книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

Пусть ац(ш) и

—независимые

величины с извест­

ными областями значений

Ац и В /,

т.

е.

а,-£А ц и b ^ B i с

вероятностью, равной единице.

Тогда ограничения (6.2) означают, что при всевозмож­

ных реализациях

пц ^ А ц ,

b i Q B u

2

4 j < b u

i=

1,

2, . .

., n.

(6.4)

'Т»

Нетрудно

видеть,

что

(6.1)—(6.3)

равносильна

следу­

ющей задаче.

Максимизировать

(6.1)

при ограничениях

П

i = 1, 2, . .

.,

m,

(6.5)

H a / j ^ b i ,

/=1-

Xj^>0,

У =

1, 2, .

.

.,

я,

(6.6)

a,y=mln ац,

a

bi—max bi

aij € -4 ij

h $Bt

(предполагается, что а/

и bi существуют).

Действительно,

пусть Х * = (х1,

л;*,..., •**)—решение зада­

чи (6.1), (6.3),

(6.4),

а Х=^(хг, х2,

. .

.,

х п)—решение

зада­

чи (6.1), (6.5), (6.6). Так как

X *, в

частности,

удовлетворяет

ограничениям (6.5), тоS*2

2 Л1(о)-*/®£2 M(cj)Xj.

j - 1

1

i - 1

С другой стороны,

X

удовлетворяет

ограничениям

(6.4).

Поэтому

S М (Cj)x*. >

У М (Cj)xj.

1

; - i

Из последних неравенств следует,

что Х * = Х. Таким обра­

зом, предварительный

анализ рассматриваемой

задачи

поз­

воляет вероятностные ограничения заменить обычными.

Теперь

приведем

прямой метод решения

этой

задачи

(с требуемой

точностью

и вероятностью,

не

меньшей, чем

ли

получены

реализаций случайной

величины Cj.

Тогда

а)

получаем

реализаций

величины Cj, где

1</г <sH'><0 0 ;

б)

по числу

реализаций д у +1) =

+

k ^ +1),

исполь­

зуя

формулы (2.4),

(2.5), с

вероятностью Р/= 1 —- —

п

находим

доверительный

интервал

[cj,

Cj\

для М(С])-,

в)

одним из конечных

методов

линейного програм

рования решаем следующие «-доверительные задачи

(пред­

полагается, что они разрешимы

и

максимальные значения

их линейных форм ограничены сверху):

найти

П

ci x J

шах 2

(6.7)

xeR

] - i

-

шах 2

ci x h

(6-8)

x e R

т- i

где

R —множество,

определяемое

ограничениями (6.5),

(6.6)

г)

если

— /(4+>)^2£ (/<i+1)

и

—

решения

задач (6.7) и (6.8)),

то

/(*+1) = --------------------требуемое ре­

Пусть (Л*)}— случайная

последовательность, получен­

ная вышеописанным алгоритмом.

Теорема 6.1. Каковы бы ни были заданные положитель­

ные

числа е и «(0<J*<C1)>

всегда найдется

такой номер

Л/(е,

а), что для всех

а) выполняется

неравенство

водить не будем.

3°.

Теперь предложим метод решения следующей за­

дачи.

Максимизировать

2

j )jcj

при

j -1

2 M (aij)X jS^M (ai,„+i ),

/ = 1,2 , . .

m,

J - 1

0,

i = 1, 2, . .

n.

Схема алгоритма. Пусть на s-ом шаге были получены

реализаций случайных

величин apq (/7=1,2, . .

т -j-1,

<7 = 1 , 2,

. . ., « + 1 , а т+], я+ 1 = 0 ) ,

и задача не была

реше­

на с точностью г>0 и вероятностью,

не меньшей,

чем задан­

ное число а (предполагается,

что

задача

разрешима,

и ее

линейная форма ограничена сверху). Тогда:

а)

получаем k^+1^ реализаций

величины apq,

где

1 <

< А<м+1)< ° ° ;

К^+1)== К ${

б) по числу реализаций

+

с

вероят­

1—а

(?т-rl. п +1

1)

находим

довери­

ностью §pq=\

тп-\-т+п

тельный интервал [Opq, apq]

для

M (apq);

в)

одним из конечных

методов линейного

програ

рования решаем следующие а-доверительные задачи

(пред­

полагается, что они разрешимы, и

максимальные

значения

их линейных форм ограничены сверху).

