книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

1, если t-ая технологическая операция изготовления деталей /-го вида осуществляется по у'-ому варианту;

О, в противном случае.

Задача определения оптимальной технологии математи­ чески формулируется следующим образом.

Минимизировать линейную функцию

Целевая функция (3.1) представляет собой суммарный расход выбранного (дефицитного) производственного факто­ ра.

Условия (3.2), (3.4) и (3.5) означают, что каждая техно­ логическая операция изготовления деталей каждого вида может осуществляться только одним из возможных вариан­ тов.

Условие (3.3) означает, что суммарные расходы каждого производственного фактора при выполнении плана не должны превосходить имеющегося в наличии объема ресурсов этого фактора.

линейного программирования с булевыми переменными. Для ее решения можно применять один из известных методов це­

60

лочисленного линейного программирования. Однако решение задачи (3.1) — (3.5) указанными методами связано с опреде­ ленными трудностями. Специфический характер поставлен­

ной задачи позволяет ее решать более простым алгоритмом. С целью изучения разрешимости задачи введем следую­

чины Д* будем называть резервами соответствующих произ­

то при у-ом варианте реализации г-ой технологической опе­

занная процедура исключения вариантов за конечное число Шагов приведет либо к неразрешимости задачи (3.1)—(3.5), либо к матрицам, позволяющим из дальнейшего рассмотре­ ния исключить определенные столбцы (соответствующие ва-

61

риангы нереализуемы) или строки (соответствующие техно­ логические операции реализуются единственным вариантом)

детали, которая совпадает с задачей определения оптималь­ ной технологии очистки засоренных твердыми почвами земель­ ных площадей [11].

В указанной работе приведена процедура возможного уменьшения размеров матриц нормативов производственных факторов для L— 1, которая может применяться и для Z)> 1.

Кроме того, дан алгоритм решения задачи при L=\ \\йх= 1.

Идея этого алгоритма заключается в том, что вместо ис­ ходной решается вспомогательная задача параметрического линейного программирования с целевой функцией, линейно

зависящей от векторного параметра при достаточно простых

где минимум берется на множестве, определяемом условиями

Для решения сформулированной многопараметрической задачи решается вспомогательная однопараметрическая за­ дача линейного программирования по определенному направ­ лению s. В качестве s выбирается направление, позволяющее через конечное число шагов либо обнаружить неразрешимость исходной задачи, либо получить ее оптимальное решение.*

Непосредственной проверкой можно убедиться, что в точке /.=0 функция F(\) порождается базисом, соответству­ ющим опорному плану с элементами

* Из экономического смысла задачи ясно, что F(k)5zO при Х.;5Ю,

поэтому случай неограниченности невозможен.

62

В качестве направления выбираем вектор со строго поло­ жительными компонентами. Можно брать, например, вектор

.S с компонентами

(3.10)

Это направление является одним из наилучших, так как оно ведет к уменьшению левых частей условий (3.3) в зависимо­ сти от численных значений величин b£, т. е. с большей ско­ ростью будет уменьшаться левая часть того условия, для ко­ торого величина Ь^ меньше. По выбранному направлению рас­ сматривается задача (3.1), (3.2), (3.4), (3.5). Очевидно, что

/.= ps, р)>0 и /■"(/.) = ф(р).

Исходя из специфики задачи, функция ?(р) не является не­ прерывной*. Интервал изменения параметрар, на котором функция <f(ii) порождается одним и тем же базисом, явля­ ется интервалом постоянства. В критических точках она мо­ жет в некоторых случаях оставаться непрерывной. Ясно, что в таких случаях два соседних интервала образуют интервал постоянства функции ®(р). А в общем случае критические 'точки являются точками разрыва этой функции.

Построением последовательности интервалов постоянства

на полуоси р > 0 либо на некотором интервале изменения па­ раметра р получаем допустимый базис исходной задачи, ли­ бо убеждаемся в ее неразрешимости на выбранном луче. Ко­

нечность этого процесса доказана в книге [18]. Если при движении по выбранному направлению обнаруживается не­ разрешимость исходной задачи, то выбирается другое направ­ ление, приводящее к уменьшению правых частей тех ограни­ чений из (3.3), которые нарушаются. Компоненты вектора направления выбираются следующим способом:

* Непрерывность функции <р(р) нарушается из-за ограничения целочисленности переменных. Она представляет собой ступенчатую возрас­ тающую функцию.

