книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

т

т

__

2

i-l

)<z.

i - 1

2 (aV—Xi )< Z . Полученное

противоречие

указывает на

i~ I

справедливость утверждения -леммы 3.2.

Лемма 3.3. Для пары векторов X и Y, компоненты ко­

торых удовлетворяют условиям

Xi

, уi

,

«/ ]>

i = 1, 2, . . .,

m,

(3.16)

W

_

2 ( * г

“

У-' )2<

Z -

(3-17)

«-1

выполняется

неравенство

|/(Х )-/(П 1< б.

(3.18)

x i — yi>0,

/=1, 2, .

. .,

тъ

(3.19)

Xi — у, < 0 ,

i= m 1-{-1,

. .

.,

От2,

(3.20)

xi — у/ = 0,

i = m2-t-l,

. .

.,

т.

(3.20')

Вначале покажем,

что пара X, Y удовлетворяет неравенству

l ( X ) - l ( Y ) ^ e .

Действительно,

1(Ц — монотонно

неубывающая

функция,

поэтому с

учетом

(3.19),

(3.20) и (3.20') имеем:

1{Х) — /(Y) — l(x v .

. ., Хт)

^(Уц • • •> Ут)~^С

^ £ ( X i t •••,

X m i,

У ® , + 1,

. . . ,

У т )

^ ( У 1 > У ш п

•••, Х т ) =

—

((J C j ,

X*,,

. . . ,

A m )

Д а х,

£ m ) .

где

— _f xi

,i = l , 2, . .

Mj,

jc> =

f У; ,

f = l , 2.........

m,,

l yz

,i = /гег-(-1, . .

m,

—

\x-t ,

г=/я,+ 1,...,

m.

/ ( * ) - / ( К) > - 8 .

■Лемма 3.3 доказана.

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

Возьмем произвольный вектор k f - M Q и

покажем, что k яв­

ляется (з, а)-доверительным вектором

разрешимости сто­

хастической задачи,

т. е. выполняется неравенство

P [\ l-l(b (k )\ < z )^ a ..

(3.22)

Действительно, допустим, чтополучено

реализаций

каждой случайной величины bi . Найдем с вероятностью

границы доверительного интервала для М ( Ь ):

bi

(ki

) = b, (ki ) - ± u(k,

),

Т,

(kt

)= b , (k, ) + Д3Дki

)

для

1 , 2 , . . . ,

т.

/ - - = 1 , 2 ,

m.

нетрудно

видеть,

что условия леммы 3.3

при Xi = M (bt )

и

у, = bi

(ki

) выполняются

с вероятностью

не менее

чем

а„

Поэтому неравенство (3.22) имеет место.

Теорема доказана.

Замечание 3.1.

Из доказательства теоремы

3.1

следует,

что предположение 3.1

может быть заменено предположе­

нием

,

t = 1, 2, . . ., т.

Итак, чтобы определить М ( М 0), которое является мно­

жеством (е, а)-доверительных

иекторов

разрешимости сто­

хастической задачи, нужно:

D(b-, ),

i — 1,

m-r

а)

найти такие

Д

, чтобы Д

>

2,

...,

б)

определить

числа

и оц ,

которые

удовлетворяют

условию

P{bi

(ki

)£

[<xi ,

асi

]} >

для любого ki > 0 ,

i —\,

2,

...,

т,

где

т

> а ;

П

1

/ =

bj

пользуясь методами параметрического программирова-

ния, установить вид функции l(l) = lQ),

определенной в пра­

вой окрестности точки а (решить задачу

(3.5) —(3.11))*;

г)

по (3.1) ((3.12)) определить множество М (М0)

и взять

любой

вектор k с

целочисленными

компонентами

из этого-

множества.

Согласно теореме 3.1 (теореме 3.2),

если

будут полу­

чены ki реализаций

каждой

случайной

величины bi и оп­

ределена статистическая оценка bi (ki ),

то

l(b (k ))

будет

решением

стохастической

задачи

с

требуемой

точностью

е^>0 и

вероятностью

не меньше,

чем заданное а.

* Для определения вида функции /(А) достаточно решить

задачу

ли­

нейного программирования в точке

Х = а

с

некоторым видоизменением

т

Д Т.

е )

{

(4Л)

является (г, а )—доверительным

вектором неразрешимости

стохастической

задачи, где

_

_____

ТП

TV) =

Y2D t Ф_1(?г ),

П

г-i

Р/ > у ,

2, . . ., т.

h , h

€ К . «г ],

/=1, 2,

. . ., т.

