книги из ГПНТБ / Потураев, В. Н. Резина в горном деле

Неизвестные коэффициенты D Sn определим из условия мини­ мума среднеквадратичной ошибки уравнений (3.20)

Постоянные D ln, D in и D4„ определяются из граничных усло­ вий (3.126, г, д), что приводит к линейной системе 3п уравнений:

Пример 2. Определим температуру нагрева в рассматриваемом цилиндрическом амортизаторе, геометрические размеры которого, а также параметры режима нагружения, реологические и тепло-

Рис. 56. Распределение температур в полом цилиндрическом амортизаторе: (------------- расчет; точки — эксперимент)

физические характеристики оставались прежними (см. пример 1 ). Зависимость ф (Т) была такой, как на рис. 55, температурной зависимостью мгновенного модуля пренебрегаем.

Параметры и 0* определялись путем обработки методом наименьших квадратов экспериментальной зависимости техни­

80

Расчетные кривые, полученные для исследуемого амортиза­ тора с помощью ЭЦВМ, показаны на рис. 56: кривая 1 соответ­ ствует приращению температуры 0р, кривая 2 — приращению температуры 0р = 0®+ 0£, вычисленная с учетом зависимости коэффициента поглощения энергии от температуры. Совпадение вычисленных данных и экс­

нение теплопроводности (3.6) с учетом зависимости ф (0р) (рис. 55) при следующих граничных условиях:

0p (# г, z) = 0B.

Принимая такие же выкладки, как и для случая 1, найдем постоянные D ln и D 2n из граничных условий

При этом получим систему 2п уравнений

« ,Л ( т ? 1) + A (i £ L ) + Z>,„= 0;

Пример 3. Рассмотрим резиновый амортизатор в виде полого цилиндра с внешним диаметром 130 мм, внутренним диамет­ ром 40 мм и длиной 220 мм, выполненный из резины 2959. При

метры: а = 0,60; р = 2,0; X = 0,49.

Для исследования резиновых амортизаторов использовалась экспериментальная установка (рис. 57), состоящая из эксцентри­ кового механизма 1, передающего деформацию на резиновый

т°с

т - Г /

Рис. 58. Температурное поле резинового амортизатора (вверху показано распределение температуры по сечению А ; справа — по сечению Б )

элемент 2, который закреплялся в полых металлических чашках 3. Винтовое устройство 4 позволяло создавать практически любую величину предварительного поджатия. Регистрация температуры нагрева резинового элемента осуществлялась точечными термо­ парами 1—7, устанавливаемыми в различных местах детали, как это показано на рис. 58. Температурное поле исследовалось при различных случаях охлаждения резинового амортизатора.

В первом случае было лишь естественное охлаждение узла нагружения. Отверстия чашек были открыты и воздух свободно циркулировал внутри детали. На рис. 59 показана кинетика разогрева резинового амортизатора для этого случая. Как видно,

82

температура внутри массива не устанавливалась со временем. Такая температурная неустойчивость в конечном итоге привела бы к термическому разрушению резинового элемента. На рис. 58 этому положению соответствует кривая 1.

Во втором случае металлические чашки охлаждались проточной водой с температурой 13° С (температура внешней среды 21° С) и расходом 10 л/мин. Началу охлаждения соответствовала точка тх на графике Т (т) (см. рис. 59). Как видно, охлаждение чашек несколько уменьшило и стабилизировало температуру на торцах резиновой детали. Внутри массива температура не устанавлива­

ла

Рис. 59. Кинетика разогрева резинового элемента (цифры соответствуют номерам термопар на рис. 58)

лась и наблюдалась локальная температурная неустойчивость. Это положение характеризуется кривой 2 на рис. 59.

В третьем случае охлаждались чашки и внутренняя полость резинового элемента. Началу охлаждения соответствовала точка т2 на рис. 59. Охлаждение проточной водой с расходом 10 л/мин существенно уменьшало температуру внутри элемента и факти­ чески устраняло температурную неустойчивость. Это положение характеризуется кривой 3 на рис. 58.

Последний случай и рассматривался выше. Конечные уравне­ ния решались на ЭЦВМ «Минск-22» при следующих теплофизи­

Из рис. 58 видно, что расчетные данные (кривая 4) удовлет­ ворительно согласуются с экспериментальными.

4. НОМОГРАММА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ В СПЛОШНОМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ЭЛЕМЕНТЕ

Изложенный в предыдущем параграфе алгоритм определения температурного поля в полом резиновом цилиндре позволял получать конечные уравнения, которые решались с помощью ЭЦВМ. В инженерной практике для оценки работоспособности резиновых деталей можно ограничиться максимальной температу­ рой нагрева. В этом случае целесообразно пользоваться упро­ щенными методами расчета или номограммами.

На номограмме для определения температуры нагрева в сплош­ ном цилиндрическом резиновом образце, возбуждаемом по гар­ моническому закону, индексные обозначения такие же, как и ра­ нее. Полагая, что максимальная температура устанавливается в центре резинового элемента, зависимость для приращения температуры можно представить в виде

условные коэффициенты, характеризующие теплообмен соответ­ ственно между поверхностью резины и металлом, резиной и воз­ духом.

