книги из ГПНТБ / Потураев, В. Н. Резина в горном деле

Для дальнейших исследований представляется необходимым подчеркнуть тот факт, что в результате детального изучения обра­ зования субмикротрещин установлена связь между размерами и концентрацией их и разрывом полимера.

Субмикротрещины возникают сразу определенного размера, который остается практически неизменным вплоть до разрыва образца. В то же время концентрация субмикротрещин непре­ рывно нарастает, достигая некоторой предельной величины, при которой происходит макроразрыв.

Как уже говорилось, во многих важных случаях этап про­ цесса разрушения, предшествующий образованию макротрещины, можно охарактеризовать как накопление микродефектов, рассеян­ ных по всему объему деформируемого тела. Поэтому при описании

Рис. 66. Схема образования субмикротрещин:

а — первичный термофлуктуационный разрыв напряженной макромолекулы с образо­ ванием двух концевых свободных радикалов (I); б — взаимодействие концевых радика­ лов с соседними макромолекулами, ведущее к образованию срединных свободных радика­ лов (2)\ в — разрыв срединных радикалов с образованием стабильных концевых атомных групп и концевых свободных радикалов (з — стабильные концевые группы) ); г — обра­

зование субмикротрещин в результате цепного распада макромолекул

такого процесса вполне естественным представляется континуаль­ ный подход и последовательное применение методов механики сплошной среды.

При описании многих механических и физических явлений сплошная среда является основной математической моделью реального тела. С геометрической точки зрения сплошная среда есть гладкое многообразие, т. е. некоторое связное топологиче­ ское пространство, окрестность каждой точки которого может быть гомеоморфно отображена на трехмерное евклидово пространство. На таком многообразии задаются поля плотности массы р, темпе­ ратуры, тензора напряжений Та, тензора деформаций Те, который связывает метрику многообразия в данный момент с метрикой «начального» состояния и т. д., всех тех параметров, которые полностью описывают термодинамическое состояние макроэле­ мента исследуемого реального тела. Причем полным набором параметров состояния будут являться координаты пространства, которые образуют всевозможные «мгновенные» термодинамические состояния этого элемента. Выбор параметров состояния является по существу первым и важным шагом при построении моделей реальных твердых тел.

100

Иа первом этапе исследований материал образца в исходном

будет представлять собой совокупность материальных точек, каждая из которых наделена некоторыми свойствами исходного тела.

В рамках этой модели процесс накопления и развития микро­ дефектов можно интерпретировать как образование в первона­ чально однородном и изотропном материале включений с новыми, в общем случае анизотропными свойствами. Такой подход можно мотивировать тем, что в явлении разрушения часто важную роль играют точечные дефекты (области, содержащие поры, микро­ трещины и т. д.). Во многих случаях протекание процесса раз­ рушения определяется развитием и взаимодействием именно таких дефектов.

Включения, о которых говорилось выше, моделируют такие точечные дефекты. Поэтому, например, упругие податливости включений должны быть не меньше упругих податливостей основ­ ного материала.

В дальнейшем принимается также, что в материале разви­ ваются анизотропные включения различной ориентации, но с оди­ наковыми, постоянными упругими свойствами. Объемная кон­ центрация таких включений возрастает по мере развития процесса разрушения.

Строгое определение физико-механических характеристик некоторого объема такого композитного материала (т. е. материала с включениями) представляет собой чрезвычайно сложную задачу.

Однако некоторый «характерный» объем композитного мате­ риала можно заменить макроскопически эквивалентным ему объемом однородного материала. Это означает, что совокупность некоторых средних по «характерному» объему физико-механи­ ческих характеристик композита при любом режиме внешних воздействий может быть представлена соответствующей совокуп­ ностью «эффективных» характеристик однородного объема.

Остановимся подробнее на важном для дальнейшего расчета понятии «характерного» объема. Под «характерным» объемом, следуя Хиллу [79], понимается объем композитного материала, который содержит достаточное число включений, чтобы считать его макроскопически однородным.

