книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

С другой стороны, необоснованное сокращение запасов может привести к срыву планов производства, так как неред­ ко предприятие-поставщик по различным причинам наруша­ ет заранее установленные сроки поставки материалов или же своевременно поставленные материалы поступают к потреби­ телю с недопустимой задержкой из-за неправильной организа­ ции работ в транспортных организациях. Хотя за задержку поставки соответствующая организация (предприятие-постав­ щик или транспортная организация) вынуждена платить штраф, однако эта сумма только частично компенсирует убы­ ток предприятия-потребителя. Кроме того, в результате ука­ занных нарушений наносится огромный ущерб всему народ­ ному хозяйству. Из изложенного видно, что существует опре­ деленный уровень запасов, при котором убытки предприя­ тия минимальны. Определением наивыгоднейшего уровня за­ пасов занимается теория управления запасами, являющаяся одной из наиболее молодых и одновременно бурно развиваю­ щихся дисциплин прикладной математики. Вопросам теории управления запасами посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных авторов *.

Во многих работах задачи оптимального управления за­ пасами сводятся к задачам динамического программирова­ ния. Однако часто можно пользоваться более простыми ли­ нейными моделями. В настоящем параграфе разработана ли­ нейная экономико-математическая модель оптимального уп­ равления запасами и дан алгоритм решения поставленной за­ дачи.

Поскольку при планировании производства заранее уста­ навливаются нормы расходов средств производства, то при постановке математической задачи все нормативы предпола­ гаются известными. В задаче оптимального управления запа­ сами в качестве критерия принимается суммарный объем за­ пасов материалов (в денежном выражении), который рас­ сматривается не в динамике, а как постоянная величина в те­ чение определенного промежутка времени. Хотя такое пред­

* Достаточно обширный перечень работ по задачам управления за­ пасами приведен в библиографии книги [49].

100

ток материала /-го вида на складе к началу года. Значения этих величин определяются во время составления сводных заявок.

Как указывалось, в качестве критерия принимается сум­ марный объем запасов материалов (в денежном выражении) :

Таким образом, ставится следующая задача.

Задача 1.1. Минимизировать линейную функцию (1.5) при

чей линейного программирования с двусторонними ограниче­ ниями на переменные. Однако на практике часто поставка

т. е. требовать выполнение плана не в течение года, а по каждому про­ межутку времени. Однако такие ограничения гораздо увеличивали бы размеры задачи.

102

Как указывалось, в зависимости от преследуемых целей в стохастическом программировании существуют различные по­

к решению детерминированной задачи. Но закон распределе­ ния случайных величин не всегда бывает известен. Поэтому для выявления закона распределения и определения матема­ тического ожидания заранее производится обработка стати­ стических данных.

В работе [47] для решения задачи (1.7) — (1.10) предла­ гается алгоритм, основанный на обработке статистических данных относительно случайных величин Ь}1 . Но для приме­ нения указанного алгоритма необходимо иметь достаточно большой объем статистического материала. С другой стороны,

103

при большой номенклатуре выпускаемой продукции число не­ известных в задаче (а также число ограничений) будет вели­ ко, что приводит к определенным затруднениям при реше­ нии задачи. Поэтому возникает необходимость в упрощении структуры задачи. Если принять

то сразу можно избавиться от этих переменных. Тогда вместо задачи 1.1 получим следующую задачу.

получается точно тот объем материала, который употребляет­ ся в производстве за /-ый промежуток, то достаточно в нача­ ле (/—1)-го промежутка времени иметь минимальный объем запаса. Однако в реальных условиях редко встречается такая ситуация. Поэтому величины ЬУ рассматриваются как слу­

104

чайные, вследствие чего случайными будут и величины

Если закон распределения случайных величин Tjj изве­ стен, то стохастический вариант задачи 1.3 сводится к детер­ минированному. Но закон распределения случайной величины не всегда известен. В таких случаях целесообразно вместо стохастического варианта задачи 1.3 рассматривать параме­ трическую задачу, в качестве параметров принимая случай­ ные величины vjj. Нетрудно показать, что минимальное зна­ чение целевой функции (1.5) является неубывающей вогнутой функцией от параметров Учитывая вогнутость и кусочно­ линейную структуру этой функции, заключаем, что ее градиент принимает возможное наибольшее значение на подобласти,

близкой к вершине ^l.= d l. (у' = 1, 2, . . ., tv, /= 1, 2, . . ., L)

параллелепипеда 0^Сг/.£^й‘. Следовательно, на указанной подобласти функция имеет наибольшее приращение, т. е. вблизи указанной вершины целевая функция задачи 1.3 бо­ лее чувствительна относительно исходных данных. Из оп­ ределения vjj видно, что минимальное значение целевой функции (1.5) является невозрастающей функцией от Ь}1

(этот факт чувствуется и из экономической сущности задачи

1.3).

