книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи

где су—известное

действительное число, a /у и bt—случай­

ные величины, а а/—вероятность выполнения

г-го неравен­

ства, где 0<у*гё;1.

Полагая, что законы распределения случайных величин

ауу и bi известны,

находят выражения для вероятностей,

стоящих в левой

части ограничений исходной

задачи. При

этом получаются

некоторые функции fi(X ), зависящие толь­

/

W = 2 W

(2.1 >

при условиях

/ |

^ а у х ;<Ь:+ Ь]М {Ь1),

1 = 1,

2, . . .,

т,

(2.2>

х/>0,

У = 1,

2, . .

п,

(2.3)

где dif, b \, Ь\ (6 "> 0)

и Cj — известные действительные числа,,

а М (Ь,)—математическое

ожидание

случайной

величины

bL.

имеется возможность

наблюдать от­

Предполагая, что

дельные реализации величины b-t, задачу можно

было бы

решать следующим образом: определить

по некоторому

числу ki реализаций

(наблюдений) статистическую

оценку

далее в стохастической задаче

заменить

математическое

ожидание М(Ь{) величиной £>,(£/)

и решить полученную ста­

тистическую задачу линейного программирования.

Решение

последней будет приближенным решением

исходной задачи

с некоторой

вероятностью.

Однако при таком подходе нельзя определить точность,

решения исходной задачи, следовательно, и

решить задачу

получения

наиболее обоснованных оценок.

В связи

с этим возникает следующий

вопрос:

априори

(т. е. до получения k-t реализаций

величины 6,) определить

такое множество М(М ), что для

любого k £ M ( k £ M ) сто­

хастическая задача будет разрешима (неразрешима) в тре­

буемом

смысле.

Это значит, что если:

а)

взять любое

k £ M

(k£M)\

б) получить k-t реализаций величины

в)

вычислить

статистическую

оценку

г)

заменить М(Ь{) в исходной

стохастической

задаче

оценкой b[(k[);

д)

решить полученную

статистическую задачу

линей­

ного

программирования,

то должно

выполняться неравенство

f ( X ) =

2 CjXj

при условиях

/-1

y^aijX j^b'i +

b\bi{ki),

г= 1, 2,

. . т,

/=1

x j > 0,

j = 1, 2, . . ., п.

В дальнейшем

множество М(М)

будем называть (е, о) —

задачи (2.1) —(2.3),

а вектор k £ M ( k £ M ) —(е, а)—довери­

тельным вектором

разрешимости (неразрешимости) задачи

(2.1)—(2.3).

тической статистики [12]. Известно, что

если а —случайная

величина, и получено г ее реализаций,

то, пользуясь мето-

Р [ М ( а ) £ ( а ( г ) ,

а ( г ))}> 9 .

Границы

доверительного

интервала

вычисляются по

формулам:

а (г) = а (г)—Ар (г),

a (r ) — a(r) -f Д? (г),

(2.4)

где

N

Д? ( г )

V 7 '

Здесь N = Y 2D (a) •Ф 1(р),

где

D (a ) —дисперсия величины

а , а Ф-1(Р)—функция, обратная функции Лапласа.

Отметим,

что если D (a) неизвестна,

то обычно поль­

зуются ее статистической

оценкой

/ г

(2.5)

Ь(Ь)НЬг(Ьг),ЬМ . .

., bm(km)),

М(Ь) =

(М (Ьг), М (Ь,), . . ., М (ЬЯ)).

В дальнейшем

часто будет

рассматриваться функция

п

V а и х,-^Ь\ -t- b’Mit

г —1, 2............/я,

j -1

лу> О,

/= 1 , 2 , . .

л,

где су, а,у, Ь'. и Ь'^>0—константы линейной формы

и

огра­

ничений

стохастической

задачи

(2.1) —(2.3),

а >.— вектор-

-столбец.

Отметим, что /(>.) является кусочно-линейной,

вог­

нутой неубывающей функцией.

§3 .

О П РЕДЕЛ ЕН И Е ДОВЕРИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА

РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ

Для

дальнейших рассуждений требуется

введение

сле­

дующих

предположений.

Предположение 3.1. Существует такой

конечный ин ер-

вал,

что для всех k t реализаций статистическая оценка

£/(£;)

принадлежит данному

интервалу с вероятностью не меньше,

чем

заданное

Р/, т. е. существуют такие числа »; и

,

что

для любого ki

имеет место неравенство*

P\bi (k,

)€(<*,, «г ) } >рг ,

где

pi

(

i — 1,

2, . . .,

т )

выбраны

таким

образом,

что

ПР/

я, Р/

, i —1, 2,

т.

/-1

Предположение 3.2. Известны

такие

числа

D t ,

что

А >

D(b, ).

Отметим,

что если

1(a)—1(a) <; 2е,

то

1° =

1(a) + 1(а)

-----------— -----

2

решение стохастической задачи в требуемом смысле**.

Действительно, из предположения 1

следует, что (а,- ,аг )

для любого ki

покрывает M (bi ) с

вероятностью,

не

мень­

вектор столбец).

