лекції по мат.логике / L2-tex

Тобто в об'¹днаннi двох множин лежать тi i тiльки тi елементи унверсально¨ множини, якi належать або першiй множинi або другiй.

Çíàê [ - це стилiзована латинська буква U, що ¹ першою

буквою латинського слова unio , що означа¹ з'¹днувати . Так,

ÿêùî A = f1; 2; 3g; B = f2; 3; 4g; òî A [ B = f1; 2:3; 4g

Щоб одержати розв'язки рiвняння

f(x) ¢ g(x) = 0;

розв'язують два рiвняння

f(x) = 0; g(x) = 0;

одержують двi множини розв'язкiв, беруть об'¹днання одержаних множин i це буде вiдповiддю. Так для розв'язування рiвняння sin x ¢ cos x = 0 випису¹мо два рiвняння i випису¹мо

множини ¨х розв'язкiв:

sin x = 0; A = fxjx = ¼k; k 2 Zg; cos x = 0; B = fxjx = ¼2 + ¼k; k 2 Zg:

12

Кiнцева вiдповiдь одержу¹ться як об'¹днання одержаних множин розв'язкiв

A [ B = fxjx = ¼k2 ; k 2 Zg:

3.2 Перетин пiдмножин

Перетином A \B множини A та множини B назива¹ться мно-

æèíà

A \ B = fxjx 2 A i x 2 Bg:

Çíàê \ це перевернутий знак [: ßêùî

A = f1; 2; 3g; B = f2; 3; 4g;

òî

A \ B = f2; 3g:

ßêùî A - це множина книжок, що лежать на столi, а B - множина пiдручникiв, то A \ B це множина пiдручникiв, що

лежать па столi.

Розв'язком системи рiвнянь ¹ перетин множин розв'язкiв окремих рiвнянь. Для прикладу вiзьмемо систему

½2x ¡ y = 7;

5x + y = 21

Множина розв'язкiв першого рiвняння склада¹ться iз усiх то- чок прямо¨, що ма¹ рiвняння y = 2x ¡ 7: Множина розв'язкiв

другого рiвняння склада¹ться iз усiх точок прямо¨, що ма¹ рiвняння y = ¡5x + 21: Перетином цих двох прямих ¹ точка з ко-

ординатами (4,1). Отже розв'язком системи буде x = 4; y = 1:

Також множина розв'язкiв системи нерiвностей ¹ перетином множин розв'язкiв окремих нерiвностей, що входять у систему.

Областю визначення суми двох функцiй ¹ перетин областей визначення доданкiв. Оскiльки функцiя ln x визначена

13

Рис. 4: Заштриховано перетин A [ B множин A òà B

при додатних значеннях x, а функцiя arcsin x визначена при ¡1 · x · 1; то областю визначення функцi¨

f(x) = ln x + arcsin x

буде множина 0 < x · 1:

ßêùî A µ B; то спiльними для A i B будуть елементи iз A i òiëüêè âîíè. Òîìó A \ B = A. Оскiльки елементiв iз А, що

не лежать в В нема¹, то A [ B = B: За допомогою логiчно¨ символiки сказане можна записати так:

A µ B ) A \ B = A;

A µ B ) A [ B = B:

Зворотнi iмплiкацi¨

A µ B ( A \ B = A;

A µ B ( A [ B = B:

також правильнi.

Iз визначення операцiй перетину та об'¹днання видно, що

; \ A = ;; ; [ A = A:

14

для будь-яко¨ множини A, i

U \ A = A; U [ A = U

3.3 Рiзниця та симетрична рiзниця пiдмножин

Наступнi дi¨ це рiзниця, симетрична рiзниця двох множин та доповнення.

Рiзницею A n B множини A i множини B (÷èòà¹òüñÿ ÿê A áåç B) назива¹ться множина

A n B = fxj(x 2 A) ^ (x 2= B)g:

Наприклад, коли A = f1; 2; 3g; à B = f2; 3; 4g; òî

A n B = f1g

i

B n A = f4g:

Êîëè A µ B, тодi елементiв, для яких x 2 A i x 2= B, íå

iñíó¹ , òîìó A n B = ;: Логiчною символiкою сказане можна записати так:

A µ B ) A n B = ;:

Зворотна iмплiкацiя

A µ B ( A n B = ;

15

Рис. 5: Заштрихована рiзниця A n B множин A i B.

