Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

4.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Теорема 7.1. Если				\|r f \|*^ Л < оо ,
			Ps> 0,		2 Р* <		«»,
					s~-1
ТО
а) последовательность \|х4),							полученная по формулам
(7.1),	является квазифейеровской;
б) \|х4)		сходится с		вероятностью,					равной	единице, к
точке	минимума функции F (x ),					если 2 fo ^ 00-				(7.2)
Доказательство. Пусть М								J—1
Доказательство. Пусть М						множество всех				точек ми
нимума функции F (x ).				Очевидно,			что		для любого х *£ М ,
имеем
		\|х *	х 4+1 \|8 =		\|х *		x 4-f ps*l4 \|\|а
	sS	\|х *	-Xs \|2+2ps(vjs, х*					х 4)+Лр8.
Возьмем условное математическое ожидание от										обеих час
тей этого неравенства
	М I	\|х*	x s+1 \|\|2/x1, х 8............х 4) <
	*£	II х *	x s \|\|8 +		2ps(F ^(xs),			х * -х *)А -А &
где F r(xs)=M (ris(x >, . . . Xs)).						Нетрудно			видеть,	что
			(/^(х4), х*			X s) со.
Это следует		из того, что функция					шах\|/Дх, ю)\|			выпуклая
Вниз при любом о), а вектор -rf							t
Вниз при любом о), а вектор -rf						-внутренняя нормаль опор
ной гиперплоскости к телу
	\|х:тах\|/,(х,			со4)\|<тах\|/Дх4,					о>®)\|}.
		t				t
Поэтому
М{ \|\| у	х 4+> \|\| 7 х \		. . .,	х 4}		\|\| х *	х 4 II8 + Лр*.			(7.3)

Из последнего следует, что случайная последовательность является квазифейеровской относительно множества D, по этому она сходится с вероятностью, равной единице.

Пусть теперь справедливо условие (7.2). Из свойства операции случайного проектирования и неравенства (7.3) имеем:

М \|	1 1\|2 ^ II * *	\|\|» - Ь v p (F ,()f * х к) -
		fe-0

+* & } ■

Всилу (7.2) левая часть неравенства равномерно ограниче на. Следовательно

	^ psMiFjAx), x —x s)>				оо,
	Г" I
	/\		x s)-*0 при s-+oо.
т. е. M (Fx(x s), х *			x s)-*0 при s-+oо.
Поэтому	найдется		подпоследовательность			\|s/\|, 1 =	0, 1 ,...,
			ч			с вероятностью,
для которой при I ->оо (F (a:s), х - x si)-*Q						с вероятностью,
равной единице, т.			е. при любом ш подпоследовательность
(jc*i(w) 1 сходится		к	некоторой	точке	минимума		функции
F(x).
Если учесть		следствие 2,		леммы 7.1,		то этим доказа
тельство	теоремы	заканчивается.
2°.	Задача двухэтапного			стохастического			програм

мирования. Данная задача применяется тогда, когда требу ется составить план на некоторый интервал времени при не полностью определенном будущем. При реализации приня того в такой ситуации плана возникают „неувязки*, ликви дация которых связана с определенными затратами. Необ ходимо найти такой план, стоимость реализации которого с учетом ликвидации неувязок является в среднем минималь ной.

Математическая	задача ставится следующим			образом
(см. [36\| и [62]).
Пусть заданы:
1) система линейных неравенств вида
Ах +		Dy ^	В(ш),	(7.4)
х	0,	у >	О,	(7.5)

где

А -матрица

размеров

m X«i, D —матрица размеров

ш Х «2. л'. у —соответственно

^-мерный

я2-мерный век

торы, 5(i») --/«-мерный случайный вектор

распределением

с?[Р(ю)] с ограниченной дисперсией;

две линейные формы Lx{x) = ( С ,(1) х),

L2(x)— (С,(2) у),

где С(1>-^-мерный

вектор,

С(2)— я2-мерный

вектор.

Обозначим

Ф(х, В(ш)) = min(C,(2)y)

(7.6)

при ограничениях

О у > 5 (ш )-Д х ,

(7.7)

у > 0 .

