книги из ГПНТБ / Потураев, В. Н. Резина в горном деле

Эффективный модуль упругости равен

Здесь G — модуль сдвига исходного материала при исследуемом режиме нагружения; р — функция поврежденности.

Тогда, удовлетворяя второму граничному условию и учитывая

(3.80)—(3.82), получим, что

Таким образом, при сделанных предположениях напряжение в образце остается постоянным вплоть до разрушения, а упругие деформации изменяются вследствие изменения эффективного мо­ дуля в процессе развития поврежденности.

Распределение температуры в образце нужно было бы описы­ вать уравнением (3.75). Однако из-за недостатка эксперименталь­ ных данных, определяющих коэффициенты я;, уравнение для расчета температурного поля примем в виде

где 9 — приращение температуры; а — коэффициент температуро­ проводности; с — удельная теплоемкость; р — плотность мате­ риала; W* — источник внутреннего теплообразования.

Граничные условия отражают теплообмен между резиной и окружающей средой

где Н г = II2 — коэффициент теплообмена между резиной и возду­ хом; Hs — коэффициент теплообмена между резиной и металлом.

На основании полученных нами экспериментальных данных можно утверждать, что для ряда встречающихся в практике слу­ чаев использования амортизаторов температурное поле в них устанавливается по истечении промежутка времени t0, значение которого пренебрежимо мало по сравнению с общей наработкойобразца, т. е. температурное поле можно считать стационарным

110

и уравнение (3.84) в этом случае перепишется следующим образом:

Можно показать, что при установившемся процессе тепло­ образования приращение температурного поля определяется в основном постоянной его составляющей. Отсюда следует, что существует баланс между количеством тепла, выделяемым в резине за цикл нагружения, и количеством тепла, рассеиваемым в течение этого же цикла в окружающую среду. При этом в уравнении теплопроводности в качестве функции источника можно принять среднее за период времени значение функции W*.

Источник теплообразования, усредненный за цикл, подсчитаем

где a1 — главное растягивающее напряжение.

В рассматриваемом случае главное растягивающее напряжение совпадает по величине с касательным напряжением xXZ0, а напра­ вляющие косинусы его определяют углы а с осями х и z, рав­ ные 45°.

Зависимость между деформацией последействия и напряже­

где % — параметр ползучести.

В качестве ядра ползучести было взято ядро Работнова (2.6). Правая часть уравнения (3.89) не содержит функцию р явно, так как феноменологические соотношения, связывающие деформа­ цию последействия и напряжение, строятся на основании экспе­ риментальных кривых и поэтому зависимость от р учитывается

неявно.

В результате несложных подсчетов для W* получаем выражение

w , = + с К [ т , „ e x p ( - ^ ) c h ^ . ( 3 .9 0 )

Интеграл от второго слагаемого в формуле (3.88) опреде­ лялся численными методами и что с небольшой погрешностью »(менее 3 %) этот интеграл может быть вычислен вторым слагае­ мым в формуле (3.90).

111

Окончательно уравнение для определения темпер атурного поля (3.87) примет вид

Решение этого уравнения ищем методом разложения функции в тригонометрические ряды по косинусам

где собственные числа vm и pn определяются граничными усло­ виями (3.85) и являются корнями трансцендентных уравнений

v tg v = Я ха;

9 tgp = Я 2й;

Функция W*/cp раскладывается в ряд по собственным функ­ циям

W*

ср

т=1 л=1 р=1

где

Ьh

После проведенных вычислений для 0 получается выражение

sin v m sin \хп sin т|р (v£, + Bi|) (p|+Bijj) X

Pnc. 68. Изменение температуры и долговечности точек амортизатора по оси

х:

' а — зависимость температуры от координаты ж; б — зависимость долговечности от коор­ динаты х

где Bi — критерий Био

Bix = аНг;

Bi2 = ЪН2;

Bi3= hHs,

vm, и г)р — корни уравнений (3.92).

При расчете на ЭВМ «Минск-22М» в выражении (3.93) учитыва­ лись шесть первых членов ряда. Полученная зависимость темпе­ ратуры от координат показана на рис. 68, а; 69, а; 70, а.

Изложенная схема расчета может быть реализована шаговым методом. После приложения к образцу нагрузки в исходном ненапряженном и недеформированном состоянии за время первого

Рис. 69, Изменение температуры и долговечности точек амортизатора по оси у:

а, — зависимость температуры от координаты у\ б — зависимость долговечности от коорди­ наты г

шага по времени At1 устанавливается поле напряжений и поле температур. Совместное действие напряжения и температуры в те­

чение времени приводит к развитию поврежденности Ар — pAij* описываемой уравнением (3.68). Поврежденность в свою очередь1

114

Длительная локальная прочность в сложном напряженном состоянии при переменных температурах определяется [76] соот­ ношением

где Ва> — тензоры г-ой валентности.

К моменту времени £0, начиная с которого температуру можно считать установившейся, поврежденность образца практически равна нулю. Это было показано многочисленными эксперименталь­ ными исследованиями на натурных резиновых изделиях. Есте­ ственно, что нулевая поврежденность здесь может рассматри­ ваться лишь в феноменологическом смысле. Считая температуру в точке постоянной при сделанных выше предположениях относи­ тельно t0 и р0, выражение (3.94) можно переписать в виде

= f Cfc0exp { —

i*

— ck0exp ^ ^ J exp ( yJ{xp - sin сот) dr.