Величины v, р, ар, и ав определяют по таблицам. Реологические характеристики резины G0 и ф находят по независимым экспери­ ментальным исследованиям, используя методику [38].

В уравнении (3.30) функция Ф зависит от трех переменных: Bix, Bi2 и у.

Для вычисления приращения температуры в центре резино­ вого элемента используют уравнение (3.30) и принцип номограммирования [74]. Так как номограммируемое уравнение со­ держит более трех переменных, то построена цепная номограмма из

84

выравненных точек, представляющая собой ряд шкал, расположен­ ных в определенном порядке. Для получения значения одной из переменных рассматриваемого уравнения при известных осталь­ ных необходимо через соответствующие точки на шкалах заданных переменных провести определенным образом ряд разрушающих прямых и на шкале искомой переменной получить результат. Номограмма для уравнения (3.30) показана на рис. 60. Пределы измерения переменных следующие: для о:п|з/2я — от 0,5 до 10;

для 0„ — от 1 до 120° С, для Кр — от 4,5 •10-4 до 7,5 •10-4 кал/см х

Xс -С . Ключ для пользования номограммой показан на рис. 60. Для определения одной из искомых переменных следует поль­

зоваться следующей системой ходов:

Следует обратить внимание, что в приведенной номограмме шкалы I—IV слепые, а шкалы I и G0, III и е совпадают.

В качестве примера рассмотрим определение приращения тем­ пературы нагрева в центре сплошного резинового элемента диа­ метром 100 мм и высотой 50 мм, выполненного из резины на основе НК с твердостью по IM-2 60—62. Экспериментальная проверка температурного поля в резиновом цилиндре производилась на установке с кинематически жестким регулируемым приводом, позволяющим создавать стационарное гармоническое нагружение с постоянной амплитудой. Температура в резиновой детали за­ мерялась точечными хромель-копелевыми термопарами при следу­ ющих параметрах нагружения: е = 0,06 и со = 76 1/с.

Реологические и теплофизические характеристики резины опре­ делялись ранее и для принятого режима нагружения имели сле­

85

ъ ; с

шг

Кр 6и 2ffi £ 9р -Щ<рR

• - данные О - ответные

® - результат

I К Ш Ш

Рис. 60. Общий вид номограммы (линиями показаны ходы для опреде­ ления 0р)

Д а л е е н а х о д и м

(0\|)

КР 2я

I —е — ►II

II— G — ►III

Ш- Д — ►IV IV — lg Ф — >- 0р

иполучаем значение 0Р = 69° С (см. рис. 60). Экспериментально замеренная температура нагрева элемента в центре резинового массива составляла 65 + 1° С. Как видно, совпадение вполне удовлетворительное.

5.РАСЧЕТ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ

В ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТАХ СЖАТИЯ И СДВИГА

Определим градиент температур в резиновых призматических элементах при деформациях сжатия и сдвига с использованием точных методов решения и приближенных методов [56].

Приращение температуры 0Р в призматических элементах с размерами 2а X 2b X 2h определялось из уравнения баланса внутренней энергии вида

Функция / (х, у, z) обуславливалась видом напряженного состояния. При сжатии призматического элемента она имела вид

В случае сдвига призматического элемента функция / (х, у, z) становится постоянной и равной 0,125//г.2.

Граничные условия, отражающие теплообмен с окружающей средой при постоянстве ее температуры, имели вид

- ^ - ± Я 10р = О при х = ± а\

± Я 20р = 0 при у = ±Ъ\

87

Рассматриваемую задачу можно решить, используя метод Фурье. Однако это решение в виде разложения тройного ряда по косинусам с собственными числами, определяемыми транс­ цендентными уравнениями, весьма громоздко. Поэтому ограни­ чимся приведением лишь конечного результата, полученного таким способом для приращения 0Р

Приближенные значения средней и максимальной температуры нагрева резиновых элементов могут быть получены более простым путем, используя вариационные методы.

Примем распределение температуры в образце в виде пара­ болической функции типа

Правомочность такого выбора подтверждена эксперимен­ тально [48]. После подстановки (3.37) в функционал (3.36) и мини­ мизации его для определения неизвестных постоянных с( получим систему уравнений

3 -!| + B i,) + Ct ( ^ - 4

Bl2 1

Yl ^ ■ B i , ) + f 4 f f + s

Bi2

+ Т Ш » ) + С ‘ ( - т Ч

88

При сжатии призматического элемента

Для призматического элемента, работающего на сдвиг,

3LX= L2= L3= Д4= 0,125Z>.

Максимальное значение температуры в центре резинового элемента, определяемое величиной Clf будет ниже, а средний по объему уровень приращения температуры, найденный миними­ зацией функционала (3.36), выше, чем соответствующие величины, полученные при точном решении уравнения (3.31).

В качестве приложения рассмотрим два примера определения температурных полей в резиновых деталях призматической формы

пературе окружающей среды 21° С. Механические и теплофизи­ ческие характеристики резин были следующими:

Для обеих резин критерии Био имели значения: Bix = аН1 = 2; Bi2 = ЪН%— 4; Big = hH3 — 3 при Н г = Н 2 = 40 1/м и Н 3 = = 120 1 /м.

89