Понятие «макроскопически» однородного объема можно опре­ делить следующим образом. Если на поверхности такого объема задать нагрузки или смещения, которые создали бы в однородном материале (материале без включений) однородное напряженное и деформированное состояние, то длина волны флуктуации поля тензора напряжений и тензора деформаций должна быть пренебре­ жимо мала по сравнению с линейными размерами этого объема.

Ориентацию отдельных включений относительно некоторой фиксированной системы ортогональных осей в случае полной

101

анизотропии упругих свойств можно задавать тремя углами Эйлера ф, 0 и г|). В качестве характеристики поврежденности рассматривается функция р (ф, 0, ф, t), которая задает концентра­ цию включений различной ориентации в характерном объеме.

Анализируя физическую природу исследуемых областей реаль­ ного материала, можно предположить, что материал включений трансверсально-изотропный и обладает наибольшей податли­ востью в направлении оси изотропии.

Функция р (ф, 0, t) является микроструктурной характери­ стикой материала. Чисто формальные преобразования, связанные с целым рядом осреднений и введений эффективных характери­ стик, приводят к тому, что в конечном итоге вместо естественной меры поврежденности появляется значительно более грубая макро­ скопическая характеристика поврежденности Ьэ — четырехва­ лентный тензор упругих податливостей материала.

Как указывалось выше, физико-механические свойства мате­ риальной точки определяются как эффективные свойства соответ­ ствующего характерного объема. Так, тензор упругих податли­ востей в точке сплошной среды, моделирующей реальное тело, есть тензор эффективных упругих податливостей характерного объема.

Тензор эффективных упругих податливостей так же, как и тензор модулей упругости G3, зависит от концентраций включе­

где Ьу — тензор упругих податливостей материала включений. Задача построения зависимостей такого типа относится к об­ ласти механики композитных сред. Используя метод Валпола [89], тензор эффективных податливостей можно представить в виде

функционала

связан с тензором Ь0 известными соотношениями [89].

Можно показать, что в случае, когда мгновенно-упругие модули первоначально однородного материала L0 (мгновенно­ упругие податливости L0 = Gg1 и упругие модули материала включений Gy (L± = Gj1) не зависят от времени, когда в материале ймеются включения лишь одной ориентации, эффективные мгно­

102

венно-упругие податливости Ьэ и модули G3 неоднородного мате­ риала можно представить в виде

где Gx — упругие свойства включений; I — единичный четырех­ валентный тензор.

Если независимые компоненты тензора напряжений и деформа­ ций в некотором базисе представить в виде шестимерной матрицы столбца, а компоненты четырехвалентных тензоров упругих свойств — шестимерными матрицами, то соотношения (3.62) можно выразить как шестимерные.

Матрица модулей упругости G0 основного материала

Впредположении, что модуль упругости материала включений

внаправлении наибольшего нормального напряжения равен нулю,

а в направлениях параллельных плоскости трещины совпадает с упругими характеристиками исходного материала, упругие свойства материала таких включений в базисе главных осей тензора напряжений Та можно представить в виде

где Е — модуль упругости исходного недеформированного мате­ риала.

103

Используя соотношения (3.64) и (3.65), при сделанных выше предположениях можно построить четырехвалентный тензор эффективных упругих податливостей

Все полученные выше соотношения построены в предположе­ нии, что максимальное нормальное напряжение растягивающее. При сжатии в направлении наибольшего напряжения трещина закрывается и в этом направлении разрушенный материал рабо­ тает так же, как и в исходном состоянии.

Очевидно, что функция р (ф, 0, t) (или Gt) является дополни­ тельной характеристикой, введенной для описания процесса разрушения материальной точки. Таким образом, в соответствии с описанной моделью в качестве полной системы термодинами­ ческих параметров состояния материальной точки принимается совокупность

{Т[, Г Р , Ьэ, Т).

Здесь Т[ — тензор упругих деформаций; Т% — тензор, характери­ зующий необратимую деформацию; Т — температура.