0

Из этого уравнения получаем время до разрушения точки

(до 15 весовых частей сажи типа ПМ-15 на 100 весовых частей

416

Гп = 293 К.

Графики зависимостей времени разрушения от координат приведены на рис. 68, б; 69, б; 70, б. На основании анализа полу­ ченных кривых можно сделать вывод, что разрушаться образец начинает с центра и ядро разрушения сначала имеет щелеобразный характер, а затем растет, принимая эллипсоидальную форму, причем эллипсоид сильно вытянут в направлении оси х. Так,

Рис. 71. Область разрушения, возникшая в амор­ тизаторе после наработки им 500 ч:

а — сечение разрушенной области плоскостью хг (при у — 0);

б — сечение разруш енной области плоскостью yz (при

ж= 0)

например, после того, как образец проработал 500 часов, разру­ шенной окажется целая полость, сечения которой плоскостями ху (при z = 0), xz (при х = 0) показаны на рис. 71.

Из анализа графических зависимостей рис. 68 видно также, что по мере приближения к точке х = 0,1 долговечность резко возрастает и для точки х = 0,8, например, составляет уже более 1000 ч. Можно сделать вывод, что начиная с некоторого момента времени рост разрушенной полости приостанавливается и с таким дефектом образец может работать относительно долго.

Очевидно, что описанные очаги разрушения определяются действием поля температур. Однако после того как появляются

117

разрушенные области, в точках образца должно произойти пере­ распределение напряжений. Это следует из того условия, что

смотрим подробнее точки плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно главному растягивающему напря­ жению. После того как разрушился «характерный» объем, описы­ вающийся математически как х = у = z = 0, напряжение в осталь­ ных точках изменяется вследствие того, что нагрузка остается постоянной, а площадь, к которой эта нагрузка прикладывается, уменьшается на величину площади, занимаемую разрушившейся

безусловно, лишь иллюстративный характер из-за отсутствия обоснованных размеров «характерного» объема. Принималось,

что площадь каждой разрушенной точки равна Aj/2/16. Рассма­ тривались точки с шагом й ] / 2/8 ибыло получено, что все точки вдоль прямой х = —z, у = 0 разрушались в течение 10 ч после начала разрушения первой точки х — 0, у = 0, z = 0. При рас­ чете учитывалось, что перераспределение напряжений способ­ ствовало изменению температуры в точке. Учитывался также и тот факт, что каждому моменту перераспределения напряжения в точке уже соответствовало какое-то значение функции поврежденности, определяемой уравнением (3.69).

Все это относится и к остальным плоскостям, перпендикуляр­ ным главному растягивающему напряжению.

Экспериментальное исследование механизма разрушения мас­ сивных резиновых образцов показывает хорошее совпадение с описанным процессом разрушения. На рис. 72 показана картина разрушения резинометаллического элемента, расчет которого приведен выше. .Незаштрихованная часть резинового массива

118

и есть разрушенная область образца после наработки им около 1000 ч. Резина в этом месте в процессе эксплуатации от действия температуры изменяет свою структуру и размягчается. Боковые трещины впоследствии разрастаются и выходят на свободную поверхность, после чего образец выходит из строя. В ряде случаев может происходить разделение образца на две части.

Таким образом, теория локального разрушения позволяет описать характер разрушения образца, очаги разрушения в его массиве, а также после соответствующей интерпретации име­ ющихся экспериментальных данных, по-видимому, и сроки службы изделия при заданных внешних воздействиях.

Под сроком службы понимается время наработки до такого состояния изделия, когда в его массиве наблюдается сплошность разрушенных точек, образующих впоследствии магистральную трещину.

10. РАСЧЕТ ДОЛГОВЕЧНОСТИ РЕЗИН С УЧЕТОМ

МАКРОРАЗРУШЕНИЯ ОБРАЗЦОВ

Рассмотренные в предыдущем параграфе некоторые аспекты долговечности резины при локальном разрушении макрообразца, трудности математического характера и недостаток эксперимен­ тальной информации при переходе к интегральному макроразру­ шению обусловили развитие упрощенных концепций, основанных, однако, на строгих физико-механических предпосылках. Особенно интенсивно в последнее время развивается механика распростра­ нения трещин в твердых телах, в том числе резинах. Достижения в этой области позволяют по-новому взглянуть на строение резин, на их прочностные характеристики, в конечном итоге, создать некоторый вариант теории прочности, позволяющей если не опре­ делять долговечность изделия, то по крайней мере прогнозировать срок его службы с учетом некоторых ограничений. При этом процесс усталостного разрушения рассматривается как развитие микроскопических дефектов в деформируемом теле под действием приложенных напряжений. Если предположить, что размер этих дефектов известен (по мнению некоторых исследователей [85], длина первичных трещин в ненагруженных резиновых образцах равняется 10~2—10_3 см), то можно определить срок службы макрообразца, рассматривая лишь рост одной из трещин.

Ривлин и Томас [84] предложили вариант теории распростра­ нения трещин в эластомерах, используя основные концепции Гриффитса. Авторы рассматривали баланс энергии между дефор­ мированным телом и трещиной, а в качестве критерия распро­ странения трещины предложили неравенство типа

119