(7.8)

Допустим,

что для

любого

х > 0

и В(ш)

существует

решение задачи (7.6)

-(7.8).

Пусть £'(л:)=]’Ф(х, 5(u>))d[P(<i>)].

Требуется

найти

m i n / ^ x ) = m i n [ ( С (б х ) + Д ( х ) ] .

л*>0

л">0

В работе [62] был предложен прямой

метод решения

этой задачи.

Пусть

на s-ом

шаге

получено

значение

х^*. Тогда

(s-f-l)-ft

шаг описывается следующим образом;

а)

выбираем случайную реализацию 5 (i)(w)

в соответ

ствии d[P( <•>)];

б)

находим

Д(4>(о))),

решая двойственную к (7.6)

—(7.8)

задачу:

найти

шах [(л:, В(о>)) ~(х, А* л:)]

при ограничениях

D*/. <

С<2\

х > 0 ,

где

х =

х^\ В(ш) = В\

в)

определяем x (i+1) с компонентами

(7.9)

хб +1>== шах { 0,

xj^-f- Ps/^l,

где ps—величина шага, А(4)=Сб>—А*Цх^\

й(*>(ш)).

Движение точки	при	этом		происходит в случай
ном направлении, математическое			ожидание которого сов
падает с направлением обобщенного				градиентного спуска.
Пусть Д/—множество оптимальных				точек рассматриваемой
задачи.
Теорема 7.2. Если
Ps > 0 .	1
уИ( II 7J* \|2/х\	х2, .	: .,	Xs	)s£C<oo,

то

а) случайная последовательность, полученная по фор мулам (7.2), является фейеровской относительно множества

М;

б)	при	любом	х£М , lim \|х		-x<s>\|= 0	с вероят
ностью,	оавной единице,			если У, Ps =	°°-
				6 =.1
Доказательство			этой	теоремы аналогично		доказатель
ству теоремы		7.1.

Г Л А В А II

РЕШЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕЙНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

При формализации целого ряда разнообразных задач планирования и управления народного хозяйства и его отдель ных звеньев исходные данные рассматриваемых задач за даются с некоторой точностью. В связи с этим возникает не обходимость в изучении так называемой устойчивости постав ленной задачи относительно возможных приращений значе ний исходных данных. Если задача не обладает достаточной устойчивостью, то даже незначительное отклонение исходных данных может привести к нежелательным результатам. Поэтому изучение устойчивости задачи занимает особое мес то в математическом программировании. В частности, в линейном программировании изучение вопросов устойчивости привело к созданию параметрического линейного програм мирования.

В настоящее время методы параметрического програм мирования служат не только для изучения вопросов устойчи вости, но и являются эффективным средством для решения ряда практических задач.

В данной главе будут рассмотрены некоторые задачи планирования и управления производством, для которых пред ложены алгоритмы, основанные на идеях параметрического программирования.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РАСШИРЕНИЯ

ПАРКА ОБОРУДОВАНИЯ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ МАШИНОСТРОЕНИЯ

ИПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Впрактике хозяйственной деятельности производствен ных предприятий нередки случаи, когда загрузка некоторых

видов действующего оборудования довольно низка, в товремя как другие виды оборудования являются «узкими мес тами» для данного предприятия. Подобная ситуация обнару живается только при анализе хозяйственной деятельности предприятия на основе статистических данных, накопленных

втечение прошедшего периода. Очевидно, в таких случаях производственное предприятие попадает в нежелательное по ложение. Действительно, невыполнение производственного плана приносит ущерб не только данному предприятию, но и

вбольшей степени всему народному хозяйству. В современ ных условиях экономических связей между предприятиями и отраслями срыв производственного плана одного предприя тия влечет за собой неизбежный срыв планов производства всех тех предприятий и организаций, ' для которых данное предприятие является непосредственным поставщиком. Та кая ситуация недовыполнения планов распространяется из каждого предприятия-поставщика на все предприятия-потре бители. Указанный процесс можно представить в виде дере ва, исходной вершиной которого будет предприятие-постав щик, а последующие вершины будут представлять предприя тия-потребители*.