Возможность применения к рассматриваемым процессам термо­ динамического анализа обосновывается в работе [80]. При термо­ динамическом анализе локального разрушения возникают три самостоятельные задачи.

1.Введение характеристик разрушения.

2.Построение эволюционного (кинетического) уравнения для введенных характеристик.

3.Формирование условия локального разрушения (критерий разрушения).

Оновой характеристике разрушения р (ф, 0, t) уже говори­ лось выше. При построении кинетического уравнения, описыва­ ющего изменение меры поврежденности, можно исходить из сле­ дующего экстремального принципа [76].

Из всех возможных изменений этой функции, удовлетворя­ ющих уравнению баланса энергии, реальному процессу соответ­ ствуют такие изменения, которые обеспечивают максимум ско-

104

рости порождения энтропии. Следствием такого принципа для случая трансверсальной изотропии материала включений является утверждение о том, что в процессе разрушения развиваются вклю­ чения, ось изотропии которых совпадает с направлением макси­ мального напряжения

Углы ф* и 0* определяют направление максимального нормаль­ ного напряжения.

В [76] показано, что если все элементарные реакции известны, то в принципе скорость роста концентрации повреждений в мате­ риале может быть определена выражением

Коэффициенты X, А, а0, а1; а2 и а3 зависят от числа элементарных реакций, вклада этих реакций в процесс разрушения, химических средств каждой из реакций и феноменологических коэффициентов.

Однако подобные вычисления весьма затруднительны из-за отсутствия необходимой экспериментальной информации. Исполь­ зуя константу скорости и закон Аррениуса, скорость результи­ рующей реакции можно записать в виде

риала, зависящая лишь от концентрации исходных компонентов и вида элементарных реакций; N0, N lt iV2 — тензоры нулевой, первой и второй валентности соответственно.

Общая концентрация повреждений в момент времени t может быть теперь на основании (3.68) определена выражением

состоянии.

Эволюционное уравнение для Ьэ с учетом (3.66) и (3.69) запи­ шется в виде (3.62).

После того как выбрана характеристика поврежденное™, условие разрушения обычно представляют как достижение кри­ тического значения (постоянного для данного материала) некото­ рых инвариантов этой характеристики или их комбинаций.

Переход от медленной к быстрой стадии разрушения по суще­ ству представляет собой переход термодинамической системы

105

(характерного объема) в лабильное состояние, т. е. состояние, при котором развитие разрывов, трещин и других микро- и макро­ дефектов происходит спонтанно при практически фиксированных внешних условиях. Спонтанные процессы согласно второму началу термодинамики возможны в том случае, когда полная энтропия системы и окружающей среды возрастает, т. е.

бS среды + 8S системы^>0.

При фиксированных внешних силах и фиксированной темпера­ туре внешней среды это условие можно заменить эквивалентным

энергии практически совпадает с изменением потенциальной энергии

Учитывая (3.70)—(3.73), можно получить условие самопроизволь­ ного разрушения рассматриваемой точки при фиксированных

где у — удельная энергия образования дефектов; S0 — удельная энтропия (колебательная), связанная с образованием включений. Из последнего условия можно найти р = ркр — критический уровень поврежденности, достижение которого при заданных внешних условиях соответствует переходу системы в лабильное состояние

в момент разрушения, совпадают с базисными ортами принятой системы координат, то

<3 - 74)

где а1 — главное растягивающее напряжение.

106

Для определения длительной прочности в точке необходимо также учитывать специфику свойств резины. Наличие таких явлений, как релаксация напряжений при постоянной деформации и ползучесть при постоянной нагрузке, указывает на то, что ре­ зина должна рассматриваться как вязкоупругий материал, причем поведение этого материала определяется не только напряжением (или деформацией), действующим в настоящий момент времени, но и всей предыдущей историей нагружения. В линейной ползу­ чести большое развитие получили интегральные, так называемые наследственные соотношения, теорию которых начинали разраба­ тывать Больцман и Вольтерра.

