упругие напряжения и перемещения при этом находятся с помощью бигармонической функции Ф (г, z), которая является аналогом функции Эри для несжимаемого материала. Разреша­ ющая функция может быть выбрана в виде

Ф = CjZ3 г2—z2) + c2r2z-f c3z3-f c4z In г + c6z3In Г .

73

Неизвестные постоянные определяются из граничных условий, которые в данном случае имеют вид

Черточка сверху обозначает упругий аналог соответствующей величины. Здесь А — поджатие образца, б — амплитуда пере­ мещения.

При этом граничные условия для напряжений записываются лишь в интегральном виде и означают, что для части цилиндри­ ческой поверхности, внутренней и наружной, высотой 2 h и соот­ ветствующей малому центральному углу, равнодействующие нор­ мальных и касательных напряжений и их моменты равны нулю.

74

Постоянные Cl, . . C*5 вычисляют из соответствующих выра­ жений для Cl, Cl путем замены б на А.

Сила, действующая на торцах амортизатора, может быть найдена из условия равновесия

Таким образом, для установившегося режима нагружения сила, действующая на амортизатор, будет складываться из по­ стоянной составляющей, характеризуемой величиной его под­ жатая, и составляющей, периодически изменяющейся по синусо­ идальному закону со сдвинутой фазой, которая определяется амплитудой синусоидального возбуждения. Сдвиг фаз будет зави­ сеть от упруговязких параметров резины. Уравнение теплопро­ водности для резинового элемента в соответствии с выражениями

(3.6)—(3.7) принимает вид:

75

Уравнение теплопроводности для воздуха, заключенного в по­ лости амортизатора, имеет вид уравнения Лапласа

где 0в — перепад температур в полости амортизатора.

Граничные условия, характеризующие теплообмен с окружа­ ющей средой, условия равенства температур и тепловых потоков на внутренней поверхности цилиндра (в интегральном виде) выбраны следующие:

где H ±, H 2 — коэффициенты теплообмена соответственно между резиной и металлом, резиной и воздухом; Н3 — коэффициент теплообмена между металлом и воздухом; кв — коэффициент теплопроводности воздуха.

Используя метод среднеквадратичной ошибки, принимаем

N

О R

76

и удовлетворением граничных условий получаем систему алгебра­ ических уравнений

в качестве элементов упругой подвески тяжелых вертикальных виброконвейеров. Температуру в амортизаторе при его гармони­ ческом возбуждении замеряли при следующих параметрах нагру­ жения: Д = 0,012 м; 6 = 0,0096 м и <а = 81,6 1/с. Реологические параметры резины по табл. 2.2 имели следующие значения: а =

— 0,59; р = 0,52; % = 0,244; G0 = 2,2 МН/м2. Используемые теплофизические характеристики определяли расчетным путем

затора по формуле (3.13) с помощью ЭЦВМ, и экспериментальные данные, полученные статистической обработкой на основе распре­ деления Стьюдента с доверительной вероятностью 0,95, предста­ влены на рис. 54.

Несовпадение расчетных данных с экспериментальными в об­ ласти температур 0 > 80° С можно, по-видимому, объяснить тем, что при расчете не учитывали зависимость величины я[з от темпе­ ратуры. Распределение температур по высоте амортизатора при радиусе г = 0,064, полученное расчетным путем, удовлетвори­ тельно совпадает с экспериментальным.

С л у ч а й 2. Определим температурное поле в рассматри­ ваемом полом цилиндрическом амортизаторе (см. рис. 53), реологи­

77

ческие характеристики которого изменялись с увеличением тем­ пературы. В первом приближении можно ограничиться лишь температурной зависимостью коэффициента поглощения энергии, экспериментальный график которой представлен на рис. 55 штри­ ховой линией [47]. Приближенно его можно представить в виде кусочно-линейной функции

+ 6р)(9р — 6р)> (3.17)

где ф0 — значение коэффициента поглощения энергии при 20° С; Ct — коэффициент пропорциональности; 0|> — значение темпе­ ратуры, начиная с которой зависимость ф (0р) становится суще­ ственно нелинейной; Н (0р, 0J) — функция Хэвисайда,

при 0р < 0р;

Я(0Р,

при 0р ss 0р.

Как и ранее, задача для вычисления температурного поля сво­ дится к решению уравнений теплопроводности, где функция источника тепла W определяется с учетом зависимости коэффи­ циента ф от температуры (3.17) и для вычисления приращения тем­ пературы 0Ввоздуха, заключенного в полости амортизатора (3.11).

При этом граничные условия, отражающие теплообмен с окру­ жающей средой, условия равенства температур и тепловых потоков на внутренней поверхности цилиндра (в интегральном смысле) остаются такими же (см. 3.12а—д).

78

и граничным условиям (3.12, а—д). Величины 0), и 0д определялись уравнениями

причем функция источника тепла определена в области, для кото­ рой выполняется условие 0J, ^ 0J. Эту область приближенно (возможен и графический способ) можно представить как полый цилиндр с внутренним радиусом R x, наружным радиусом RI и высотой 2h* из условий

выберем из условия, что на торцах и внешней поверхности выде­ ленного цилиндра приращение температуры 0р = 0р,

Постоянные Csn определялись из условия минимума средне­ квадратичной ошибки уравнений (3.19)

где /* — усредненное по объему значение функции / (г, z). Постоянные С1п, С2п и Ст определялись из линейной системы

3п алгебраических уравнений (3.16), получаемой при выполнении граничных условий.

В качестве приближенного решения уравнений (3.20), удовлет­ воряющего условиям (3.22а) и (3.23а), выберем

я (2п — 1)

где vn:

79