63

то процесс прекращается, так как уменьшение правой части одного условия приводит к возрастанию правой части другого условия.

После решения однопараметрической задачи рассматри­

возможность дальнейшего уменьшения функции (3.1) на мно­ жество планов этой задачи. Анализ проводится путем изуче­ ния взаимных соотношений коэффициентов целевой функции и ограничений. Нетрудно заметить, что этого можно достиг­

(после возможного уменьшения размеров нормативных мат­ риц) приведена на стр. 64.

5-450

Г Л А В А III

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИИ

Деятельность промышленных предприятий за год, как известно, обобщается в техпромфинплане. ТеЬспромфинплан представляет собой годовой план промышленного предприя­ тия и включает в себя обширную программу производственно­ хозяйственной деятельности предприятия. В этом плане пре­ дусматривается рациональное использование материальных, финансовых и трудовых ресурсов предприятия для выпуска продукции некоторой номенклатуры определенного качества, намечаются конкретные пути внедрения прогрессивных тех­ нологических процессов, более совершенной организации тру­

да и производства.

Содержание техпромфинплана предприятий отдельных от­ раслей промышленности различное, однако основные статьи каждого техпромфинплана одинаковы. Такими статьями являются план производства, план материально-технического снабжения, план труда и зарплаты, план себестоимости про­ дукции, финансовый план и т. д.

Для сокращения трудоемкости и сроков составления техпромфинплана, увеличения степени точности данных необ­ ходимо механизировать все плановые расчеты, используя при этом современные электронно-вычислительные машины. В на­ стоящее время, в свете решений XXIV съезда КПСС, созда­ ются все условия для широкого применения экономико-мате­ матических методов и вычислительной техники в области пла-

66

нирования и управления производством, в частности, при определении оптимального режима работы промышленных предприятий.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПЛАНА ПРЕДПРИЯТИЯ

Ведущей статьей техпромфинплана является план произ­ водства, от которого зависят план труда, план материальнотехнического снабжения и другие статьи техпромфинплана:

Составление техпромфинплана начинается с разработки про­ изводственной программы предприятия. Все показатели, в том

числе план себестоимости продукции и финансовый план пред­ приятия, вытекают из производственного плана и обусловлены им. По. этой причине подробный расчет указанных показате­ лей можно проводить после определения номенклатуры и. ко­ личества выпускаемой продукции. Поэтому целесообразно вначале определить оптимальную производственную прог­ рамму, далее вычислить остальные показатели хозяйст-. венной деятельности предприятия. При определении этой

программы технология производства и технические характер ристики оборудования рассматриваются как заранее задан­

ные величины.

Для математической формулировки задачи введем сле­ дующие обозначения:

щ—количество групп наличного оборудования предприя­

67

(tij)mxn —технологическая (нормативная) матрица тру­ доемкости выпускаемой продукции, где у'-ый столбец пока­ зывает технологию выпуска продукции у-го вида по всем видам технологических операций, a i -ая строка представля­

покупных полуфабрикатов и малоценных инструментов,

Задачу определения оптимального варианта производ­ ственного плана предприятия можно сформулировать сле­ дующим образом.

(не допускается перегрузка технологического оборудова­ ния);

b j ^ X j - ^ b j , у— 1, 2, . . ., п

68

(объем реализуемой продукции находится в интервале пот­ ребности);

<расходы на расширение машинного парка оборудования не превышают объема предусмотренных капитальных вложе­ ний);

§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗДЕЛОВ ТЕХПРОМФИНПЛАНА

Решая задачу, сформулированную в § 1, получим: оптимальную производственную программу предприя­

тия (Xj. , ./ = 1, 2, . . ., я);

количество приобретаемого оборудования по группам

(у, , /=1, 2, . . ., т );

прибыль предприятия, получаемую от реализации вы­ пускаемой продукции ( /( X ) — У] Пу Xj

После получения оптимального плана вычисляются следующие основные показатели:

загрузка технологического оборудования (по группам) по оптимальному плану

69