Эта интерпретация будет более ясной, если народнохозяй ственный план представить в виде укрупненного сетевогографика, в котором каждая дуга сети (называемой «рабо той») будет представлять выпуск продукции конкретного предприятия.

Ясно, что возникновение указанного обстоятельства при

ведет к необходимости пересмотрения планов всех предприя тий (а также отраслей) и их дальнейшей корректировки.

* В действительности описанная ситуация представляется в виде ориен тированного графа с петлями, двуугольниками и контурами различной длины. Петля будет означать, что выпускаемая данным предприятием продукция используется для собственных целей (например, для расшире ния производства), двуугольник означает, что предприятие-поставщик является потребителем (некоторых видов продукции) для предприятия,

которое является потребителем продукции первого предприятия. Контур означает, что такая связь имеется посредством определенной цепи пред приятий.

Нетрудно убедиться, что одной из основных причин сры ва производственных планов является неточное определение производственной мощности предприятия, несвоевременное выявление диспропорций между производственной мощностью и производственными планами. Ряд конкретных примеров из

практики деятельности предприятий республики приведен в работе [4]. Для того, чтобы срыв планов одного предприятия не повлиял на ход работы других предприятий, можно создать

централизованные снабженческие базы, предназначенные для накопления всех видов сырья, материалов и комплекта ции. Последнее давало бы возможность своевременно обеспе чить потребности всех производственных предприятий. Однако создание аналогичных баз для всех видов продукции и сырья экономически нецелесообразно, так как при этом в снабжен ческих базах длительное время будет лежать достаточно боль

шой объем различных видов ресурсов, что искусственно за медляет (задерживает) оборачиваемость оборотных средств.

Это обстоятельство приводит к снижению эффективности об щественного производства, даже если не учитывать все расхо ды, связанные с созданием и обслуживанием снабженческой базы*.

Другой путь исключения возможностей появления срывов производственных планов (рассматриваемый в данном пара графе)—уточнение производственных мощностей предприятия до составления производственного плана, сравнение плана с наличными мощностями (с учетом дальнейшего расширения) с целью уменьшения существующих несоответствий между производственными мощностями и производственным планом.

При ежегодном расширении производства путем расши рения парка оборудования в первую очередь учитываются возможности сокращения диспропорций между мощностями и планом. Это приводит к определению такой структуры рас ширяемого парка оборудования, при которой обеспечивается возможный наибольший объем выпускаемой продукции. В за висимости от конкретных условий можно ставить определен ную цель для нахождения структуры расширяемого парка.

* Эти вопросы более подробно рассматриваются в главе IV.

Например, в качестве критерия можно выбрать величину сум марных затрат некоторого производственного фактора или же потерю из-за простоев оборудования. Под производственны ми факторами здесь понимаются рабочая сила и средства производства, которые непосредственно участвуют или исполь зуются в процессе производства.

При определении наилучшей (в том или ином смысле) структуры расширяемого парка оборудования успешно мож но применять методы математического программирования. Для этого, исходя из конкретных условий и поставленной це ли, составляется экономико-математическая модель, выбира ется или разрабатывается метод и решается поставленная задача.

При математической формулировке задачи оптимального расширения парка оборудования в отдельности будут рассма триваться случаи, когда используются только а) универсаль ное оборудование; б) специальное оборудование. Случай од новременного наличия (в распоряжении предприятия или снабженческой базы) оборудования универсального и спе циального назначения здесь не рассматривается.

Предположим, что на снабженческой базе, а также в действующем парке предприятия имеется л видов универ сального (специального) оборудования, которое предназна чено для выполнения mL технологических операций (т. е. т операций над каждой из изготовляемых L деталей).