Задача ■A(,s+'1) . Найти

П

а т+1. jX j

шах 2

7-1

при условиях

п

i =

1,

2,

.

.

., т,

2 aijX j^ ai, п+х ,

7= 1

Х ]>0,

j =

1,

2,

.

.

.,

п.

л

__

,

/ =

1,

2,

. . .,

/и,

^O ijX j ^ a i , п+1

)-1

* j >

0,

у '=

1 , 2 ............я;

г)

если

Z(i+1) — /(4'+‘)<2s

(/<л+1> и

—решения задач

_

_

/й+D -j-Z^+D

д(^+п и

Л'4+1)),

то

/('ч1) =

---------- ^

--------

— решение

ис­

ходной задачи (в противном случае

переходим к пункту

а).

Прежде

чем

перейти

к

доказательству

сходимости

предложенного

алгоритма,

отметим,

что если на

некотором

s-ом шаге /(*)—

2е, то в качестве приближенного плана

исходной задачи

можно

взять

оптимальный

план

=

* 2S)> • • ••

задачи

Л<5>.

(Как

будет

видно

из

Пусть {/<*>} —случайная последовательность,

полученная

описанным алгоритмом.

Теорема 6.2. Каковы бы

ни были заданные положи­

тельные

числа е и

а (0 < а < 1 ),

всегда найдется такой номер

N(e,

а),

что для всех s!>ZV(e,

а) выполняется неравенство

Р(|/—

Доказательство. Вначале покажем, что на любом s-ou

шаге

задачи AR> и

относительно исходной

являются а-

доверительными задачами.

Обозначим через R{s) и R(s)—множества, определяемые

соответственно ограничениями задач A^s) и

и покажем,

что они являются

а'—доверительными множествами относи­

33

тельно

R, где

R —множество

тех

точек

X ,

которые удов-

летворяют ограничениям

исходной

задачи, а а' =

т л+1

П П $„а.

Действительно,

возьмем

произвольную

точку

Р - 1

x £ R < sK Тог­

да, так как а% '^М (ард)

и х ^ О ,

то

v

п<)Ъс/>2 M (ai j )x'f,

i=

1,

2,

.

. .,

т

i - i

i - i

или

П

П

,„+1>

/=1,

2,

. . .,

/и,

v U i j X j < y

y-1

/“>

t . e.

/?.

Отсюда следует, что R (S)CZR-

Аналогично можно

показать,

что если x £ R t то x£R<s).

Учитывая

предложение 6.1, получим:

P \ R ^ R ^ R ^ } > a ' .

Далее,

в силу

последнего неравенства

легко

заметить,

что

max

п

п

)х,- sSmax

п

«т-п,;

•*/.

2

ая,+1,у-*/=£тах ^ М (а т+и

2

x £ R (s)J~ l

j " 1

7 - 1

задачи

и

относительно

исходной являются а-дове-

рительными задачами, где а =

mil

п -fl

П

П fW

Р™1 9 -1

Очевидно, что на любом s-ом шаге выполняется нера­

венство

Р [ | / _ / < * ) [ < / ( * ) _

/(*))

> < х .

С другой

стороны,

так как для всех р и q limja^—а<^>|==0,

то, очевидно, что

{ /(4)—

также

стремится к нулю с

го неравенства с такой

же вероятностью стремится

к нулю

и последовательность

\1— №\, что и требовалось

доказать

4°. Алгоритм решения задачи Минца и Финкельштей-

иа. В работе [45] была поставлена

следующая

задача сто­

хастического программирования:

определить математическое ожидание

величины

с =

П

a m+i, fXj

ш1п 2

i -1

при условиях

п

< Й

1 , и + ь

*

=

1 ,

2

.....................т ,

j - 1

X j> 0,

у =

1,

2,

.

.

га,

где

Qpq—независимая

случайная

величина.

Для решения

этой

задачи в

случае,

когда

а у

и

2, . .

/га;

у '= 1 , 2, . .

га)—известные

величины,

a

a m+i,/= a(n[]t.u

-t-

+ ш т+1 ; ’ где '-—случайная переменная,

был предложен не­

прямой метод, идея которого заключается

в следующем.

„Игнорируя" вероятностную природу случайной

вели­

чины X, вместо исходной

рассматривается

следующая одно­

параметрическая задача линейного программирования.

Найти

П

^m+l,y

== У('■)

mill ^

j -

1

при условиях

У-1

ssaj»

, f

a & V -

* e

l . 2’

• • -

от-

•Ху > 0 ,

У = 1 ,

2 , . .