Таким образом, наилучшей подобластью (в смысле ми­ нимального значения целевой функции) является параллеле­ пипед 0<v;j<yy. Исходя из этого, отрезок [0, _уу ] можно принимать в качестве доверительного интервала случайной ве­ личины у*. Сужение доверительного интервала производится

с незначительной амплитудой будет колебаться вокруг данной стационарной точки, которую и можно принять в качестве уу.

Приведем еще одну постановку задачи управления запа­ сами. Предположим, что из-за нехватки единицы материала /-го вида в течение / -го промежутка времени предприятие не­ сет ущерб в сумме «у . Введем переменные

105

чайные, то она будет нелинейной стохастической задачей, ко­ торая более правильно отражает реальную действительность.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМ ПЕРЕВОЗОК

Организационные трудности в строительстве, как и хозяй­ ственные неполадки, подчас возникают в результате непра­ вильного планирования материально-технического снабжения, в частности, планирования перевозок строительных материа­ лов.

Повышение качественного уровня планирования и управ­ ления экономикой является важным условием улучшения организации производства в строительстве.

Сложившиеся организационно-технические условия тре­ буют новых хозяйственных решений во всем комплексе вопро­ сов экономики строительства. Изо дня в день повышается актуальность систематического совершенствования организа­ ции производства на базе внедрения научной организации труда и управления в строительстве.

106

Старые формы управления и планирования строительствавытесняются, заменяются новыми. Для научно обоснованного планирования и управления строительством требуются мате­ матические методы экономического анализа строительства и его производственных подразделений (в строгой увязке между собой).

Современные экономико-математические методы позволя­ ют дать оптимальные решения по каждой конкретной органи­ зационной и планово-экономической задаче, встречающейся в строительном производстве.

Необходимо отметить, что транспортные расходы в се­ бестоимости промышленной продукции пока составляют зна­ чительную долю. В промышленности удельный вес транс­ портных затрат составляет, в среднем 13%, а в ее отдельных отраслях—еще выше. Так, например, в угольной промышлен­ ности удельный вес транспортных расходов составляет 27,8%, в промышленности строительных материалов—28,3%, а в целом в стране транспортные расходы составляют более 27 миллионов рублей в год. Отсюда и вытекает необходи­ мость научно обоснованного подхода к вопросам учета тран­

известной для всех комбинаций (г, у). Пусть х\}—количество материала r -го вида, перевозимого по маршруту (г, у). Экономический смысл задачи заключается в том, чтобы оп­ ределить такие величины x tjr (объемы перевозок) для всех маршрутов (г, у), при которых суммарная стоимость пере­ возок была бы минимальной.

Условия транспортной задачи для материала г -ro вида схематично можно представить в виде табл. 2.1.

107

перевозимого из /-го пункта отправления в у'-ый пункт пот­ ребления. Следовательно,

v x 'j= a rlt i = 1, 2, . . ., т, i~i

т. е. количество материала r -го вида, отправленного из /-ой

т. е. количество строительного материала r -го вида, получен­ ного у'-ым строительным объектом из всех баз, должно быть равным его потребности.

108

Обычно предполагается, что сумма запасов материала г-го вида всех баз равна сумме потребностей всех строитель­ ных объектов в материале данного вида. Если это условие нарушается, то доба!Вляется либо фиктивный пункт потребле­ ния с объемом потребления

Математическая формулировка транспортной задачи за­ ключается в следующем.

Задача 2.1. Требуется определить такие объемы пере­

при условиях

п

V хг — :а1 * = i , 2, . . ., от;

т

базами и строительными объектами не могут быть отрица­ тельными, т. е. перевозки допустимы только в одном направ­ лении.

Существуют разные модификации постановки транспорт­ ной задачи, в которых, кроме вышеуказанных факторов, учи­ тываются такие, как пропускная способность дорог, увеличе­ ние (или уменьшение) потребности по отдельным видам строительных материалов в различных пунктах потребления и т. д.

109