Для составления экономико-математических моделей

определения оптимальной структуры			расширяемого парка
введем следующие обозначения:
М —часть	капитальных вложений, предназначенная
только для приобретения оборудования;
Oj ( у = 1,	2, . .	л)—стоимость	единицы оборудова
ния /-го вида;
Cj ( у = 1, 2, . . .,		л )—средняя стоимость одного часа
единицы оборудования у'-го вида;
<рj (/=1, 2, . . .,		л) -годовой полезный		фонд времени
единицы оборудования /-го вида;
Ф; ( у = 1,	2, . .	., л ) —годовой полезный		фонд време

ни оборудования /-го			вида, имеющегося		в	действующем
парке;
аУ(/ = I, 2,		. . ., л) -количество		оборудования				/-го
вида, приобретаемого к началу планируемого года;
Qt	(/ = 1, 2,	. . ., L) -количество		деталей			/-го	вида,
изготовляемых в течение планируемого года;
Ntji (/ -1, 2............л; / = 1 , 2, . . .,				л;	/ =	1,	2, . .	.,/.)
производительность единицы оборудования /-го							вида		при
выполнении /-ой операции над /-ым видом деталей;
си,	(/=1, 2,	. . .,	лг; /--1, 2, - -	я;	/=1,		2, . .	.,	Z.)
—норма	расхода	производственного фактора				(являющегося

дефицитным для данного предприятия) при выполнении /-ой

технологической	операции над	/-ым	видом деталей с	по
мощью оборудования /-го вида;
U-// (/ = 1, 2,	. . ., /л; /=-1, 2,	. . .,	л; /=1, 2, . .	Z.)

—машинное время оборудования /-го вида, выделяемое (по плану) для осуществления /-ой технологической операции над /-ым видом деталей.

Величины o-j , Qi и /<уч являются неизвестными. Осталь ные величины предполагаются заданными. На неизвестные величины накладываются следующие ограничения:

суммарное время выполнения всех операций по каж дому виду оборудования не должно превышать годовой по

лезный фонд времени оборудования этого вида:

т	L	(1.1)
2	2 *///-?/ «/ < ф j , 7 = ь 2, . . ., л;	(1.1)

1 17=1

суммарное количество изготовляемых деталей должно сов падать с планом:

т	п
2	2 Nijitiji^Qu / = 1, 2, . . ., L;	( 1.2)
'■-и-!

затраты на приобретение оборудования всех видов не должны превышать соответствующей части капитальных вложений:

2 O j a , S S / W ;	(1.3)
/-1

все неизвестные должны быть неотрицательными:

a.j > 0 , Qt>-0, i = 1, 2, . .	m\ y'= 1, 2, . .	я;
/=1,	2, . . L ;	(1.4)

количество приобретаемого оборудования и изготов ляемых деталей должно быть целыми числами:

а,	и Nijitiji -целые,		г'=1, 2............т;				/'=•1, 2, . . я;
					/=1,	2, . .		L.	(1.5)
	Как указывалось		выше,		в целевую			функцию входят
два	показателя:
	суммарные затраты			дефицитного				производственного
фактора (в денежном			выражении):
			L	п	т
		Л = 2		2	2				(1-6)
			г- l j=\i=\
	суммарные потери из-за				простоев			оборудования	всех
видов (в денежном		выражении):
	П					L	т
	/г = 2	ci (fy ai		+	Ф/	2 2			(1.7)
	У-l					г- 1	г- 1

Следовательно, целевая функция поставленной перед нами задачи расширения парка оборудования будет иметь следующий вид:

	1.	п
/ — Л + Л	= v	V	2 (cui	ci )tiji + 2 ci ( b ®y + Фу). (1.8)
/ — Л + Л		А.	2 (cui	ci )tiji + 2 ci ( b ®y + Фу). (1.8)
	/-1 /-		i i	/-1

Таким образом, задача оптимального расширения парка оборудования математически формулируется следующим об разом.

Задача 1.1. Определить	величины	a , Q[ и	tm (i =
1, 2, . . ., /я; у = 1, 2, . . .,	я; l — l, 2,	L),	удовлет

воряющие ограничениям (1.1)—(1.5) и минимизирующие ли нейную функцию (1.8).

Замечание	1.1. С точки зрения	практической приме
нимости поставленной задачи, более		естественно	было бы
на неизвестные	Q/ накладывать (вместо условий		неотрица
			49

4 —460

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

М \|	1 1\|2 ^ II * *	\|\|» - Ь v p (F ,()f * х к) -
		fe-0