Резина обладает также значительным внутренним демпфиро­ ванием, что при динамических нагрузках в деталях приводит к образованию температурного поля. С повышением температуры в резине протекают необратимые процессы, ухудшающие ее свой­ ства, изменяющие ее показатели, и прежде всего механические. Причем эти процессы протекают тем интенсивнее, чем выше тем­ пература. Тепловое старение резины и изменение ее механических показателей снижает эксплуатационные качества деталей и может привести к их разрушению. В связи с этим определение поля температур технических изделий, подвергающихся многократному деформированию, становится важной задачей.

Для определения длительной прочности таких изделий наряду с уравнениями, описывающими напряженное и деформированное состояние (с учетом реологических соотношений), нужно рассма­ тривать и уравнение теплопроводности, построенное для высоко­ эластических полимеров. В работе [75] получено такое уравнение теплопроводности для высокоэластического полимера, подвергающегося многократному деформированию. Это уравнение учитывает развивающуюся в высокоэластическом полимере анизо­ тропию и имеет вид

Два последних слагаемых характеризуют источник теплообра­ зования, учитывающий, что влияние на теплообразование в це­ лом оказывают деформация последействия и механически активи­ рованные процессы, приводящие материал к разрушению, т. е. степень поврежденности образца. Таким образом, полная система уравнений, описывающих процесс разрушения высокоэластиче­ ских полимеров, должна содержать:

1 ) уравнения равновесия;

2) уравнения совместности для компонент тензора Т3 полной ►деформации, при этом

107

где Tle — тензор упругих деформаций; Т%— тензор, характери­ зующий деформацию последействия.

Связь между компонентам итензоров напряжений Та и упругих деформаций Т[ имеет вид

3)реологические соотношения, учитывающие специфику материала;

4)уравнение для тензора эффективных податливостей Lb (t, р),

где величина поврежденности р описывается соотношением

5) специального вида уравнение теплопроводности.

Рис. 67. К расчету элемента сдвига:

а — общий вид элементов; б — расчетная схема

Следует подчеркнуть, что вся изложенная теория является теорией локального разрушения и описывает влияние различных физико-химических процессов на длительную прочность мате­ риальной точки. Эта теория не учитывает тот факт, что разрушение образца, определяется не только индивидуальными свойствами составляющих его материальных точек, но и свойствами всей совокупности точек, т. е. глобальными свойствами образца.

Тем не менее, предположим, что процесс зарождения и развития микродефектов в достаточной степени характеризует долговечность образца и применим теорию локального разрушения для описания процесса разрушения резинового амортизатора сдвига (рис. 67).

Такие элементы находят широкое применение в качестве упругих связей различных вибрационных машин. На практике наиболее часто применяют сдвоенные резинометаллические изде­ лия (рис. 67, а). Если сдвигающая сила прикладывается к средней пластине, а наружные пластины закреплены неподвижно, то рези­ новые элементы испытывают так называемый чистый сдвиг, а по их граням действуют только касательные напряжения.

С учетом этого перейдем к рассмотрению одного из элементов. Схема его расчета представлена на рис. 67, б. Начало координат

108

Уравнение, описывающее состояние чистого сдвига (прини­ мается, что v = w = 0, а и зависит только от z) и не учитывающее инерционные члены (в диапазоне частот 1 —200 рад/с силами инерции можно пренебречь), запишется в виде

Граничное условие ц/г=-л — 0 отражает условие закрепления нижней части амортизатора, а равномерно распределенная по поверхности ABCD нагрузка задается в виде Р — Р0 sin соt, где Р 0 и со — величины постоянные.

Решение уравнения (3.79) с учетом первого граничного условия запишется как и = с1 (z + h), где сх — пока произвольная по­ стоянная.

Связь между напряжениями и упругими деформациями со­ гласно изложенной теории локального разрушения имеет вид

от времени не зависят.

Упругие деформации вычисляются по формуле

109