* Предполагается, что

оптимальный план л-задачи

при Х = а невы­

ной величины bi требуются

затраты с;, то естественно пос­

тавить задачу определения

такого

вектора k

из множества

М, при котором затраты были бы минимальными.

Для решения этого вопроса,

очевидно,

нужно решить

следующую задачу выпуклого

целочисленного программиро­

вания.

Минимизировать

т

(5.1)

cPl(^)==,2

^

1-1

при условиях

<=iT< 7 k t

(5.2)

2

ki (/==1, 2 , . . т) —целые

неотрицательные числа. (5.2')

ki {i —1, 2, . . .,

т )—целые неотрицательные числа, (5.4')

где

Z —минимальное значение

линейной

формы задачи

(3.9)

—(3.11).

Пусть k \k)

решение задачи

(5.1) —(5.2')

((5.3) — (5.4'))

мального" плана взять

вектор k * ( k * ),

где компоненты

век­

тора k *

определяются

из условия k*. =

)ki [

(£*=]&; [),

не­

трудно

убедиться, что k* ^ M (k* ^ М °),

и,

кроме того,

ре-

т

•

шение по функционалу не превышает 2 с‘

ki ( t =l ,

2, .

. .,

m) — целые неотрицательные

числа. (5.7')

Если

®",

f?2 '

Тз и ?4 — оптимальные значения

целевых

функций

соответственно задач (5.1)—(5.2'),

(5.3)—(5.4'),

(5 .5 )-(5 .6 '),

(5.7)—(5.8'), то <p?<<p°<<pg<

Наконец,

отметим, что большой интерес представляет

определение

априорных оценок для более общего

случая,

2

M (iiij)xj^ M (bi

),

1=1, 2, . . ., т,

X j > о,

у = 1, 2, . . ., п,

где cj, a ij,

b(—случайные

величины.

26

ной работе ставился вопрос о

разработке

прямых

методов

решения стохастической

задачи.

Процесс

решения

стохас­

тической задачи

прямым

методом

можно представить в ви­

де следующей цепочки:

наблюдение— решение—наблюдение— решение —. . .

—наблюдение —решение . . .

Отметим, что впервые прямые методы,

основанные на

методе стохастической аппроксимации, предлагались

в [46]

и [63]. Для решения более широкого

класса

задач

прямые

методы, основанные на понятиях

обобщенного градиента,

стохастического

квазиградиента

и доверительного интерва­

ла, предлагались

в работах [33],

[54]

и [62].

Г . Понятия,

определения

и

примеры.

В дальнейшем

В [12].

Если

яг (*'=1,

2, .

. ., п)—незави­

Предположение 6.1.

симые случайные величины с соответствующими М(щ )

( i=

1, 2, . .

.,

я), и для каждого М (щ )

найден

доверительный

интервал

с

вероятностью

о

1

I

— а

вероятность

ф =

1 ------------,

то

п

одновременного накрытия

этих

интервалов,

соответствую­

щих /И(я,- ), не меньше чем а.

Определение 6.1. Два случайных множества R и

на­

зовем я-доверительными множествами

для

/?, если выпол­

няется соотношение

$=\xl2iM (aj)Xj^:M (aail),

xy>0,

7 = 1 ,

2,

. .

n\

j= i

{предполагается,

что величины ay

(/— 1,

2, .

.

л) незави­

симы).

Используя

формулы (2.4)

и

(2.5),

по

некоторому

числу

реализаций определим доверительный интервал [ау,ау]

для М{аЛ

|

^

с

вероятностью ?7—

1 ----------- .

Построим

множества

л + 1

/?=(Х|2

ауХу<а/г+1,

Х > 0 )

и

1

~

Я Н * 1 2

аЛ -<««+1,

* > 0 ) .

У»1

-

Нетрудно видеть,

что с учетом предположения

6.1, множест­

ва R и R

являются a-доверительными

множествами

для

где Cj — заданные

действительные

числа (предполагается^

что множество R,

определяемое

ограничениями исходной

рому числу

реализаций

определим доверительный интер­

вал [a.j , a,j ]

для M(tij )

с вероятностью

Тогда легко заметить, что если

П

/ = т а х 2

c i х )

J -

1

при

2

fly xi

a n+i,

j -

1

-

X}

>

0 ,

j — 1, 2 , . .

ft,

а

l =

т а х 2

Cj Xj

при

2

^

Xj ss

Л ; >

0 ,

/ =

1

, 2 .................ft,

j -1 M ( CJ ) * j

(6 .1 )

Р & а и ^ ) х 1^ Ь 1{ш)\ = 1,

i = 1 ,2 ..........

/га,

(6.2>

*/ > 0,

У =1, 2,

. . ., ra,

(6.3>