. , га.

Далее, предполагая, что известен отрезок

[ X, X]

изме­

нения величины X, с

помощью

методов

параметрического

линейного программирования

разбивают

ее

на такие конеч­

ные подмножества [Xr, Xr+1] ( r

=

1 ,

2 , . .

. ,

S;

\ = = к ,

Х2=Х),

на которых функция /(Х) = /Г(Х) порождается одним

и

тем

же базисом.

Зная плотность распределения <р(Х) случайной величины

X, вычисляем

значение

интеграла

Найти

min ^

am+i1);-*y =C (i+1)

)-1

при условиях

VaSj+1»x; ^ fl(;+ 1',

i = l ,

2,

.

. .,

т.

/- I

х,

35 0,

j =

1,

2,

.

. .,

«;

в) по (s—f—1) реализациям величины

с

строим довери­

тельный интервал (<3i+1>, с(Л+1)) для М (с)

с

вероятностью

не меньше, чем <*;

_

2е, то

_

c(s+1)-|-c(s+l>

г) если с('+1) — сЫ+1) ^

^5+1)= ------ —=------- —ре­

шение задачи в требуемом

смысле;в

противном случае пе­

реходим к пункту а).

раммировании.

I. Пусть D —некоторое замкнутое

множество

из /?и, а

C (D )—его

выпуклая оболочка.

Определение 7.1. Случайную последовательность |уса(*й)|,

А = 0, 1, .

. . назовем случайной

фейеровской последова­

тельностью

относительно множества

D,

если

М{ II у—х к ' 1 II *jx°,

х ' , ........... **}«£

II

у—x k \\\ k =

0. 1, . . .

для произвольного

y£D и

|л:° | const < о о .

жаются в следующей лемме.

Лемма 7.1. Если последовательность

{л'^(«>)}

является

случайной фейеровской,

то

а) множество предельных точек

непусто почти

для каждого «>;

б)

если л-'(о>) и

—какие-либо

предельные точки

(д:*(<о)}

для некоторого

и>, нб'принадлежащие C(D),

то С(О)

чек, равно удаленных от

и х"(ш).

Доказательство, а)

Утверждение

этого

пункта непо­

средственно следует из того, что при любом

y£D последо­

вательность { |у—л'* ||2},

согласно [30],

сходится почти для

каждого «>.

бо две предельные точки данной реализации,

не принадле­

жащие C(D ). Так

как { |у—х Л(о>) |2)

сходится

к некоторой

величине, то для

произвольного y£C(D) все

предельные

точки ( x k( о) )

)

будут

лежать на

сфере

с

радиусом1

inf |у—x k(m) (12.

Последнее

возможно тогда, когда

у лежит

Лемма

доказана.

последовательность \xk \ является

Следствие 1. Если

случайной фейеровской относительно множества C(D), име­

ющего размерность я, то

|*(0))1

имеет единственную пре­

дельную точку почти для каждого «г

Следствие 2. Если предельная точка х"(ш)

последова­

тельности

{*(«))} для некоторого

м принадлежит

C(D), то

го <«.

Определение 7.2.

Случайную последовательность то­

чек (х*|, к — 0 , 1 , . .

. назовем случайной квазифейеров-

ской относительно множества D, если

Щ II У—х^+11|*/х°, х

. . ., х к

|y - x k |*+>*, k = 0 , 1......

где "

• ^/.A<oo,

y£D.

* - о

Если

рассмотреть zk = |у - х к |2 + £

>•*, то из послед-

А* —I

него неравенства следует, что при

любом

y£D последова­

тельность

{г/;}

является полумартннгалом.

Поэтому почти

для каждого ю

последовательность

{ |у —х к |*) сходится.

тельностей справедливы все перечисленные свойства

фейе-

ровских

последовательностей.

1°.

Стохастический

аналог

Чебышевской задачи.

Пусть имеется совокупность случайных величин

П

f t(x, ш ) = 2

ац(ш)Х;

)-•

зависящих от t и x = (Xj,

д*2, . . .,

х п). Рассмотрим

сле­

дующую задачу.

,х5+1=т(л:* - iv f),

s= 0,

1, . . .

(7.1)

Здесь х°

произвольная точка, &s

величина

шага, а вектор

'fls = (riv

’ll.

• • •.

такой,

что

i

p i

x j - b t A

U)S) = £

a t s / ( m S ) x j -

=

=* I//,(**.

“>s)| = max |/,(**, u>s)|.