також правильна, тому що вона означа¹ наступне: коли елементiв, якi лежать в A i не лежать в B нема¹, тодi всi елементи

iç A лежать в B .

Множини AnB i B nA спiвпадають лише в одному випадку - коли спiвпадають самi множини A i B, - в цьому випадку

A n B = B n A = ;:

Симетричною рiзницею A¡B множин A òà B назива¹ться множина

A¡B = (A n B) [ (B n A):

Ця множина склада¹ться з тих елементiв першо¨ множини, що не лежать в другiй, i тих елементiв друго¨ множини, що не лежать в першiй. Таким чином, викинувши iз об'¹днання A [ B множин A i B ñïiëüíi äëÿ A i B елементи ми одержимо

симетричну рiзницю, тобто можна написати

A¡B = (A [ B) n (A \ B):

Наведемо приклад. Для

A = fn 2 Njn < 10g = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g;

16

3.4 Доповнення

Рiзниця U n A мiж унiверсальною множиною U i заданою множиною A назива¹ться доповненням A i познача¹ться через ¡A.

Iнколи доповнення множини A познача¹ться A àáî C(A).

Коли ¹ сумнiв щодо унiверсально¨ множини (нагада¹мо, що унiверсальна множина частiше всього вгаду¹ться iз оточуючих мiркувань, iз контексту), тодi потрiбно вказати, з яких елементiв склада¹ться множина U, i говорити про доповнення A äî

U.

Наведемо приклади.

Якщо унiверсальна множина це множина книжок, а A це множина пiдручникiв, то ¡A - це множина книжок, що не

¹ пiдручниками.

ßêùî U - це множина цiлих чисел вiд 1 до 10, i A = f2; 3; 5; 6g,

òî ¡A = f1; 4; 7; 8; 9; 10g:

Область визначення функцi¨ часто задають як доповнення тi¹¨ множини чисел, на яких функцiя не визначена. Для прикладу, для знаходежння областi визначення функцi¨ f(x) =

(x2 ¡3x+2)¡1 ми знаходимо розв'язки рiвняння x2 ¡x+2 = 0; (íèìè ¹ x = 1; x = 2); i потiм область A визначення функцi¨ f(x) зада¹мо як доповнення множини B = f1; 2g :

A = ¡B = fxjx 6= 1 i x =6 2g:

3.5 Теоретико-множиннi тотожностi та ¨х доведення.

Випишемо основнi тотожностi, якi виконуються для теоретикомножинних операцiй.

A [ A = A; A \ A = A закони iдемпотентпостi для об'¹днання та перетину.

18

Закони дистрибутивностi простiше доводити за допомогою кругiв Ейлера.

Вкажемо декiлька тотожностей, що стосуються рiзницi, симетрично¨ рiзницi та доповнення.

1. A n ; = A; U n A = ¡A; A n A = ;:

2. ¡(A\B) = (¡A)[(¡B); ¡([B) = (¡A)\(¡B) öi äâi

тотожностi часто використовуються i мають спецiальну назву - закони де Моргана.

В геометрi¨ часто унiверсальною множиною ¹ множина то- чок, прямих i площин в тривимiрному просторi. Таким чином деякi елементи унверсально¨ множини можуть вiдрiзнятися один вiд одного вельми сутт¹во. В такому випадку вижавають термiн багатосортна множина . Отже,

багатосортна множина ¹ об'¹днанням певних пiдмножин, що не мають спiльних елементiв.

4 Обмеженi квантори

В мiркуваннях, що стосуються багатосортних множин, загальнi квантори практично не використовуються використовуються так званi обмеженi квантори.

Такi словосполуки як iсну¹ елемент в множинi тадля всiх елементiв множини називають обмеженими кванторами.

20