С другой стороны 1(я)^-1(М(Ь))1

так как

*В частности, это

имеет место, если случайная величина bi

ограничена

нуль-вектору. Это значит,

что не следует получать никаких

реализаций

величины

bt .

Теперь

перейдем

к

определению

множества

М. Пусть

в некоторой правой

окрестности точки

а функция

/(X) по­

рождается тем же базисом, что

и в точке Х = а.

Построим

функцию 1(Х) = 1(к)

(определенную в этой окрестности), ко­

торая в общем случае

имеет вид*

_

т _

Дх) = М - 2

v h •

(3.1)

i-i

Действительно,

пусть в некоторой точке

Х=Х°

функция

/(X) порождается базисом

Б = {Л/,, Ajt,

. . .,

Ajm],

где Л,—

вектор-столбец~с компонентами (а1у-,

а2у, . .

., a mj).

Это

означает,

что

т

2

Лл*лС*°)=ь°.

i- i

Решая эту систему

относительно лгуДХ0)

(в общем

случае),

получим:

ДА=Р.п

2

ъ Л

1,

2.

т.

(3.2)

к- 1

или, обозначив

X j i —

Х ю ,

== ? й>

~[ik>

имеем

* Предполагается, что X- задача

при

Х = а

разрешима, и оптимальный

план невырожденный.

/г — 1

Так как Б = (Л ',.

Ah , . .

., AJn} является

базисом

в точке

л=Х°, то все базисные компоненты

Хщ(к°) неотрицательны.

Это значит (с учетом

предположения

невырожденности в

точке Х°), что множество

D y,= J >./*«,(>.) =Р/о +

2

> 0 ,

г =

1, 2, . .

mj

(3.3)

не пусто.

Оценки z j —cj векторов Aj не зависят

от

вектора —па­

раметра а. Поэтому необходимым и

достаточным

условием

того, что функция 1(Ц в области /Л°

порождается

тем же

базисом, что и в точке к=к°, является условие /.£Dx«.

Для любой точки a£ D xо имеем

(cio= cj0)

__

т

=

т

/

т

Т/*>*

1(1) =

/о(Х) =

V с,0

2 Оо ( Р/о +

^

г « 1

/~1

\

А - 1

/и

т

т

т

=

у р/ооо+ 2

Cio2

W -*= P + 2

т/х- '.

(3.4)

( - 1

/ -1

А=1

/ -1

М =

(3.5)

является (е, а)—доверительным

вектором разрешимости сто­

хастической задачи, где

N i = Y 2D, Ф-НР/ ),

Р*

>

4 " ’

П Р/

> «.

* Доказательство теоремы 3.1

для случая

b t = 0

b t= 1

( /= 1, 2, . • ., т )

дано в [56].

Р{ [bj (ki ),

bi (ki

)]

накроет M (b{ )}

,

(3.6)

где

b i ( k i )

= bi

(ki ) - y = - ,

Ti

(k i ) - b i

(ki ) +

ДЛЯ

i — 1. 2, . .

т

т, П Pf > а.

1=1

= / (61(&1), b2(k2), . . .,bm(km))-- [ ( b j k j ,

............bm(km)) =

i { b ( k ) ) - i ( b j k ) ) < i ( b 1(k1) + .............

bm{km) +

-

Р ( \l-l(b(k))\

I (b(k)) -

l(b(k))^s\ >

я.

(3.8)

Доказательство теоремы

закончено.

Оценки, полученные

по

вышеприведенной

методике,

являются

грубыми.

Чтобы

получить более точные оценки

нужно решить следующую задачу.

Минимизировать

_

т

}± ) 2

{ 3 -9 )

при условии

1(к)— ц \ )= е,

(3.10)

h —

> 0 , h

и h £

[яг

, я,- ],

t —\, 2, . .

.,

т. (3.11)

УИ0=

М

\

(3.12)

h

является (г,

я)—доверительным вектором разрешимости сто­

хастической

задачи.

Здесь

т

Ni = / 2 А Ф -н Э, ),

р, >

у ,

/=1,

2,

т, пр, > я.

/-1

Доказательство этой теоремы основывается на следую­

щих двух леммах.

Лемма 3.2. Для пары векторов X

и X,

компоненты ко­

торых

удовлетворяют условиям

x t — х< ^ О ,

Xi , x t £

[яг

,

яi ],

г =

1,

2, .

. ., т,

(3.13)

т

__

__

2 ( ^

- ;* / ) '< Z I

(3.14)

i-l

имеет

место

неравенство

l ( X j -

1 (Х )есв .

(3.15)

Допустим^ противное: для некоторой пары векторов X, X

выполняется

условие

1 (Х )-Ц Х )> * .

Тогда, очевидно, на

отрезке

?Х + (1 — p )Z (0 < )i < П

существует точка Х °=^°Х -г{\ —\>-0)Х такая,

что

l(X j—1{Х) > 1 (Х °)-Ц Х )= в ,

т. е. (Х°, X ) является допустимым

планом

задачи

(3.9) —

<3.11).

~

Х°— внутренняя

С

другой стороны,

точка

отрезка

JQt-f (1—

Поэтому

x°—Xi <^Xi — Xt,

1 =

1,

2,

. . .,

т

или